角及其度量：角度制与弧度制

有向角

在初等几何中，角是由具有公共端点的两条射线组成的图形，其度量介于 $0^\circ$ 与 $180^\circ$ 之间。为了研究旋转，例如车轮的旋转、钟表指针的旋转或地球绕其轴的旋转，这个概念是不够的：我们关心的是转过了多少以及朝哪个方向转，而且一次旋转可以转好几圈。因此，角被看作一次旋转的结果。

有向角由一条射线及其完成的旋转确定：这条射线叫做始边，它绕其端点旋转，这个端点叫做顶点，直到占据一个最终位置，这个位置叫做终边。如果旋转方向与钟表指针的转向相反（逆时针方向），角是正角；如果旋转方向与钟表指针的转向相同（顺时针方向），角是负角。零角是不旋转的角。

同一对边可以对应许多有向角：逆时针方向转四分之一周、顺时针方向转四分之三周，或者转四分之一周再加一整周，终边都占据同一位置。这些角是不同的，因为它们描述不同的旋转，尽管终止于同一条边；本课第三部分将说明它们之间的关系。

角度制

最古老的角的度量把一整周分成 $360$ 条相等的弧，并把每条弧所对的角叫做度：说一个角为 $g$ 度，是指它的弧等于一度之弧的 $g$ 倍，因此以度为单位的度量与弧长成正比。每度分为 $60$ 分，每分又分为 $60$ 秒。这个制度源于以六十为基数计数的巴比伦天文学，正如课程 I 中关于进位记数制的课所解释的那样；数 $360$ 的优点是能被 $2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$8$、$9$、$10$ 和 $12$ 等数整除。直角为 $90^\circ$，平角为 $180^\circ$，一整周为 $360^\circ$；负角带负号度量，因此顺时针方向的四分之一周为 $-90^\circ$。40 度 15 分 36 秒的角，简写时在每个数字后面依次写上度的符号、表示分的一撇和表示秒的两撇，以度为单位等于下式，即 40.26 度：

然而，数 $360$ 只是一种约定：圆的几何中没有任何东西使它区别于别的数。如果用一种源于圆本身的方式来度量角，那么弧长公式和扇形面积公式，以及以后的三角函数公式，都会变得更简单。

弧度

想法是用角在以其顶点为圆心、半径为 $1$ 的圆上所对的弧的长度来度量这个角。这就要求知道弧长是什么，而这里出现一个困难：弧不是线段的并，它的长度定义为内接于它的折线的长度在其边越来越短时所趋近的值，也就是说，借助极限来定义。对它的研究属于微积分 II课程，那里要计算曲线的长度和由曲线围成的区域的面积。这里承认下面的事实。

不加证明的事实（圆中的长度与面积）。圆的每条弧都有长度，由线段和弧围成的每个区域都有面积。全等的图形有相同的长度或相同的面积；如果一个图形分解成两个不重叠的图形，它的度量等于这两部分度量之和；如果一个区域包含另一个区域，它的面积不小于后者，而当差集包含某个圆盘时则大于后者。此外，若两个圆的半径为 $r$ 和 $R$，同一个圆心角在这两个圆中所对的弧与半径成正比，并且半径为 $r$ 的圆盘的面积是 $\pi r^2$。

这个事实不加证明地承认，因为弧长和曲边区域的面积要借助极限来定义，并用积分来计算，这在微积分 II课程中进行。它的最后一部分假定数 $\pi$ 已知，现在就来定义它：数 $\pi$ 是单位圆周长的一半，也就是半径为 $1$ 的圆的周长的一半。把弧与半径的比例关系用于一整周的角，可知半径为 $r$ 的圆的周长为 $2\pi r$，并且任意圆的周长与其直径之比总是 $\pi$。还承认 $\pi$ 是无理数，且它的小数表示以 3.14159 开头；特别地，$3 < \pi < 4$。

此外，为了度量角，还需要沿圆按弧长行进：从一点出发，沿着圆朝一个方向或另一个方向前进给定的长度，并知道到达哪一点。本单元关于角和三角函数所说的一切都建立在这种行进之上，因此应当准确地陈述对它承认了什么。陈述在笛卡儿平面上进行，针对单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 及其上的点 $A = (1, 0)$；由于移动图形时长度不变，它同样适用于任何半径为 $1$ 的圆和任何出发点。

公理（按弧长行进）。对每个实数 $s$，存在唯一的点 $P(s)$（在单位圆上），使得从 $A = (1, 0)$ 出发，沿圆行进长度 $\abs{s}$，当 $s > 0$ 时按逆时针方向，当 $s < 0$ 时按顺时针方向，需要转几圈就转几圈，便到达这一点；当 $s = 0$ 时，$P(0) = A$。这种行进具有下面四条性质。

1. 接续：如果从点 $P(s)$ 出发按逆时针方向行进长度 $t \geq 0$，就到达 $P(s + t)$；如果按顺时针方向行进，就到达 $P(s - t)$。
2. 周期性：沿任一方向转一整周，行进的是圆的长度 $2\pi$，并回到出发点；也就是说，$P(s + 2\pi) = P(s)$ 对每个实数 $s$ 成立。
3. 半周：逆时针方向的行进先经过上半圆，从右到左。确切地说，$P(\pi) = (-1, 0)$，并且若 $0 \leq s < t \leq \pi$，则点 $P(s)$ 与 $P(t)$ 的纵坐标非负，且 $P(s)$ 的横坐标大于 $P(t)$ 的横坐标。
4. 覆盖：单位圆上的每一点都是 $P(s)$，这里 $s$ 是某个实数。

这条公理不加证明地承认，理由与前面的事实相同：弧长借助极限来定义，其性质在微积分 II课程中证明；覆盖性断言沿圆行进时不会跳过任何一点，它还依赖于连续函数的介值性质，后者在微积分 I课程中证明。半周性质有一个简单的几何解释。若 $(x, y)$ 在单位圆上，则它到点 $A$ 的距离的平方如下：

因此，说横坐标沿上半圆严格递减，等价于说连接 $A$ 与行进所到之点的弦随弧严格增大，直到半周结束时成为一条直径。当在关于三角比的课中，把 $s$ 的余弦定义为 $P(s)$ 的横坐标时，这条性质就是说余弦在 $\icc{0}{\pi}$ 上严格递减：这种单调性不是推出来的，而正是用坐标读出的半周条款本身。不过，由这条公理、关于长度与面积的事实以及紧接着承认的关于反射的事实，可以推出关于行进所用到的其余一切：在本课中，是第二个半周的性态以及一周不会两次经过同一点；在关于反三角函数的课中，是正弦与正切的单调性。

不加证明的事实（反射与半周旋转）。关于一条直线的反射保持距离，从而保持弧长，但改变旋转方向：它把圆心在该直线上一点的圆上的逆时针方向行进变为同样长度的顺时针方向行进，反之亦然。绕一点的半周旋转，即关于过该点的两条互相垂直的直线的反射的复合，保持距离、长度，也保持旋转方向。

这个事实属于平面运动的初等几何，本课程不展开这部分内容。在坐标中，关于 $x$ 轴的反射是变换 $(x, y) \mapsto (x, -y)$；它把单位圆变为自身，因为 $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$，并且保持点 $A = (1, 0)$ 不动。借助它，行进的第二个半周可以由第一个半周得到。

设有一个有向角，其顶点为单位圆的圆心 $O$，并设 $A$ 是始边与该圆的交点。当这条边旋转时，点 $A$ 沿圆走过一条弧，就像在前面的公理中那样。角的弧度数就是这条弧的长度，旋转为逆时针方向时取正号，为顺时针方向时取负号；如果旋转转了好几圈，每转一整周就加上圆的长度 $2\pi$。

用弧度度量的角是一个没有单位的实数：它是弧长与半径长度之比，而半径长度等于 $1$。因此，对于两弧度的角，直接写 $\theta = 2$；需要强调单位时，写成 2 rad。相反，以度为单位的度量总要标明其符号，如 $30^\circ$。反过来，每个实数都是某个有向角的度量：由行进公理，对每个 $\theta$，点 $A$ 可以沿圆行进长度 $\abs{\theta}$，方向由 $\theta$ 的符号指示，需要转几整周就转几整周，而从顶点到所到达之点的射线就是终边。

度与弧度的换算

由于一整周为 $360^\circ$，也为 $2\pi$ 弧度，并且两种度量都与角在单位圆上所对弧的长度成正比（度数由度的定义而成正比，弧度数则因为它就是这个长度），所以一个角的两种度量成正比。

实际上，从度化为弧度时乘以 $\frac{\pi}{180}$，从弧度化为度时乘以 $\frac{180}{\pi}$。于是，$225^\circ = \frac{5\pi}{4}$，$-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$，$\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$；$2$ 弧度的角为 $\frac{360}{\pi}$ 度，约为 114.6 度。

弧长与扇形面积

在半径为 $r$ 的圆中，圆心角 $\theta$ 所对的是一条弧，角的两边与这条弧围成一个扇形。弧度数使扇形的公式具有特别简单的形式。

如果用度来度量角，公式中就会带有换算因子：弧长会是 $\frac{\pi r g}{180}$，扇形面积会是 $\frac{\pi r^2 g}{360}$。$s = r\theta$ 的简洁是偏爱弧度的主要理由。此外，这个公式给出任意圆中而不只是单位圆中角的度量：$\theta = \frac{s}{r}$ 是弧与半径之比，与所选的半径无关。

圆周角

顶点在圆心的角叫做圆心角。若 $A$、$B$ 和 $C$ 是圆上三个不同的点，则在 $C$ 处由弦 $CA$ 与 $CB$ 所成的角叫做圆周角，并说它所对的弧是端点为 $A$ 与 $B$、不含 $C$ 的那条弧。由前面的定理，长为 $s$ 的弧（在半径为 $r$ 的圆上）对应 $\frac{s}{r}$ 弧度的圆心角，即使这个数超过 $\pi$。为了比较圆周角与圆心角，承认下面这些初等几何的事实，本课程不证明它们，因为本课程不展开综合几何。前两条度量三角形的角；后两条是关于位置的事实，说明一条射线经过一个角的内部时，角与弧如何分配。

不加证明的事实（三角形的角与圆上的位置）。承认下面四条断言，其中无向角用弧度度量，介于 $0$ 与 $\pi$ 之间。

1. 角的和：三角形的三个角之和为一个平角，即 $\pi$ 弧度。
2. 等腰三角形：在有两条边相等的三角形中，这两条边所对的角相等。
3. 相邻角的和：如果从一个角的顶点出发的一条射线经过这个角的内部，它就把这个角分成两个角，其度量之和等于原角的度量。
4. 圆心的位置：设 $A$、$B$ 与 $C$ 是圆心为 $O$ 的圆上三个不同的点，并设 $D$ 是从 $C$ 出发的直径的另一个端点。若 $O$ 既不在弦 $CA$ 上，也不在弦 $CB$ 上，则两种情形必居其一。或者 $O$ 在这两条弦于 $C$ 处所成角的内部，这时从 $C$ 到 $D$ 的射线经过该内部，并且 $D$ 在端点为 $A$ 与 $B$、不含 $C$ 的弧上。或者 $O$ 在该角的外部，这时点 $A$ 与 $B$ 中有一个（可以把它叫做 $A$）在端点为 $D$ 与 $B$、不含 $C$ 的弧上，并且从 $C$ 到 $A$ 的射线经过在 $C$ 处由弦 $CD$ 与 $CB$ 所成角的内部。

不在圆上的点以别的角度看这条弦。下面的结果也从初等几何中承认：它由前面的定理和欧几里得《几何原本》第 I 卷命题 21 得出，按照这个命题，三角形内部的一点看它的一条边所成的角，大于对顶点看这条边所成的角；但它的证明需要知道从该点出发的线段在哪里与圆相交，这是本课程不展开的位置问题。它将用于关于反三角函数的课的最后一道例题。

不加证明的事实（从内点与外点看的角）。设 $A$ 与 $B$ 是圆上的两点，$\gamma$ 是端点为 $A$ 与 $B$、顶点在这两点所确定的两条弧之一上的圆周角的公共度量。若 $Q$ 是不在圆上的一点，与这条弧位于直线 $AB$ 的同侧，则在 $Q$ 处由线段 $QA$ 与 $QB$ 所成的角小于 $\gamma$（若 $Q$ 在圆外），大于 $\gamma$（若它在圆内）。

标准位置与终边相同的角

在课程 I 中关于直线的方程的课里研究过的笛卡儿平面上，每个角都有一个特优的位置。

若一个有向角的顶点是原点，始边是 $x$ 轴的正半轴，则称它处于标准位置。这时它的终边是从原点出发、经过行进公理中的点 $P(\theta)$ 的射线，也就是单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上这样一点：从 $(1, 0)$ 出发走过一条弧，弧长为 $\abs{\theta}$，方向由 $\theta$ 的符号指示，便到达该点。如果两个角在标准位置下有相同的终边，就称它们是终边相同的角。

两条坐标轴把平面分成四个象限，从包含坐标为正的点的那个象限开始，按逆时针方向编号。处于标准位置的角，其终边在哪个象限，就说这个角是第几象限角；若终边落在坐标轴上，这个角叫做象限界角。点 $P(\theta)$ 的坐标是 $\theta$ 的余弦与正弦，将在下一课，即关于三角比的课中研究。

沿任一方向转一整周，由行进的周期性，使边回到原位：角 $\theta + 2\pi$ 与 $\theta$ 终边相同，$\theta - 2\pi$、$\theta + 4\pi$ 也是如此，一般地，$\theta + 2k\pi$（其中 $k$ 为整数）也是如此。因此，要知道任意角终止于何处，只需去掉整周，正如在课程 I 中关于整除与带余除法的课里去掉除数的倍数那样。下面的定理是那种除法的实数版本：除数是 $2\pi$，商是周数，余数是剩下的角。

数 $\theta_0$ 叫做 $\theta$ 到第一周的化归。用度时，同样的推理（以 $360$ 代替 $2\pi$）把任意角化为 $0^\circ$ 与 $360^\circ$ 之间的一个角，后者除外：例如，$1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$。借助化归可以识别终止于同一条边的所有角；在此之前需要知道一周不会两次经过同一点，这可由行进公理推出。

由此可知，与 $\theta$ 终边相同的角恰好是形如 $\theta + 2k\pi$ 的角，其中 $k$ 为整数；并且角所在的象限由其化归决定：若 $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$，它是第一象限角；若 $\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$，是第二象限角；若 $\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$，是第三象限角；若 $\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$，是第四象限角；若 $\theta_0$ 是 $0$、$\frac{\pi}{2}$、$\pi$ 或 $\frac{3\pi}{2}$，它是象限界角。于是，$-\frac{23\pi}{6}$ 是第一象限角，而 $1000^\circ$（其化归为 $280^\circ$）是第四象限角。

最后，单位圆上的每一点都是某个角的点 $P(\theta)$：这是行进公理的覆盖性质，它说从 $(1, 0)$ 出发沿圆行进会经过圆上所有的点。既然如此，由化到第一周、周期性以及终边相同的角的引理，单位圆上的每一点都是 $P(\theta)$，这里的 $\theta$ 是 $\ico{0}{2\pi}$ 中唯一的一个，而与该点对应的角恰好是与这个 $\theta$ 终边相同的角。

角速度与线速度

当物体绕一根轴旋转时，它的所有点都描出圆心在轴上的圆弧，并且在相同的时间内都转过相同的角。若在时间 $t$ 内物体以恒定速率转过角 $\theta$，则它的角速度是比值 $\omega = \frac{\theta}{t}$，以弧度每秒为单位；也可以用每分钟转数表示，由于一转是 $2\pi$ 弧度，一分钟是 $60$ 秒，每分钟一转相当于每秒 $\frac{\pi}{30}$ 弧度。

离轴距离为 $r$ 的一点，在这条时间内走过长为 $s = r\theta$ 的弧，这由弧长定理得出。因此，它的线速度，即所走距离与时间之比，等于半径与角速度的乘积：

由此可知，在旋转的物体中，所有点的角速度相同，而线速度与到轴的距离成正比地增大：旋转圆盘的边缘比靠近圆心的点运动得更快。这个关系只在角用弧度度量时成立，它是力学基础课程中研究圆周运动的出发点。用不打滑的皮带或链条连接的两个轮子，或者彼此啮合的两个轮子，在接触点处具有相同的线速度；因此 $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$，较小的轮子转得更快，这将在例题 3 中看到。

例题

这些例题从一个角出发测量地球，计算一个弓形的面积，用链条传递旋转，寻找周长给定时面积最大的扇形，并数出钟表指针重合的次数。每道题都需要一个独特的想法，最好在阅读解答之前先去寻找。

埃拉托斯特尼用斯塔迪昂表示距离，其确切数值尚有争议；按这里采用的数值，子午线长 40000 km，这并非巧合：18 世纪末，米被定义为四分之一子午线的一千万分之一。另一方面，亚历山大并不恰好在赛伊尼的正北，而是偏西约三度，所以连接两城的弧并不完全是子午线弧。