الزوايا وقياسها: الدرجات والراديان

الزوايا الموجَّهة

في الهندسة الأولية، الزاوية هي الشكل المكوَّن من نصفي مستقيم لهما بداية مشتركة، ويقع قياسها بين $0^\circ$ و$180^\circ$. ولدراسة الدورانات، مثل دوران عجلة أو عقارب ساعة أو الأرض حول محورها، لا يكفي هذا المفهوم: يهمّ مقدار ما دار الجسم وفي أي اتجاه، وقد يتضمّن الدوران عدة دورات. ولذلك تُعدّ الزاوية نتيجة دوران.

تتحدّد الزاوية الموجَّهة بنصف مستقيم يُسمّى الضلع الابتدائي، يدور حول بدايته، التي تُسمّى الرأس، حتى يأخذ وضعًا أخيرًا يُسمّى الضلع النهائي، مع الدوران الذي تمّ. وتكون الزاوية موجبة إذا تمّ الدوران في الاتجاه المعاكس لحركة عقارب الساعة (عكس اتجاه عقارب الساعة)، وسالبة إذا تمّ في اتجاه حركة عقارب الساعة (اتجاه عقارب الساعة). والزاوية الصفرية هي التي لا دوران فيها.

قد يقابل زوجًا واحدًا من الأضلاع عددٌ كبير من الزوايا الموجَّهة: يأخذ الضلع النهائي الوضع نفسه إذا دار ربع دورة عكس اتجاه عقارب الساعة، أو ثلاثة أرباع دورة في اتجاه عقارب الساعة، أو ربع دورة مضافًا إليه دورة كاملة. وهذه الزوايا مختلفة، لأنها تصف دورانات مختلفة، وإن انتهت عند الضلع نفسه؛ ويبيّن القسم الثالث كيف ترتبط فيما بينها.

النظام الستيني

يقسم أقدم قياس للزوايا الدورة الكاملة إلى أقواس متساوية عددها $360$، ويسمّي درجة الزاوية التي تحصر كل واحد منها: يكون قياس الزاوية $g$ درجة إذا كان قوسها $g$ مرة قوس الدرجة الواحدة، فيكون القياس بالدرجات متناسبًا مع طول القوس. وتنقسم كل درجة إلى $60$ دقيقة، وكل دقيقة إلى $60$ ثانية. ويرجع هذا النظام إلى علم الفلك البابلي، الذي كان يعدّ بالأساس ستين، كما يُشرح في الدرس الخاص بـأنظمة العدّ الموضعية من دورة الجبر والهندسة 1؛ وللعدد $360$ ميزة أنه يقبل القسمة على $2$ و$3$ و$4$ و$5$ و$6$ و$8$ و$9$ و$10$ و$12$، وعلى غيرها. وقياس الزاوية القائمة $90^\circ$، وقياس الزاوية المستقيمة $180^\circ$، وقياس الدورة الكاملة $360^\circ$؛ وتُقاس الزاوية السالبة بإشارة الناقص، فيكون قياس ربع الدورة في اتجاه عقارب الساعة $-90^\circ$. والزاوية التي قياسها 40 درجة و15 دقيقة و36 ثانية، والتي تُكتب اختصارًا بوضع رمز الدرجة بعد كل عدد، وفاصلة علوية للدقائق، وفاصلتين للثواني، قياسها بالدرجات ما يلي، أي 40,26 درجة:

غير أن العدد $360$ اصطلاح: لا شيء في هندسة الدائرة يميّزه من غيره من الأعداد. وتبسط صيغ طول القوس ومساحة القطاع، ثم صيغ الدوال المثلثية فيما بعد، إذا قيست الزوايا بطريقة تنبع من الدائرة نفسها.

الراديان

الفكرة هي قياس الزاوية بطول القوس الذي تحصره في دائرة نصف قطرها $1$ مركزها رأس الزاوية. ويتطلّب ذلك معرفة ما طول القوس، وهنا تظهر صعوبة: القوس ليس اتحادًا لقطع مستقيمة، ويُعرَّف طوله بأنه القيمة التي تقترب منها أطوال الخطوط المنكسرة المحاطة به حين تصير أضلاعها أقصر فأقصر، أي بواسطة نهاية. ودراسته من شأن دورة التفاضل والتكامل 2، حيث تُحسب أطوال المنحنيات ومساحات المناطق التي تحدّها منحنيات. وهنا تُقبل الحقائق الآتية.

حقيقة مقبولة دون برهان (الأطوال والمساحات في الدائرة). لكل قوس من دائرة طول، ولكل منطقة تحدّها قطع مستقيمة وأقواس مساحة. وللأشكال المتطابقة الطول نفسه أو المساحة نفسها؛ وإذا انقسم شكل إلى شكلين لا يتداخلان، فقياسه مجموع قياسي الجزأين؛ وإذا احتوت منطقة منطقةً أخرى، فمساحتها ليست أصغر، وهي أكبر إذا احتوى الفرق قرصًا ما. وفضلًا عن ذلك، إذا كان نصفا قطري دائرتين $r$ و$R$، فإن القوسين اللذين تحصرهما فيهما زاوية مركزية واحدة يتناسبان مع نصفي القطرين، ومساحة القرص الذي نصف قطره $r$ هي $\pi r^2$.

تُقبل هذه الحقيقة دون برهان، لأن أطوال الأقواس ومساحات المناطق المنحنية تُعرَّف بواسطة النهايات وتُحسب بالتكامل، في دورة التفاضل والتكامل 2. ويفترض جزؤها الأخير أن العدد $\pi$ معلوم، وهو يُعرَّف الآن: العدد $\pi$ هو نصف طول دائرة الوحدة، أي الدائرة التي نصف قطرها $1$. ومن تناسب الأقواس مع أنصاف الأقطار، مطبَّقًا على زاوية الدورة الكاملة، يكون طول الدائرة التي نصف قطرها $r$ هو $2\pi r$، وتكون النسبة بين طول أي دائرة وقطرها دائمًا $\pi$. ويُقبل أيضًا أن $\pi$ عدد غير نسبي، وأن تمثيله العشري يبدأ بـ 3,14159؛ وبخاصة $3 < \pi < 4$.

ولقياس الزوايا يلزم، فوق ذلك، السير على الدائرة بطول القوس: الانطلاق من نقطة والتقدّم عليها طولًا معطى، في اتجاه أو في الآخر، ومعرفة النقطة التي يُوصَل إليها. وكل ما تقوله هذه الوحدة عن الزوايا والدوال المثلثية يقوم على هذا السير، ولذلك يحسن أن يُنصّ بدقة على ما يُقبل منه. ويُنصّ عليه في المستوى الديكارتي، لدائرة الوحدة $x^2 + y^2 = 1$ ونقطتها $A = (1, 0)$؛ ولأن الأطوال لا تتغيّر بتحريك الأشكال، فهو صحيح كذلك لأي دائرة نصف قطرها $1$ ولأي نقطة انطلاق.

مسلّمة (السير على الدائرة بطول القوس). لكل عدد حقيقي $s$ توجد نقطة وحيدة $P(s)$ من دائرة الوحدة يُوصَل إليها بالانطلاق من $A = (1, 0)$ وقطع طول $\abs{s}$ عليها، عكس اتجاه عقارب الساعة إذا كان $s > 0$ وفي اتجاه عقارب الساعة إذا كان $s < 0$، مع إتمام ما يلزم من الدورات؛ ومن أجل $s = 0$ يكون $P(0) = A$. ولهذا السير الخواص الأربع الآتية.

1. التعاقب: إذا قُطع من النقطة $P(s)$ طول $t \geq 0$ عكس اتجاه عقارب الساعة، وُصل إلى $P(s + t)$؛ وإذا قُطع في اتجاه عقارب الساعة، وُصل إلى $P(s - t)$.
2. الدورية: الدورة الكاملة، في أي اتجاه، تقطع الطول $2\pi$ للدائرة وتعيد إلى نقطة الانطلاق؛ أي إن $P(s + 2\pi) = P(s)$ لكل عدد حقيقي $s$.
3. نصف الدورة: يمرّ السير عكس اتجاه عقارب الساعة أولًا بنصف الدائرة العلوي، من اليمين إلى اليسار. وبدقة، $P(\pi) = (-1, 0)$، وإذا كان $0 \leq s < t \leq \pi$، فإن للنقطتين $P(s)$ و$P(t)$ إحداثيًا صاديًا غير سالب، والإحداثي السيني لـ $P(s)$ أكبر من الإحداثي السيني لـ $P(t)$.
4. التغطية: كل نقطة من دائرة الوحدة هي $P(s)$ لعدد حقيقي ما $s$.

تُقبل المسلّمة دون برهان للسبب نفسه الذي قُبلت به الحقيقة المذكورة أعلاه: يُعرَّف طول القوس بواسطة نهاية، وتُبرهن خواصه في دورة التفاضل والتكامل 2؛ والتغطية، التي تؤكّد أن السير على الدائرة لا يتخطّى أي نقطة، تقوم فوق ذلك على خاصة القيمة الوسطى للدوال المتصلة، التي تُبرهن في دورة التفاضل والتكامل 1. ولخاصة نصف الدورة قراءة هندسية بسيطة. فإذا كانت $(x, y)$ على دائرة الوحدة، فإن مربع بعدها عن النقطة $A$ هو ما يلي:

ومن ثَمّ فإن القول بأن الإحداثي السيني يتناقص تناقصًا تامًّا على طول نصف الدائرة العلوي يكافئ القول بأن الوتر الذي يصل $A$ بالنقطة التي بلغها السير يتزايد تزايدًا تامًّا مع القوس، حتى يصير قطرًا عند نهاية نصف الدورة. وحين يُعرَّف، في الدرس الخاص بـالنسب المثلثية، جيب تمام $s$ بأنه الإحداثي السيني لـ $P(s)$، ستقول هذه الخاصة إن جيب التمام متناقص تناقصًا تامًّا على $\icc{0}{\pi}$: وهذه الرتابة لا تُستنتج، بل هي شرط نصف الدورة نفسه مقروءًا بالإحداثيات. والحال أنه من هذه المسلّمة، ومن الحقائق المتعلقة بالأطوال والمساحات، ومن الحقيقة المتعلقة بالانعكاسات التي تُقبل بعد قليل، يُستنتج كل ما يُستعمل غير ذلك من السير: في هذا الدرس، سلوك نصف الدورة الثاني وأن الدورة الواحدة لا تمرّ بالنقطة نفسها مرتين؛ وفي الدرس الخاص بـالدوال المثلثية العكسية، رتابة الجيب والظل.

حقيقة مقبولة دون برهان (الانعكاسات والدوران بنصف دورة). يحفظ الانعكاس بالنسبة إلى مستقيم المسافات، ومعها أطوال الأقواس، لكنه يعكس اتجاه الدوران: فهو يحوّل سيرًا عكس اتجاه عقارب الساعة على دائرة مركزها نقطة من ذلك المستقيم إلى سير في اتجاه عقارب الساعة له الطول نفسه، والعكس بالعكس. والدوران بنصف دورة حول نقطة، وهو تركيب الانعكاسين بالنسبة إلى مستقيمين متعامدين يمرّان بها، يحفظ المسافات والأطوال وكذلك اتجاه الدوران.

تنتمي هذه الحقيقة إلى الهندسة الأولية لحركات المستوى، التي لا تبسطها هذه الدورة. وبالإحداثيات، الانعكاس بالنسبة إلى المحور $x$ هو التحويل $(x, y) \mapsto (x, -y)$؛ وهو ينقل دائرة الوحدة إلى نفسها، لأن $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$، ويُبقي النقطة $A = (1, 0)$ ثابتة. وبه يُحصل على نصف الدورة الثاني من السير انطلاقًا من الأول.

لتكن زاوية موجَّهة رأسها المركز $O$ لدائرة الوحدة، ولتكن $A$ النقطة التي يقطع فيها الضلع الابتدائي هذه الدائرة. حين يدور الضلع، تقطع النقطة $A$ قوسًا من الدائرة، كما في المسلّمة المذكورة أعلاه. والقياس بالراديان للزاوية هو طول هذا القوس، بإشارة موجبة إذا كان الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة وسالبة إذا كان في اتجاهها؛ وإذا تضمّن الدوران عدة دورات، أضافت كل دورة كاملة طول الدائرة $2\pi$.

الزاوية المقيسة بالراديان عدد حقيقي بلا وحدات: إنها النسبة بين طول قوس وطول نصف القطر، الذي قيمته $1$. ولذلك يُكتب ببساطة $\theta = 2$ لزاوية قياسها راديانان؛ وحين يُراد التشديد على الوحدة، يُكتب 2 rad. أما القياس بالدرجات فيُشار إليه دائمًا برمزه، كما في $30^\circ$. وفي المقابل، كل عدد حقيقي هو قياس زاوية موجَّهة ما: فبحسب مسلّمة السير، لكل $\theta$ تستطيع النقطة $A$ أن تقطع على الدائرة طولًا $\abs{\theta}$ في الاتجاه الذي تدلّ عليه إشارة $\theta$، مع إتمام ما يلزم من الدورات الكاملة، ونصف المستقيم الذي يمتدّ من الرأس إلى النقطة التي بُلغت هو الضلع النهائي.

التحويل بين الدرجات والراديان

لأن قياس الدورة الكاملة $360^\circ$ وهو أيضًا $2\pi$ راديان، ولأن القياسين متناسبان مع طول القوس الذي تحصره الزاوية على دائرة الوحدة (القياس بالدرجات بحسب تعريف الدرجة، والقياس بالراديان لأنه هو ذلك الطول)، فإن قياسي الزاوية متناسبان.

عمليًا، للانتقال من الدرجات إلى الراديان يُضرب في $\frac{\pi}{180}$، وللانتقال من الراديان إلى الدرجات يُضرب في $\frac{180}{\pi}$. وهكذا $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$، و$-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$، و$\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$؛ والزاوية التي قياسها $2$ راديان قياسها $\frac{360}{\pi}$ درجة، أي نحو 114,6 درجة.

طول القوس ومساحة القطاع

في دائرة نصف قطرها $r$، تحصر زاوية مركزية $\theta$ قوسًا، ويحدّ ضلعا الزاوية، مع ذلك القوس، قطاعًا دائريًا. ويعطي القياس بالراديان صيغه شكلًا بسيطًا على نحو خاص.

لو قيست الزاوية بالدرجات، لتضمّنت الصيغ معامل التحويل: لكان القوس $\frac{\pi r g}{180}$ ومساحة القطاع $\frac{\pi r^2 g}{360}$. وبساطة $s = r\theta$ هي السبب الرئيسي لتفضيل الراديان. وفضلًا عن ذلك، تعطي الصيغة قياس الزاوية في أي دائرة، لا في دائرة الوحدة وحدها: $\theta = \frac{s}{r}$ هي النسبة بين القوس ونصف القطر، ولا تتوقف على نصف القطر المختار.

الزاوية المحيطية

تُسمّى الزاوية التي رأسها مركز دائرة زاوية مركزية. وإذا كانت $A$ و$B$ و$C$ ثلاث نقاط مختلفة من دائرة، فإن الزاوية التي يكوّنها عند $C$ الوتران $CA$ و$CB$ تُسمّى زاوية محيطية، ويُقال إنها تحصر القوس الذي طرفاه $A$ و$B$ ولا يحتوي $C$. وبحسب المبرهنة المذكورة أعلاه، يقابل قوسًا طوله $s$ من دائرة نصف قطرها $r$ الزاويةُ المركزية التي قياسها $\frac{s}{r}$ راديان، حتى لو تجاوز هذا العدد $\pi$. ولمقارنة الزاوية المحيطية بالمركزية تُقبل الحقائق الآتية من الهندسة الأولية، التي لا تبرهنها هذه الدورة لأنها لا تبسط الهندسة التركيبية. فالحقيقتان الأوليان تقيسان زوايا المثلث؛ والأخيرتان حقيقتان تتعلقان بالوضع، تقولان كيف تتوزّع الزوايا والأقواس حين يمرّ نصف مستقيم بداخل زاوية.

حقيقة مقبولة دون برهان (زوايا المثلث والأوضاع على الدائرة). تُقبل العبارات الأربع الآتية، التي تُقاس فيها الزوايا غير الموجَّهة بالراديان، بين $0$ و$\pi$.

1. مجموع الزوايا: مجموع زوايا المثلث الثلاث زاوية مستقيمة، أي $\pi$ راديان.
2. المثلث المتساوي الساقين: في مثلث له ضلعان متساويان، الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين متساويتان.
3. مجموع الزوايا المتجاورة: إذا مرّ نصف مستقيم ينطلق من رأس زاوية بداخلها، فإنه يقسمها إلى زاويتين مجموع قياسيهما قياس الزاوية المعطاة.
4. وضع المركز: لتكن $A$ و$B$ و$C$ ثلاث نقاط مختلفة من دائرة مركزها $O$، ولتكن $D$ الطرف الآخر للقطر المنطلق من $C$. إذا لم يكن $O$ على الوتر $CA$ ولا على الوتر $CB$، فإن أحد أمرين يحدث. فإما أن يكون $O$ بداخل الزاوية التي يكوّنها هذان الوتران عند $C$، وحينئذ يمرّ نصف المستقيم الممتدّ من $C$ إلى $D$ بذلك الداخل وتكون $D$ على القوس الذي طرفاه $A$ و$B$ ولا يحتوي $C$. وإما أن يكون $O$ خارج تلك الزاوية، وحينئذ تكون إحدى النقطتين $A$ و$B$، ويمكن تسميتها $A$، على القوس الذي طرفاه $D$ و$B$ ولا يحتوي $C$، ويمرّ نصف المستقيم الممتدّ من $C$ إلى $A$ بداخل الزاوية التي يكوّنها عند $C$ الوتران $CD$ و$CB$.

النقاط التي ليست على الدائرة ترى الوتر بزوايا أخرى. والنتيجة الآتية تُقبل أيضًا من الهندسة الأولية: فهي تُستخرج من المبرهنة المذكورة أعلاه ومن القضية 21 من المقالة الأولى من «الأصول» لإقليدس، التي بحسبها ترى نقطة داخل مثلث أحد أضلاعه بزاوية أكبر مما يراه به الرأس المقابل؛ لكن برهانها يتطلّب معرفة المواضع التي تقطع فيها الدائرةَ القطعُ المستقيمة المنطلقة من النقطة، وهي مسألة وضع لا تبسطها هذه الدورة. وستُستعمل في آخر مسألة محلولة من الدرس الخاص بـالدوال المثلثية العكسية.

حقيقة مقبولة دون برهان (الزوايا من نقاط داخلية وخارجية). لتكن $A$ و$B$ نقطتين من دائرة، و$\gamma$ القياس المشترك للزوايا المحيطية التي طرفاها $A$ و$B$ ورأسها على أحد القوسين اللذين تعيّنهما هاتان النقطتان. إذا كانت $Q$ نقطة ليست على الدائرة، واقعة في جهة المستقيم $AB$ نفسها التي يقع فيها ذلك القوس، فإن الزاوية التي تكوّنها عند $Q$ القطعتان $QA$ و$QB$ أصغر من $\gamma$ إذا كانت $Q$ خارج القرص، وأكبر من $\gamma$ إذا كانت داخله.

الوضع القياسي والزوايا المشتركة في الضلع النهائي

في المستوى الديكارتي، الذي دُرس في الدرس الخاص بـمعادلة المستقيم وأنظمة الإحداثيات الديكارتية من دورة الجبر والهندسة 1، لكل زاوية وضع مميَّز.

تكون الزاوية الموجَّهة في الوضع القياسي إذا كان رأسها نقطة الأصل وضلعها الابتدائي نصف المحور الموجب $x$. ويكون ضلعها النهائي حينئذ نصف المستقيم المنطلق من الأصل والمارّ بالنقطة $P(\theta)$ من مسلّمة السير، أي النقطة من دائرة الوحدة $x^2 + y^2 = 1$ التي يُوصَل إليها بقطع قوس، انطلاقًا من $(1, 0)$، طوله $\abs{\theta}$ في الاتجاه الذي تدلّ عليه إشارة $\theta$. وتكون زاويتان مشتركتين في الضلع النهائي إذا كان لهما، في الوضع القياسي، الضلع النهائي نفسه.

يقسم المحوران المستوى إلى أربعة أرباع، مرقّمة عكس اتجاه عقارب الساعة ابتداءً من الربع الذي يحتوي النقاط ذات الإحداثيات الموجبة. والزاوية في الوضع القياسي تقع في الربع الذي يحتوي ضلعها النهائي؛ وإذا وقع هذا الضلع على محور، سُمّيت الزاوية زاوية ربعية. وإحداثيا النقطة $P(\theta)$ هما جيب تمام $\theta$ وجيبها، اللذان سيُدرسان في الدرس اللاحق، الخاص بـالنسب المثلثية.

الدورة الكاملة، في أي اتجاه، تعيد الضلع إلى وضعه، بحسب دورية السير: الزاوية $\theta + 2\pi$ مشتركة في الضلع النهائي مع $\theta$، وكذلك $\theta - 2\pi$ و$\theta + 4\pi$، وعمومًا $\theta + 2k\pi$ مع $k$ عدد صحيح. ولمعرفة أين تنتهي زاوية ما يكفي إذن حذف الدورات الكاملة، كما تُحذف مضاعفات القاسم في الدرس الخاص بـقابلية القسمة والقسمة مع الباقي من دورة الجبر والهندسة 1. والمبرهنة الآتية هي الصيغة الحقيقية لتلك القسمة: القاسم $2\pi$، وخارج القسمة عدد الدورات، والباقي الزاوية المتبقية.

يُسمّى العدد $\theta_0$ ردّ $\theta$ إلى الدورة الأولى. وبالدرجات، الاستدلال نفسه، مع $360$ بدلًا من $2\pi$، يردّ أي زاوية إلى زاوية بين $0^\circ$ و$360^\circ$، باستثناء هذه الأخيرة: مثلًا $1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$. وبالردّ تُعرف كل الزوايا التي تنتهي عند الضلع نفسه؛ وقبل ذلك يلزم معرفة أن الدورة الواحدة لا تمرّ بالنقطة نفسها مرتين، وهذا يُستنتج من مسلّمة السير.

ويترتّب على ذلك أن الزوايا المشتركة في الضلع النهائي مع $\theta$ هي بالضبط الزوايا التي على الشكل $\theta + 2k\pi$، مع $k$ عدد صحيح، وأن ربع الزاوية يحدّده ردّها: فهي تقع في الربع الأول إذا كان $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$، وفي الثاني إذا كان $\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$، وفي الثالث إذا كان $\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$، وفي الرابع إذا كان $\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$؛ وهي زاوية ربعية إذا كانت $\theta_0$ مساوية لـ $0$ أو $\frac{\pi}{2}$ أو $\pi$ أو $\frac{3\pi}{2}$. وهكذا تقع $-\frac{23\pi}{6}$ في الربع الأول، وتقع $1000^\circ$، التي ردّها $280^\circ$، في الربع الرابع.

وأخيرًا، كل نقطة من دائرة الوحدة هي النقطة $P(\theta)$ لزاوية ما: هذه خاصة التغطية في مسلّمة السير، التي تقول إن السير على الدائرة انطلاقًا من $(1, 0)$ يمرّ بجميع نقاطها. وإذا كان الأمر كذلك، فبحسب الردّ إلى الدورة الأولى والدورية وتوطئة الزوايا المشتركة في الضلع النهائي، كل نقطة من دائرة الوحدة هي $P(\theta)$ لـ $\theta$ وحيدة في $\ico{0}{2\pi}$، والزوايا المقابلة لها هي بالضبط الزوايا المشتركة في الضلع النهائي مع تلك $\theta$.

السرعة الزاوية والسرعة الخطية

حين يدور جسم حول محور، ترسم جميع نقاطه أقواسًا من دوائر مراكزها على المحور، وتدور جميعها الزاوية نفسها في الزمن نفسه. فإذا دار الجسم في زمن $t$، بمعدّل ثابت، زاوية $\theta$، فإن سرعته الزاوية هي النسبة $\omega = \frac{\theta}{t}$، وتُقاس بالراديان في الثانية؛ وتُعبَّر عنها أيضًا بالدورات في الدقيقة، ولأن الدورة الواحدة $2\pi$ راديان والدقيقة $60$ ثانية، فإن دورة واحدة في الدقيقة تكافئ $\frac{\pi}{30}$ راديان في الثانية.

النقطة الواقعة على بعد $r$ من المحور تقطع، في ذلك الزمن، قوسًا طوله $s = r\theta$، بحسب مبرهنة طول القوس. ولذلك فإن سرعتها الخطية، وهي النسبة بين المسافة المقطوعة والزمن، تساوي حاصل ضرب نصف القطر في السرعة الزاوية:

ويترتّب على ذلك أنه، في جسم يدور، تكون السرعة الزاوية واحدة لجميع النقاط، في حين تتزايد السرعة الخطية بالتناسب مع البعد عن المحور: فحافة قرص يدور تتحرّك أسرع من النقاط القريبة من المركز. وهذه العلاقة، الصحيحة فقط إذا قيست الزوايا بالراديان، هي نقطة انطلاق دراسة الحركة الدائرية في دورة أساسيات الميكانيكا. والعجلتان المتصلتان بسير أو بجنزير لا ينزلق، أو المتعشّقتان إحداهما بالأخرى، لهما عند نقطة التماس السرعة الخطية نفسها؛ ولذلك $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$، والعجلة الصغرى تدور أسرع، كما سيُرى في المسألة المحلولة 3.

مسائل محلولة

تقيس المسائل الأرض انطلاقًا من زاوية، وتحسب مساحة قطعة دائرية، وتنقل دورانًا عبر جنزير، وتبحث عن القطاع الأكبر مساحة لمحيط معطى، وتعدّ مرات انطباق عقربي الساعة. وكل منها يتطلّب فكرة خاصة به، يحسن البحث عنها قبل قراءة الحل.

عبّر إراتوستينس عن المسافة بالأستاديا، التي تُناقش قيمتها الدقيقة؛ وبالعدد المعتمد هنا، يكون طول خط الطول 40000 km، وليس ذلك مصادفة: ففي أواخر القرن الثامن عشر عُرِّف المتر بأنه جزء من عشرة ملايين من ربع خط الطول. ومن جهة أخرى، لا تقع الإسكندرية تمامًا شمال أسوان، بل نحو ثلاث درجات إلى الغرب، فلا يكون القوس الذي يصلهما قوسًا من خط الطول تمامًا.