Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Тригонометрические функции и их графики

Краткое содержание

В этом уроке синус, косинус и тангенс изучаются как функции действительной переменной, измеряемой в радианах. Определяются их области определения, множества значений, нули, экстремальные значения и чётность, и доказывается, что 2π2\pi есть наименьший положительный период синуса и косинуса, а π\pi является таковым для тангенса. Строится график синуса развёртыванием единичной окружности, график косинуса получается сдвигом, и с помощью таблиц знаков описываются вертикальные асимптоты тангенса; отсюда выводятся графики секанса, косеканса и котангенса. Сравнением площадей доказывается неравенство sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x при 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} и изучаются синусоиды y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d, с помощью которых моделируются периодические явления, такие как продолжительность дня, приливы или движение колеса обозрения.

Цели обучения

  1. Определить синус, косинус и тангенс как функции действительной переменной и доказать утверждения об их множествах значений, нулях, экстремумах, чётности и наименьших периодах.
  2. Построить графики шести тригонометрических функций с помощью единичной окружности, описывая вертикальные асимптоты с помощью таблиц знаков.
  3. Доказать неравенство sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x при 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} и оценку ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x} и применять их к исследованию функций и уравнений.
  4. Истолковывать амплитуду, период, сдвиг фазы и вертикальный сдвиг синусоиды как преобразования графика синуса и подбирать синусоиды к периодическим явлениям.

Синус и косинус как функции

В уроке о тригонометрических отношениях синус и косинус произвольного угла были определены как координаты точки P(θ)P(\theta), в которой конечная сторона угла, находящегося в стандартном положении, пересекает единичную окружность. Однако, согласно уроку об углах и их измерении, всякое действительное число есть радианная мера некоторого ориентированного угла, и два угла имеют общую конечную сторону в точности тогда, когда их меры отличаются на целое кратное 2π2\pi. Если это так, синус и косинус можно рассматривать как функции, определённые на всём R\mathbb{R}: каждому действительному xx сопоставляется одна из координат точки P(x)P(x).

Для каждого действительного числа xx пусть P(x)P(x) есть точка единичной окружности, соответствующая углу в xx радиан в стандартном положении. Функция синус сопоставляет числу xx ординату точки P(x)P(x), а функция косинус её абсциссу. Областью определения обеих служит множество всех действительных чисел.
P(x)=(cos⁡x,sin⁡x),x∈RP(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

Переменная всегда измеряется в радианах, а не в градусах. Этот выбор не является безразличным соглашением: результаты второго параграфа, такие как sin⁡x<x\sin x < x при положительном xx, сравнивают синус с самой переменной, и такое сравнение имеет смысл лишь тогда, когда xx есть длина дуги, пройденной по единичной окружности, а именно её и измеряет радиан.

ТеоремаСвойства синуса и косинуса

Множеством значений синуса, как и косинуса, является отрезок [−1,1]\icc{-1}{1}. Для всякого действительного xx выполняются равенства sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x и cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x; синус есть нечётная функция, а косинус чётная. Синус обращается в нуль в точности в целых кратных π\pi, равен 11 в точности в числах π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi и равен −1-1 в точности в числах −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, где kk целое. Косинус обращается в нуль в точности в числах π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, равен 11 в точности в числах 2kπ2k\pi и равен −1-1 в точности в числах π+2kπ\pi + 2k\pi.

Всё читается на единичной окружности с помощью основного тригонометрического тождества и симметрий, доказанных в уроке о тригонометрических отношениях.

Доказательство

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x≤1→−1≤sin⁡x≤1\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}

    По основному тригонометрическому тождеству квадрат синуса не превосходит 11, и синус лежит между −1-1 и 11; то же верно для косинуса.

  2. Q=(1−c2,c),(1−c2)2+c2=1→E⁡(sin⁡)=E⁡(cos⁡)=[−1,1]Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{E}(\sin) = \operatorname{E}(\cos) = \icc{-1}{1}

    Обратно, если дано cc, для которого −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1, то точка QQ, указанная ниже, лежит на единичной окружности; по свойству покрытия из аксиомы обхода по длине дуги, принятой в уроке об углах и их измерении, она есть точка P(x)P(x) некоторого угла xx, и тогда sin⁡x=c\sin x = c. Точно так же точка (c,1−c2)\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right) показывает, что косинус принимает значение cc.

  3. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

    Углы в xx и в x+2πx + 2\pi радиан имеют общую конечную сторону, так что P(x+2π)=P(x)P(x + 2\pi) = P(x). Кроме того, P(−x)P(-x) есть отражение P(x)P(x) относительно горизонтальной оси, как было доказано в уроке о тригонометрических отношениях: синус нечётен, а косинус чётен.

  4. sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

    Синус обращается в нуль, когда P(x)P(x) лежит на горизонтальной оси, то есть когда эта точка есть (1,0)(1, 0) или (−1,0)(-1, 0); это точки углов 00 и π\pi и углов с общей с ними конечной стороной. Косинус обращается в нуль, когда P(x)P(x) есть (0,1)(0, 1) или (0,−1)(0, -1).

  5. sin⁡x=1→cos⁡2x=1−1=0→P(x)=(0,1)\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)

    Если sin⁡x=1\sin x = 1, то основное тригонометрическое тождество вынуждает косинус быть равным нулю, и точка P(x)P(x) есть (0,1)(0, 1), которая соответствует углу π2\frac{\pi}{2}; если sin⁡x=−1\sin x = -1, то точка есть (0,−1)(0, -1), которая соответствует углу −π2-\frac{\pi}{2}.

  6. sin⁡x=1↔x=π2+2kπ,sin⁡x=−1↔x=−π2+2kπ,cos⁡x=1↔x=2kπ,cos⁡x=−1↔x=π+2kπ\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi

    Тем же рассуждением косинус равен 11, когда P(x)=(1,0)P(x) = (1, 0), и равен −1-1, когда P(x)=(−1,0)P(x) = (-1, 0). Итак, экстремальные значения синуса и косинуса достигаются в указанных ниже числах, где kk целое.

График синуса

График функции y=sin⁡xy = \sin x получается развёртыванием единичной окружности на горизонтальную ось: пока точка P(x)P(x) обходит окружность, пройденная дуга длины xx переносится на ось абсцисс, и над каждой абсциссой откладывается высота точки. Симметрии из урока о тригонометрических отношениях позволяют построить весь график по его первой четверти.

ПримерГрафик синуса как развёрнутая окружность

На рисунке единичная окружность развёртывается на горизонтальную ось с одной и той же единицей длины на обеих: высота точки P(x)P(x) переносится на абсциссу xx, и весь график получается повторением и отражением первой четверти.

Доказательство

  1. sin⁡0=0,sin⁡π2=1\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1

    Пока xx возрастает от 00 до π2\frac{\pi}{2}, точка P(x)P(x) проходит первую четверть от (1,0)(1, 0) до (0,1)(0, 1). По свойству пол-оборота из аксиомы обхода её абсцисса cos⁡x\cos x строго убывает от 11 до 00; поскольку её высота есть неотрицательный корень 1−cos⁡2x\sqrt{1 - \cos^2 x}, она строго возрастает от 00 до 11. В уроке об обратных тригонометрических функциях то же рассуждение распространяется на весь отрезок [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  2. sin⁡π6=12,sin⁡π4=22,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Табличные значения, вычисленные в уроке о тригонометрических отношениях, дают три промежуточные точки первой дуги.

  3. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

    Между π2\frac{\pi}{2} и π\pi симметрия углов, дополняющих друг друга до развёрнутого, показывает, что высота в точке π−x\pi - x та же, что в точке xx: первая дуга симметрична относительно вертикальной прямой x=π2x = \frac{\pi}{2} и опускается до 00 в точке π\pi.

  4. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x

    Между π\pi и 2π2\pi точка P(x+π)P(x + \pi) диаметрально противоположна точке P(x)P(x): высота меняет знак, и график повторяет уже построенную дугу под осью, сдвинутую на π\pi и отражённую.

  5. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x

    В силу периодичности кусок графика между 00 и 2π2\pi, называемый циклом, повторяется вправо и влево; а так как синус нечётен, график симметричен относительно начала координат.

График синуса есть волна, которая колеблется между прямыми y=−1y = -1 и y=1y = 1, пересекает горизонтальную ось в кратных π\pi и достигает максимумов в числах π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi, а минимумов в числах −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, в согласии с доказанной выше теоремой.

Кроме того, рисунок предполагает два свойства, которые развёрнутая окружность подсказывает, но которые средства этого раздела не позволяют доказать: что график есть кривая без разрывов и что каждая дуга, лежащая над осью, всегда изогнута вниз. Оба свойства определяются через пределы и доказываются в курсе «Математический анализ I»; здесь они принимаются. Ни одна теорема раздела от них не зависит: они используются лишь в некоторых задачах, где это прямо указано.

Факт, принимаемый без доказательства (непрерывность тригонометрических функций и обратных к ним). Синус и косинус непрерывны на всей прямой; тангенс, секанс, косеканс и котангенс непрерывны на каждом промежутке, содержащемся в их области определения; а арксинус, арккосинус и арктангенс, которые будут определены в уроке об обратных тригонометрических функциях, непрерывны в своих областях определения. Суммы, произведения, частные с ненулевым знаменателем и композиции непрерывных функций непрерывны. Следовательно, принятый без доказательства в курсе I факт о теореме о промежуточном значении, сформулированный в уроке о рациональных функциях, применим на всяком отрезке, содержащемся в области определения, к таким функциям, как sin⁡x−x10\sin x - \frac{x}{10}, tan⁡x−x\tan x - x или arcsin⁡x+arctan⁡x\arcsin x + \arctan x: если они меняют знак на концах, то обращаются в нуль в некоторой внутренней точке.
Факт, принимаемый без доказательства (выпуклость синуса вверх). Функция синус строго выпукла вверх на каждом отрезке [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}, где kk целое: если u<x<vu < x < v суть точки этого отрезка, то точка графика с абсциссой xx лежит строго выше отрезка, соединяющего точки графика с абсциссами uu и vv.
u<x<v→sin⁡x>(v−x)sin⁡u+(x−u)sin⁡vv−uu < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

Периодические функции

Функция ff называется периодической, если существует число p>0p > 0 такое, что для всякого xx из области определения числа x+px + p и x−px - p лежат в области определения и выполняется f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x); такое число называется периодом функции ff. Если pp есть период, то периодами являются и 2p2p, 3p3p и, по индукции, все его натуральные кратные: f(x+2p)=f((x+p)+p)=f(x+p)=f(x)f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x). Таким образом, у периодической функции бесконечно много периодов, и наибольший интерес представляет наименьший из них, если он существует; он называется наименьшим периодом. Её график получается многократным повторением куска, соответствующего промежутку длины, равной периоду.

ЛеммаПериоды кратны наименьшему периоду

Если qq есть наименьший период функции ff, то периоды ff суть в точности числа kqkq, где kk натуральное.

Произвольный период делится на qq, как при делении с остатком, и показывается, что остаток не может быть положительным. На рисунке используется функция с наименьшим периодом qq.

Доказательство

  1. f(x+kq)=f(x),k∈N\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}

    Каждое натуральное кратное qq есть период, как только что было показано по индукции.

  2. kq≤p<(k+1)q→0≤r=p−kq<q\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}

    Обратно, пусть pp есть период; в силу минимальности qq имеем p≥qp \geq q. По свойству Архимеда для действительных чисел, доказанному в уроке курса I о десятичной записи рациональных чисел, и по принципу вполне упорядоченности, как в теореме о приведении к первому обороту из урока об углах и их измерении, существует натуральное k≥1k \geq 1, для которого kq≤p<(k+1)qkq \leq p < (k + 1)q, и остаток r=p−kqr = p - kq лежит между 00 и qq, причём последнее исключается.

  3. f(x+r)=f(x+r+kq)=f(x+p)=f(x)f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)

    Если бы rr было положительным, оно было бы периодом: сдвиг на rr, а затем на kqkq есть сдвиг на pp, а и kqkq, и pp являются периодами.

  4. r=0→p=kqr = 0 \rightarrow p = kq

    Но положительный период, меньший qq, противоречит минимальности qq. Значит, остаток равен нулю, и pp есть натуральное кратное qq.

ТеоремаНаименьший период синуса и косинуса

Число 2π2\pi есть наименьший период синуса и косинуса.

По теореме о свойствах 2π2\pi есть период обеих функций. Остаётся показать, что ни одно число между 00 и 2π2\pi периодом не является, и для этого достаточно посмотреть, где достигается максимум.

Доказательство

  1. sin⁡(π2+p)=sin⁡π2=1\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}

    Предположим, что pp, где 0<p<2π0 < p < 2\pi, есть период синуса. Подставляя в равенство sin⁡(x+p)=sin⁡x\sin(x + p) = \sin x значение x=π2x = \frac{\pi}{2}, получаем, что число π2+p\frac{\pi}{2} + p также было бы точкой максимума.

  2. π2+p=π2+2kπ→p=2kπ\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi

    По теореме о свойствах синус равен 11 только в числах π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi: тогда pp было бы целым кратным 2π2\pi, что невозможно между 00 и 2π2\pi. Иначе говоря, два соседних максимума синуса отстоят друг от друга ровно на 2π2\pi.

  3. cos⁡p=cos⁡0=1→p=2kπ\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi

    Для косинуса рассуждаем так же в точке x=0x = 0: период pp дал бы cos⁡p=cos⁡0=1\cos p = \cos 0 = 1, а косинус равен 11 только в целых кратных 2π2\pi.

По доказанной выше лемме периоды синуса и косинуса суть в точности числа 2kπ2k\pi, где kk натуральное.

Косинус как сдвинутый синус

График косинуса не требует нового построения, поскольку это сдвинутый график синуса.

ТеоремаКосинус есть сдвинутый синус

Для всякого действительного xx выполняется cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right). Следовательно, график функции y=cos⁡xy = \cos x есть график синуса, сдвинутый на π2\frac{\pi}{2} единиц влево.

Комбинируются симметрии дополнительных углов и углов, дополняющих друг друга до развёрнутого, а затем теорема о преобразованиях из урока курса I о действиях с функциями.

Доказательство

  1. cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}

    По симметрии дополнительных углов косинус xx есть синус π2−x\frac{\pi}{2} - x.

  2. cos⁡x=sin⁡(π−(π2−x))=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}

    По симметрии углов, дополняющих друг друга до развёрнутого, sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u; при u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x угол π−u\pi - u есть π2+x\frac{\pi}{2} + x.

  3. y=sin⁡(x−(−π2))y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

    По теореме о преобразованиях график функции y=f(x−h)y = f(x - h) есть график ff, сдвинутый на hh единиц по горизонтали. Здесь ff есть синус и h=−π2h = -\frac{\pi}{2}: каждая точка графика синуса сдвигается на π2\frac{\pi}{2} влево. Максимум из точки (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) переходит в (0,1)(0, 1).

  4. cos⁡(−x)=cos⁡x,cos⁡0=1,cos⁡π=−1\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1

    На сдвинутом графике читаются свойства косинуса: он симметричен относительно вертикальной оси, поскольку косинус чётен, пересекает горизонтальную ось в числах π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi и достигает максимума 11 в чётных кратных π\pi, а минимума −1-1 в нечётных.