انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية

ملخص

يتناول هذا الدرس الجيب وجيب التمام والظل بوصفها دوالّ في متغير حقيقي يُقاس بالراديان. ويحدّد مجالات تعريفها ومداها وأصفارها وقيمها العظمى والصغرى وزوجيتها، ويبرهن أن 2π2\pi هو أصغر دور موجب للجيب ولجيب التمام، وأن π\pi هو أصغر دور موجب للظل. ويرسم التمثيل البياني للجيب ببسط دائرة الوحدة، ويستنتج تمثيل جيب التمام بانسحاب، ويصف بجداول الإشارات المقاربات العمودية للظل؛ ومن ذلك يستنتج التمثيلات البيانية للقاطع وقاطع التمام وظل التمام. ويبرهن، بمقارنة المساحات، المتباينة sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x من أجل 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}، ويدرس المنحنيات الجيبية y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d، التي تُنمذَج بها ظواهر دورية مثل طول النهار والمدّ والجزر أو حركة عجلة الملاهي.

أهداف التعلم

  1. تعريف الجيب وجيب التمام والظل بوصفها دوالّ في متغير حقيقي، وبرهان خواصّ مداها وأصفارها وقيمها العظمى والصغرى وزوجيتها وأدوارها الصغرى.
  2. رسم التمثيلات البيانية للدوال المثلثية الست انطلاقًا من دائرة الوحدة، مع وصف المقاربات العمودية بواسطة جداول الإشارات.
  3. برهان المتباينة sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x من أجل 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} والحدّ ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x}، واستعمالهما في دراسة الدوال والمعادلات.
  4. تفسير السعة والدور وإزاحة الطور والإزاحة الرأسية لمنحنى جيبي بوصفها تحويلات للتمثيل البياني للجيب، وملاءمة منحنيات جيبية لظواهر دورية.

الجيب وجيب التمام بوصفهما دالّتين

في الدرس الخاص بـالنسب المثلثية عُرِّف جيب زاوية ما وجيب تمامها بأنهما إحداثيا النقطة P(θ)P(\theta) التي يقطع فيها الضلعُ النهائي للزاوية، في الوضع القياسي، دائرةَ الوحدة. غير أنه، بحسب الدرس الخاص بـالزوايا وقياسها، كل عدد حقيقي هو القياس بالراديان لزاوية موجَّهة ما، وللزاويتين الضلع النهائي نفسه بالضبط عندما يختلف قياساهما بمضاعف صحيح للعدد 2π2\pi. وإذا كان الأمر كذلك، أمكن اعتبار الجيب وجيب التمام دالّتين معرَّفتين على كامل R\mathbb{R}: فكل عدد حقيقي xx يُقرن به أحد إحداثيي النقطة P(x)P(x).

لكل عدد حقيقي xx، لتكن P(x)P(x) النقطة من دائرة الوحدة المقابلة للزاوية التي قياسها xx راديان في الوضع القياسي. دالة الجيب تقرن بالعدد xx ترتيبَ النقطة P(x)P(x)، ودالة جيب التمام فاصلتَها. ومجال تعريف كلٍّ منهما هو مجموعة الأعداد الحقيقية كلها.
P(x)=(cos⁡x,sin⁡x),x∈RP(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

يُقاس المتغير دائمًا بالراديان، لا بالدرجات. وليس هذا الاختيار اصطلاحًا لا أثر له: فنتائج الفقرة الثانية، مثل sin⁡x<x\sin x < x من أجل xx موجب، تقارن الجيب بالمتغير نفسه، ولا يكون لهذه المقارنة معنى إلا عندما يكون xx طولَ القوس المقطوع على دائرة الوحدة، وهو ما يقيسه الراديان.

مبرهنةخواص الجيب وجيب التمام

مدى الجيب ومدى جيب التمام هو الفترة [−1,1]\icc{-1}{1}. ولكل عدد حقيقي xx تتحقق المساواتان sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x وcos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x؛ والجيب دالة فردية، وجيب التمام دالة زوجية. ينعدم الجيب بالضبط عند المضاعفات الصحيحة للعدد π\pi، ويساوي 11 بالضبط عند الأعداد π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi ويساوي −1-1 بالضبط عند الأعداد −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi، حيث kk عدد صحيح. وينعدم جيب التمام بالضبط عند الأعداد π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi، ويساوي 11 بالضبط عند الأعداد 2kπ2k\pi ويساوي −1-1 بالضبط عند الأعداد π+2kπ\pi + 2k\pi.

كل ذلك يُقرأ على دائرة الوحدة، بالمتطابقة الفيثاغورية والتناظرات المبرهنة في الدرس الخاص بالنسب المثلثية.

البرهان

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x≤1→−1≤sin⁡x≤1\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}

    بحسب المتطابقة الفيثاغورية، مربع الجيب لا يتجاوز 11، والجيب محصور بين −1-1 و11؛ والأمر نفسه صحيح لجيب التمام.

  2. Q=(1−c2,c),(1−c2)2+c2=1→ran⁡(sin⁡)=ran⁡(cos⁡)=[−1,1]Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{ran}(\sin) = \operatorname{ran}(\cos) = \icc{-1}{1}

    وعكسيًّا، إذا أُعطي cc بحيث −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1، فإن النقطة QQ الآتية تقع على دائرة الوحدة؛ وبخاصية التغطية من مسلّمة السير على الدائرة بطول القوس، المقبولة في الدرس الخاص بـالزوايا وقياسها، هي النقطة P(x)P(x) لزاوية ما xx، وعندئذ sin⁡x=c\sin x = c. وبالطريقة نفسها، تبيّن النقطة (c,1−c2)\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right) أن جيب التمام يأخذ القيمة cc.

  3. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

    للزاويتين اللتين قياساهما xx وx+2πx + 2\pi راديان الضلع النهائي نفسه، ومن ثَمّ P(x+2π)=P(x)P(x + 2\pi) = P(x). وفضلًا عن ذلك، P(−x)P(-x) هي انعكاس P(x)P(x) بالنسبة إلى المحور الأفقي، كما بُرهن في الدرس الخاص بالنسب المثلثية: الجيب فردي وجيب التمام زوجي.

  4. sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

    ينعدم الجيب عندما تقع P(x)P(x) على المحور الأفقي، أي عندما تكون (1,0)(1, 0) أو (−1,0)(-1, 0)؛ وهاتان هما نقطتا الزاويتين 00 وπ\pi والزوايا المشتركة معهما في الضلع النهائي. وينعدم جيب التمام عندما تكون P(x)P(x) هي (0,1)(0, 1) أو (0,−1)(0, -1).

  5. sin⁡x=1→cos⁡2x=1−1=0→P(x)=(0,1)\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)

    إذا كان sin⁡x=1\sin x = 1، فإن المتطابقة الفيثاغورية تفرض أن يكون جيب التمام منعدمًا، وتكون النقطة P(x)P(x) هي (0,1)(0, 1)، المقابلة للزاوية π2\frac{\pi}{2}؛ وإذا كان sin⁡x=−1\sin x = -1، فالنقطة هي (0,−1)(0, -1)، المقابلة للزاوية −π2-\frac{\pi}{2}.

  6. sin⁡x=1↔x=π2+2kπ,sin⁡x=−1↔x=−π2+2kπ,cos⁡x=1↔x=2kπ,cos⁡x=−1↔x=π+2kπ\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi

    وبالاستدلال نفسه، يساوي جيب التمام 11 عندما P(x)=(1,0)P(x) = (1, 0) ويساوي −1-1 عندما P(x)=(−1,0)P(x) = (-1, 0). وخلاصة القول، تُبلَغ القيم العظمى والصغرى للجيب ولجيب التمام عند الأعداد الآتية، حيث kk عدد صحيح.

التمثيل البياني للجيب

يُحصل على التمثيل البياني للدالة y=sin⁡xy = \sin x ببسط دائرة الوحدة على المحور الأفقي: فبينما تقطع النقطة P(x)P(x) الدائرة، يُنقل القوس المقطوع، الذي طوله xx، إلى محور الفواصل، ويُرفع فوق كل فاصلة ارتفاعُ النقطة. وتسمح تناظرات الدرس الخاص بالنسب المثلثية ببناء التمثيل البياني كله انطلاقًا من ربعه الأول.

مثالالتمثيل البياني للجيب بوصفه دائرة مبسوطة

يبسط الشكل دائرة الوحدة على المحور الأفقي، بمقياس الطول نفسه على الاثنين: يُنقل ارتفاع النقطة P(x)P(x) إلى الفاصلة xx، وينتج التمثيل البياني كله من تكرار الربع الأول وعكسه.

البرهان

  1. sin⁡0=0,sin⁡π2=1\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1

    بينما يتقدم xx من 00 إلى π2\frac{\pi}{2}، تقطع النقطة P(x)P(x) الربع الأول من (1,0)(1, 0) إلى (0,1)(0, 1). وبخاصية نصف الدورة من مسلّمة السير، تتناقص فاصلتها cos⁡x\cos x تمامًا من 11 إلى 00؛ وبما أن ارتفاعها هو الجذر غير السالب 1−cos⁡2x\sqrt{1 - \cos^2 x}، فإنه يتزايد تمامًا من 00 إلى 11. وفي الدرس الخاص بـالدوال المثلثية العكسية يُمدَّد الاستدلال نفسه إلى الفترة [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} كلها.

  2. sin⁡π6=12,sin⁡π4=22,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    تعطي القيم الخاصة المحسوبة في الدرس الخاص بالنسب المثلثية ثلاث نقاط وسيطة من القوس الأول.

  3. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

    بين π2\frac{\pi}{2} وπ\pi، يقول تناظر الزاويتين المتكاملتين إن الارتفاع عند π−x\pi - x هو نفسه عند xx: فالقوس الأول متناظر بالنسبة إلى المستقيم العمودي x=π2x = \frac{\pi}{2}، وينزل حتى 00 عند π\pi.

  4. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x

    بين π\pi و2π2\pi، النقطة P(x+π)P(x + \pi) هي مقابلة النقطة P(x)P(x) قطريًّا: يغيّر الارتفاع إشارته، ويكرّر التمثيل البياني القوسَ المتقدّم تحت المحور، منسحبًا بمقدار π\pi ومنعكسًا.

  5. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x

    بفضل الدورية، الجزء الواقع بين 00 و2π2\pi، ويسمّى الموجة الكاملة، يتكرر نحو اليمين ونحو اليسار؛ وبما أن الجيب فردي، فالتمثيل البياني متناظر بالنسبة إلى المبدأ.

التمثيل البياني للجيب موجة تتذبذب بين المستقيمين y=−1y = -1 وy=1y = 1، وتقطع المحور الأفقي عند مضاعفات π\pi، وتبلغ قيمها العظمى عند الأعداد π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi وقيمها الصغرى عند الأعداد −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi، وفقًا للمبرهنة المتقدّمة.

ويفترض الرسم، فضلًا عن ذلك، خاصيتين توحي بهما الدائرة المبسوطة، لكن أدوات هذه الوحدة لا تسمح ببرهانهما: أن التمثيل البياني منحنٍ بلا انقطاع، وأن كل قوس واقع فوق المحور ينحني دائمًا نحو الأسفل. وتُعرَّف كلتاهما بواسطة النهايات وتُبرهَنان في دورة التفاضل والتكامل 1؛ وهنا تُقبلان. ولا تتوقف أي مبرهنة من الوحدة عليهما: إذ لا تُستعملان إلا في بعض المسائل، التي تنصّ على ذلك صراحة.

حقيقة مقبولة دون برهان (اتصال الدوال المثلثية ودوالها العكسية). الجيب وجيب التمام متصلان على المستقيم كله؛ والظل والقاطع وقاطع التمام وظل التمام متصلة على كل فترة محتواة في مجال تعريفها؛ وقوس الجيب وقوس جيب التمام وقوس الظل، التي ستُعرَّف في الدرس الخاص بـالدوال المثلثية العكسية، متصلة على مجالات تعريفها. والمجاميع والجداءات وخوارج القسمة ذات المقام غير المنعدم ومركّبات الدوال المتصلة متصلة. وبناءً على ذلك، فإن الحقيقة المقبولة دون برهان في دورة الجبر والهندسة 1 بشأن مبرهنة القيم الوسطى، المنصوص عليها في الدرس الخاص بـالدوال الكسرية، تنطبق، على كل فترة مغلقة محتواة في مجال تعريفها، على دوال مثل sin⁡x−x10\sin x - \frac{x}{10} وtan⁡x−x\tan x - x أو arcsin⁡x+arctan⁡x\arcsin x + \arctan x: إذا غيّرت إشارتها عند الطرفين، انعدمت عند نقطة داخلية ما.
حقيقة مقبولة دون برهان (تقعّر الجيب). الجيب مقعّر تمامًا على كل فترة [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}، حيث kk عدد صحيح: إذا كانت u<x<vu < x < v نقاطًا من هذه الفترة، فإن نقطة التمثيل البياني ذات الفاصلة xx تقع تمامًا فوق القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتي التمثيل البياني ذواتي الفاصلتين uu وvv.
u<x<v→sin⁡x>(v−x)sin⁡u+(x−u)sin⁡vv−uu < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

الدوال الدورية

تكون الدالة ff دورية إذا وُجد عدد p>0p > 0 بحيث يكون، لكل xx من مجال التعريف، العددان x+px + p وx−px - p في مجال التعريف وتتحقق f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x)؛ ويسمّى مثل هذا العدد دورًا للدالة ff. وإذا كان pp دورًا، فإن 2p2p و3p3p دوران أيضًا، وكذلك، بالاستقراء، جميع مضاعفاته الطبيعية: f(x+2p)=f((x+p)+p)=f(x+p)=f(x)f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x). فللدالة الدورية إذن أدوار لا نهاية لعددها، وأهمّها أصغرها، إن وُجد، ويسمّى الدور الأصغر. ويُحصل على تمثيلها البياني بتكرار الجزء المقابل لفترة طولها يساوي الدور مرةً بعد مرة.

توطئةالأدوار مضاعفات للدور الأصغر

إذا كان qq الدور الأصغر لدالة ff، فإن أدوار ff هي بالضبط الأعداد kqkq، حيث kk عدد طبيعي.

يُقسَم دور ما على qq، كما في القسمة مع الباقي، ويُبيَّن أن الباقي لا يمكن أن يكون موجبًا. ويستعمل الشكل دالة دورها الأصغر qq.

البرهان

  1. f(x+kq)=f(x),k∈N\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}

    كل مضاعف طبيعي للعدد qq دور، كما رأينا للتوّ بالاستقراء.

  2. kq≤p<(k+1)q→0≤r=p−kq<q\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}

    وعكسيًّا، ليكن pp دورًا؛ فبحكم أصغرية qq، يكون p≥qp \geq q. وبخاصية أرخميدس للأعداد الحقيقية، المبرهنة في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالتمثيل العشري للأعداد النسبية، وبمبدأ الترتيب الحسن، كما في مبرهنة الردّ إلى الدورة الأولى من الدرس الخاص بـالزوايا وقياسها، يوجد عدد طبيعي k≥1k \geq 1 بحيث kq≤p<(k+1)qkq \leq p < (k + 1)q، والباقي r=p−kqr = p - kq محصور بين 00 وqq، مع استبعاد الأخير.

  3. f(x+r)=f(x+r+kq)=f(x+p)=f(x)f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)

    لو كان rr موجبًا لكان دورًا: فالتقدّم بمقدار rr ثم بمقدار kqkq تقدّمٌ بمقدار pp، وكلٌّ من kqkq وpp دور.

  4. r=0→p=kqr = 0 \rightarrow p = kq

    لكن دورًا موجبًا أصغر من qq يناقض أصغرية qq. ومن ثَمّ فالباقي منعدم، وpp مضاعف طبيعي للعدد qq.

مبرهنةالدور الأصغر للجيب ولجيب التمام

العدد 2π2\pi هو الدور الأصغر للجيب ولجيب التمام.

بحسب مبرهنة الخواص، 2π2\pi دور لكلتا الدالتين. ويبقى أن نرى أنه لا يوجد عدد بين 00 و2π2\pi يكون دورًا، ولهذا يكفي النظر في موضع بلوغ القيمة العظمى.

البرهان

  1. sin⁡(π2+p)=sin⁡π2=1\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}

    لنفترض أن pp، حيث 0<p<2π0 < p < 2\pi، دور للجيب. وبتطبيق المساواة sin⁡(x+p)=sin⁡x\sin(x + p) = \sin x عند x=π2x = \frac{\pi}{2}، يكون العدد π2+p\frac{\pi}{2} + p أيضًا نقطة قيمة عظمى.

  2. π2+p=π2+2kπ→p=2kπ\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi

    بحسب مبرهنة الخواص، لا يساوي الجيب 11 إلا عند الأعداد π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi: فيكون pp مضاعفًا صحيحًا للعدد 2π2\pi، وهذا مستحيل بين 00 و2π2\pi. وبعبارة أخرى، المسافة بين قيمتين عظميين متتاليتين للجيب تساوي 2π2\pi بالضبط.

  3. cos⁡p=cos⁡0=1→p=2kπ\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi

    ونستدل بالطريقة نفسها لجيب التمام عند x=0x = 0: فالدور pp يعطي cos⁡p=cos⁡0=1\cos p = \cos 0 = 1، وجيب التمام لا يساوي 11 إلا عند المضاعفات الصحيحة للعدد 2π2\pi.

بحسب التوطئة المتقدّمة، أدوار الجيب وجيب التمام هي بالضبط الأعداد 2kπ2k\pi حيث kk عدد طبيعي.

جيب التمام بوصفه جيبًا منسحبًا

لا يتطلب التمثيل البياني لجيب التمام إنشاءً جديدًا، لأنه التمثيل البياني للجيب منسحبًا.

مبرهنةجيب التمام جيبٌ منسحب

لكل عدد حقيقي xx تتحقق cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right). وبناءً على ذلك، فإن التمثيل البياني للدالة y=cos⁡xy = \cos x هو التمثيل البياني للجيب منسحبًا بمقدار π2\frac{\pi}{2} نحو اليسار.

تُجمع تناظرات الزوايا المتتامة والمتكاملة، ثم مبرهنة التحويلات من درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالعمليات على الدوال.

البرهان

  1. cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}

    بتناظر الزاويتين المتتامتين، جيب تمام xx هو جيب π2−x\frac{\pi}{2} - x.

  2. cos⁡x=sin⁡(π−(π2−x))=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}

    بتناظر الزاويتين المتكاملتين، sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u؛ ومع u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x، تكون الزاوية π−u\pi - u هي π2+x\frac{\pi}{2} + x.

  3. y=sin⁡(x−(−π2))y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

    بحسب مبرهنة التحويلات، التمثيل البياني للدالة y=f(x−h)y = f(x - h) هو تمثيل ff منسحبًا بمقدار hh أفقيًّا. وهنا ff هي الجيب وh=−π2h = -\frac{\pi}{2}: كل نقطة من التمثيل البياني للجيب تنسحب بمقدار π2\frac{\pi}{2} نحو اليسار. وتنتقل القيمة العظمى من (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) إلى (0,1)(0, 1).

  4. cos⁡(−x)=cos⁡x,cos⁡0=1,cos⁡π=−1\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1

    في التمثيل البياني المنسحب تُقرأ خواص جيب التمام: فهو متناظر بالنسبة إلى المحور العمودي، لأن جيب التمام زوجي، ويقطع المحور الأفقي عند الأعداد π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi، ويبلغ قيمته العظمى 11 عند المضاعفات الزوجية للعدد π\pi وقيمته الصغرى −1-1 عند المضاعفات الفردية.