Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Тригонометрические отношения и единичная окружность

Краткое содержание

В этом уроке синус, косинус и тангенс угла определяются двумя способами. Первый, через отношения сторон прямоугольного треугольника, годится для острых углов, и с помощью подобия доказывается, что он не зависит от выбора треугольника. Второй, через координаты точки, в которой конечная сторона угла пересекает единичную окружность, годится для любого действительного числа и совпадает с первым на острых углах. Из него выводятся знаки в каждой координатной четверти, основное тригонометрическое тождество, табличные значения для углов π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4} и π3\frac{\pi}{3}, которые получаются из половины равностороннего треугольника и из половины квадрата, и симметрии синуса и косинуса, которые доказываются отражением точки на окружности и позволяют вычислять тригонометрические отношения любого угла через его угол приведения.

Цели обучения

  1. Определять шесть тригонометрических отношений острого угла в прямоугольном треугольнике и доказывать с помощью подобия, что они не зависят от треугольника.
  2. Определять синус, косинус и остальные тригонометрические отношения произвольного угла с помощью единичной окружности, видеть в тангенсе угловой коэффициент конечной стороны и доказывать, что оба определения совпадают на острых углах.
  3. Доказывать основное тригонометрическое тождество, табличные значения и симметрии синуса и косинуса и применять их для вычисления тригонометрических отношений любого угла методом угла приведения.
  4. Находить все тригонометрические отношения угла по одному из них и по координатной четверти и применять тригонометрические отношения к задачам на высоты, расстояния и площади.

Тригонометрические отношения острого угла

В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие называются катетами. Внутренние углы треугольника в сумме составляют развёрнутый угол, мера которого равна π\pi; этот факт элементарной геометрии был принят в уроке об углах и их измерении. Если это так, то два непрямых угла прямоугольного треугольника в сумме дают π2\frac{\pi}{2}, и каждый из них острый, то есть имеет меру между 00 и π2\frac{\pi}{2}. По отношению к одному из этих острых углов, меры α\alpha, один катет является противолежащим катетом, который не проходит через его вершину, а другой является прилежащим катетом, который вместе с гипотенузой образует стороны угла.

Пусть α\alpha есть острый угол прямоугольного треугольника с гипотенузой cc, у которого катет, противолежащий углу α\alpha, равен aa, а прилежащий катет равен bb. Синусом, косинусом и тангенсом угла α\alpha называются соответственно отношение противолежащего катета к гипотенузе, прилежащего катета к гипотенузе и противолежащего катета к прилежащему.
sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=ab\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

Обратные к ним величины называются косекансом, секансом и котангенсом: csc⁡α=ca\csc \alpha = \frac{c}{a}, sec⁡α=cb\sec \alpha = \frac{c}{b} и cot⁡α=ba\cot \alpha = \frac{b}{a}. Все шесть называются тригонометрическими отношениями, потому что они являются отношениями, то есть частными, сторон треугольника. Однако определение вызывает сомнение: существует бесконечно много прямоугольных треугольников с острым углом меры α\alpha, больших и малых, и если бы каждый давал своё отношение, слова «синус угла α\alpha» не обозначали бы никакого числа. Следующая теорема снимает это сомнение.

ТеоремаТригонометрические отношения не зависят от треугольника

Если два прямоугольных треугольника имеют острый угол одной и той же меры α\alpha, то отношение любых двух сторон первого равно отношению соответствующих сторон второго. Следовательно, синус, косинус и тангенс угла α\alpha, а также обратные к ним величины зависят только от α\alpha. Кроме того, 0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1 и 0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника с острым углом α\alpha: первый с катетами a1a_1 и b1b_1 и гипотенузой c1c_1, второй с катетами a2a_2 и b2b_2 и гипотенузой c2c_2, где a1a_1 и a2a_2 суть катеты, противолежащие углу α\alpha. Принимаются признаки подобия треугольников из элементарной геометрии, те же, что в уроке курса I об уравнении прямой обеспечили независимость углового коэффициента от выбора точек.

Доказательство

  1. a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}

    У двух треугольников есть два равных угла, прямой и угол меры α\alpha; по признаку подобия по двум углам они подобны, и их соответствующие стороны пропорциональны: существует число k>0k > 0, такое что каждая сторона второго в kk раз больше соответствующей стороны первого.

  2. a2c2=ka1kc1=a1c1\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}

    Отношение противолежащего катета к гипотенузе одинаково в обоих треугольниках, потому что множитель kk сокращается.

  3. b2c2=kb1kc1=b1c1\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}

    То же происходит с отношением прилежащего катета к гипотенузе.

  4. a2b2=ka1kb1=a1b1\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}

    И с отношением двух катетов. Следовательно, синус, косинус и тангенс, а вместе с ними и обратные к ним величины, принимают одно и то же значение в обоих треугольниках: они зависят только от α\alpha.

  5. c2=a2+b2→0<ac<1,0<bc<1c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1

    По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов и больше каждого из них: гипотенуза больше каждого катета, и оба отношения к гипотенузе лежат между 00 и 11.

Теорема позволяет вычислять тригонометрические отношения угла по любому содержащему его прямоугольному треугольнику и выбирать самый удобный. В частности, катет, противолежащий одному из острых углов, является прилежащим к другому, и отсюда следует связь между тригонометрическими отношениями двух углов, которые в сумме дают π2\frac{\pi}{2} и называются дополнительными.

ПримерТригонометрические отношения двух острых углов

В прямоугольном треугольнике с катетами 33 и 44 пусть α\alpha есть угол, противолежащий катету 33, а β\beta есть угол, противолежащий катету 44. Вычислить их тригонометрические отношения и сравнить их.

Доказательство

  1. c=32+42=25=5c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}

    По теореме Пифагора гипотенуза равна 55.

  2. sin⁡α=35,cos⁡α=45,tan⁡α=34\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}

    Для угла α\alpha противолежащий катет равен 33, а прилежащий равен 44.

  3. sin⁡β=45,cos⁡β=35,tan⁡β=43\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}

    Для угла β\beta катеты меняются ролями: противолежащий равен 44, а прилежащий равен 33.

  4. sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α=cot⁡α\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha

    Поскольку α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}, синус каждого угла равен косинусу другого, а тангенс каждого равен котангенсу другого. То же верно в любом прямоугольном треугольнике, потому что обмен катетов ролями не зависит от их длин.

Отсюда происходят названия: косинус есть синус дополнительного угла, котангенс есть тангенс дополнительного угла, а косеканс есть секанс дополнительного угла.