कोण और उनकी माप: अंश और रेडियन

दिष्ट कोण

प्रारंभिक ज्यामिति में कोण उभयनिष्ठ आरंभ बिंदु वाली दो किरणों से बनी आकृति है, और उसका माप $0^\circ$ और $180^\circ$ के बीच होता है। घूर्णनों का अध्ययन करने के लिए, जैसे किसी पहिये का, घड़ी की सुइयों का या अपने अक्ष पर पृथ्वी का घूर्णन, यह धारणा पर्याप्त नहीं है: महत्त्व इसका है कि कितना घुमाया गया और किस दिशा में, और एक घूर्णन कई चक्कर लगा सकता है। इसलिए कोण को एक घूर्णन के परिणाम के रूप में देखा जाता है।

दिष्ट कोण एक किरण द्वारा, जिसे प्रारंभिक भुजा कहते हैं और जो अपने आरंभ बिंदु के चारों ओर, जिसे शीर्ष कहते हैं, घूमकर एक अंतिम स्थिति ग्रहण करती है, जिसे अंतिम भुजा कहते हैं, तथा किए गए घूर्णन द्वारा निर्धारित होता है। कोण धनात्मक है यदि घूर्णन घड़ी की सुइयों की गति के विपरीत दिशा में (वामावर्त दिशा में) होता है, और ऋणात्मक है यदि घूर्णन घड़ी की सुइयों की दिशा में (दक्षिणावर्त दिशा में) होता है। शून्य कोण वह है जो घूमता नहीं।

भुजाओं का एक ही युग्म अनेक दिष्ट कोणों के संगत हो सकता है: अंतिम भुजा एक ही स्थिति ग्रहण करती है चाहे वामावर्त दिशा में एक चौथाई चक्कर घुमाया जाए, दक्षिणावर्त दिशा में तीन चौथाई चक्कर, या एक चौथाई चक्कर और उसके ऊपर एक पूरा चक्कर। ये कोण अलग-अलग हैं, क्योंकि ये अलग-अलग घूर्णनों का वर्णन करते हैं, भले ही वे एक ही भुजा पर समाप्त हों; इनका आपस में क्या संबंध है, यह इस पाठ का तीसरा भाग स्पष्ट करता है।

षाष्टिक पद्धति

कोणों का सबसे प्राचीन माप पूरे चक्कर को $360$ बराबर चापों में बाँटता है, और उनमें से प्रत्येक को अंतरित करने वाले कोण को अंश कहता है: एक कोण $g$ अंश का है यदि उसका चाप एक अंश के चाप का $g$ गुना है, जिससे अंशों में माप चाप की लंबाई के समानुपाती होता है। प्रत्येक अंश $60$ मिनटों में बँटता है, और प्रत्येक मिनट $60$ सेकंडों में। यह पद्धति बेबीलोनी खगोलशास्त्र से आई है, जो साठ को आधार मानकर गिनता था, जैसा कि पाठ्यक्रम I के स्थानीय मान पर आधारित संख्यांकन पद्धतियों वाले पाठ में समझाया गया है; संख्या $360$ का लाभ यह है कि वह अन्य संख्याओं के साथ-साथ $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$ और $12$ से विभाज्य है। एक समकोण $90^\circ$ का होता है, एक ऋजु कोण $180^\circ$ का और एक पूरा चक्कर $360^\circ$ का; ऋणात्मक कोण को ऋण चिह्न के साथ मापा जाता है, जिससे दक्षिणावर्त दिशा में एक चौथाई चक्कर $-90^\circ$ का होता है। 40 अंश, 15 मिनट और 36 सेकंड का कोण, जिसे प्रत्येक संख्या के बाद अंश का चिह्न, मिनटों के लिए एक एपॉस्ट्रॉफ़ी और सेकंडों के लिए दो लिखकर संक्षेप में लिखा जाता है, अंशों में नीचे दिया गया माप रखता है, अर्थात् 40.26 अंश:

फिर भी संख्या $360$ एक परिपाटी है: वृत्त की ज्यामिति में ऐसा कुछ नहीं है जो उसे किसी अन्य संख्या से अलग करे। चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के सूत्र, और आगे चलकर त्रिकोणमितीय फलनों के सूत्र, सरल हो जाते हैं यदि कोणों को ऐसे ढंग से मापा जाए जो स्वयं वृत्त से उत्पन्न होता है।

रेडियन

विचार यह है कि किसी कोण को उस चाप की लंबाई से मापा जाए जिसे वह अपने शीर्ष पर केंद्रित, $1$ त्रिज्या वाले वृत्त पर अंतरित करता है। इसके लिए यह जानना आवश्यक है कि चाप की लंबाई क्या है, और यहीं एक कठिनाई सामने आती है: चाप रेखाखंडों का सम्मिलन नहीं है, और उसकी लंबाई उस मान के रूप में परिभाषित होती है जिसकी ओर उसमें अंतर्लिखित टूटी रेखाओं की लंबाइयाँ अग्रसर होती हैं जब उनकी भुजाएँ उत्तरोत्तर छोटी होती जाती हैं, अर्थात् एक सीमा के द्वारा। इसका अध्ययन कलन II के पाठ्यक्रम में होता है, जहाँ वक्रों की लंबाइयाँ और वक्रों से घिरे प्रदेशों के क्षेत्रफल परिकलित किए जाते हैं। यहाँ नीचे दिए गए तथ्य स्वीकार किए जाते हैं।

बिना प्रमाण स्वीकृत तथ्य (वृत्त में लंबाइयाँ और क्षेत्रफल)। वृत्त के प्रत्येक चाप की एक लंबाई होती है, और रेखाखंडों तथा चापों से घिरे प्रत्येक प्रदेश का एक क्षेत्रफल होता है। सर्वांगसम आकृतियों की लंबाई या क्षेत्रफल समान होता है; यदि कोई आकृति दो ऐसी आकृतियों में विघटित होती है जो एक-दूसरे पर अतिव्याप्त नहीं होतीं, तो उसका माप भागों के मापों का योग होता है; और यदि एक प्रदेश दूसरे को समाहित करता है, तो उसका क्षेत्रफल कम नहीं होता, और अधिक होता है यदि अंतर में कोई चक्रिका समाहित हो। इसके अतिरिक्त, यदि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r$ और $R$ हैं, तो एक ही केंद्रीय कोण उनमें जो चाप अंतरित करता है वे त्रिज्याओं के समानुपाती होते हैं, और $r$ त्रिज्या वाली चक्रिका का क्षेत्रफल $\pi r^2$ है।

इस तथ्य को बिना प्रमाण स्वीकार किया जाता है, क्योंकि चापों की लंबाइयाँ और वक्र प्रदेशों के क्षेत्रफल सीमाओं के द्वारा परिभाषित होते हैं और समाकल से परिकलित किए जाते हैं, कलन II के पाठ्यक्रम में। इसका अंतिम भाग संख्या $\pi$ को ज्ञात मानता है, जिसे अब परिभाषित किया जाता है: संख्या $\pi$ मात्रक वृत्त की लंबाई का आधा है, अर्थात् $1$ त्रिज्या वाले वृत्त की लंबाई का आधा। चापों की त्रिज्याओं के साथ आनुपातिकता को पूरे चक्कर के कोण पर लागू करने से $r$ त्रिज्या वाले वृत्त की लंबाई $2\pi r$ होती है, और किसी भी वृत्त की लंबाई और उसके व्यास का भागफल सदा $\pi$ होता है। यह भी स्वीकार किया जाता है कि $\pi$ अपरिमेय है, और उसका दशमलव प्रसार 3.14159 से आरंभ होता है; विशेष रूप से, $3 < \pi < 4$।

कोणों को मापने के लिए इसके अतिरिक्त वृत्त पर चाप-लंबाई के अनुसार गमन करना आवश्यक है: किसी बिंदु से आरंभ करके उस पर एक दी गई लंबाई तक एक दिशा में या दूसरी दिशा में आगे बढ़ना, और यह जानना कि किस बिंदु पर पहुँचते हैं। यह इकाई कोणों और त्रिकोणमितीय फलनों के बारे में जो कुछ कहती है वह सब इसी गमन पर टिका है, इसलिए उचित है कि उसके बारे में जो स्वीकार किया जाता है उसे सटीक रूप से प्रस्तुत किया जाए। इसे कार्तीय तल में, मात्रक वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ और उसके बिंदु $A = (1, 0)$ के लिए प्रस्तुत किया जाता है; चूँकि आकृतियों को खिसकाने पर लंबाइयाँ नहीं बदलतीं, यह $1$ त्रिज्या वाले किसी भी वृत्त और किसी भी आरंभ बिंदु के लिए समान रूप से लागू होता है।

अभिगृहीत (चाप-लंबाई के अनुसार गमन)। प्रत्येक वास्तविक संख्या $s$ के लिए मात्रक वृत्त का एक अद्वितीय बिंदु $P(s)$ है, जिस पर $A = (1, 0)$ से आरंभ करके और वृत्त पर $\abs{s}$ लंबाई तक चलकर पहुँचा जाता है, यदि $s > 0$ तो वामावर्त दिशा में और यदि $s < 0$ तो दक्षिणावर्त दिशा में, जितने चक्कर आवश्यक हों उतने लगाते हुए; $s = 0$ के लिए $P(0) = A$ है। इस गमन के नीचे दिए गए चार गुण हैं।

1. जोड़: यदि बिंदु $P(s)$ से वामावर्त दिशा में $t \geq 0$ लंबाई तक चला जाए, तो $P(s + t)$ पर पहुँचते हैं; यदि दक्षिणावर्त दिशा में चला जाए, तो $P(s - t)$ पर पहुँचते हैं।
2. आवर्तिता: किसी भी दिशा में एक पूरा चक्कर वृत्त की लंबाई $2\pi$ तय करता है और आरंभ बिंदु पर लौटा देता है; अर्थात् $P(s + 2\pi) = P(s)$, प्रत्येक वास्तविक संख्या $s$ के लिए।
3. आधा चक्कर: वामावर्त गमन पहले ऊपरी अर्धवृत्त से होकर दाएँ से बाएँ जाता है। सटीक रूप से, $P(\pi) = (-1, 0)$, और यदि $0 \leq s < t \leq \pi$, तो बिंदुओं $P(s)$ और $P(t)$ की कोटि ऋणेतर है और $P(s)$ का भुज $P(t)$ के भुज से बड़ा है।
4. आवरण: मात्रक वृत्त का प्रत्येक बिंदु $P(s)$ है, किसी वास्तविक संख्या $s$ के लिए।

यह अभिगृहीत उसी कारण से बिना प्रमाण स्वीकार किया जाता है जिससे ऊपर का तथ्य: चाप की लंबाई एक सीमा के द्वारा परिभाषित होती है, और उसके गुण कलन II के पाठ्यक्रम में सिद्ध किए जाते हैं; आवरण, जो यह कहता है कि वृत्त पर चलते समय कोई बिंदु छूटता नहीं, इसके अतिरिक्त संतत फलनों के मध्यवर्ती मान गुण पर टिका है, जो कलन I के पाठ्यक्रम में सिद्ध किया जाता है। आधे चक्कर के गुण की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है। यदि $(x, y)$ मात्रक वृत्त पर है, तो बिंदु $A$ से उसकी दूरी का वर्ग नीचे दिया गया है:

इसलिए यह कहना कि ऊपरी अर्धवृत्त पर भुज दृढ़तः ह्रासमान है, यह कहने के तुल्य है कि $A$ को गमन से प्राप्त बिंदु से मिलाने वाली जीवा चाप के साथ दृढ़तः वर्धमान है, जब तक कि आधे चक्कर के अंत में वह एक व्यास नहीं बन जाती। जब त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ में $s$ की कोज्या को $P(s)$ के भुज के रूप में परिभाषित किया जाएगा, तब यह गुण कहेगा कि कोज्या $\icc{0}{\pi}$ पर दृढ़तः ह्रासमान है: यह एकदिष्टता निगमित नहीं की जाती, बल्कि निर्देशांकों में पढ़ी गई आधे चक्कर वाली शर्त ही है। अब, इस अभिगृहीत से, लंबाइयों और क्षेत्रफलों संबंधी तथ्यों से और परावर्तनों के बारे में आगे स्वीकार किए जाने वाले तथ्य से, गमन के बारे में प्रयुक्त शेष सब कुछ निगमित होता है: इस पाठ में, दूसरे आधे चक्कर का व्यवहार और यह कि एक चक्कर एक ही बिंदु से दो बार नहीं गुज़रता; प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वाले पाठ में, ज्या और स्पर्शज्या की एकदिष्टता।

बिना प्रमाण स्वीकृत तथ्य (परावर्तन और आधे चक्कर का घूर्णन)। किसी रेखा के सापेक्ष परावर्तन दूरियों को और उनके साथ चापों की लंबाइयों को संरक्षित रखता है, परंतु घूर्णन की दिशा को उलट देता है: वह उस रेखा के किसी बिंदु पर केंद्रित वृत्त के वामावर्त गमन को उसी लंबाई के दक्षिणावर्त गमन में बदल देता है, और विलोमतः। किसी बिंदु के चारों ओर आधे चक्कर का घूर्णन, जो उस बिंदु से होकर जाने वाली दो लंब रेखाओं के सापेक्ष परावर्तनों का संघटन है, दूरियों, लंबाइयों और घूर्णन की दिशा को भी संरक्षित रखता है।

यह तथ्य समतल की गतियों की प्रारंभिक ज्यामिति से संबंधित है, जिसे यह पाठ्यक्रम विकसित नहीं करता। निर्देशांकों में, $x$ अक्ष के सापेक्ष परावर्तन रूपांतरण $(x, y) \mapsto (x, -y)$ है; यह मात्रक वृत्त को स्वयं पर ले जाता है, क्योंकि $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$, और बिंदु $A = (1, 0)$ को स्थिर रखता है। इसके द्वारा गमन का दूसरा आधा चक्कर पहले से प्राप्त होता है।

मात्रक वृत्त के केंद्र $O$ पर शीर्ष वाला एक दिष्ट कोण लीजिए, और मान लीजिए $A$ वह बिंदु है जहाँ प्रारंभिक भुजा उस वृत्त को काटती है। जब भुजा घूमती है, तो बिंदु $A$ वृत्त का एक चाप तय करता है, जैसा कि ऊपर के अभिगृहीत में। कोण का रेडियन माप उस चाप की लंबाई है, धनात्मक चिह्न के साथ यदि घूर्णन वामावर्त है और ऋणात्मक यदि दक्षिणावर्त है; यदि घूर्णन कई चक्कर लगाता है, तो प्रत्येक पूरा चक्कर वृत्त की लंबाई $2\pi$ जोड़ता है।

रेडियनों में मापा गया कोण मात्रकहीन वास्तविक संख्या है: वह चाप की लंबाई और त्रिज्या की लंबाई का भागफल है, जो $1$ है। इसीलिए दो रेडियन के कोण के लिए केवल $\theta = 2$ लिखा जाता है; जब मात्रक पर ज़ोर देना हो, तब 2 rad लिखा जाता है। इसके विपरीत, अंशों में माप सदा अपने चिह्न के साथ लिखा जाता है, जैसे $30^\circ$ में। विलोमतः, प्रत्येक वास्तविक संख्या किसी दिष्ट कोण का माप है: गमन के अभिगृहीत से, प्रत्येक $\theta$ के लिए बिंदु $A$ वृत्त पर $\abs{\theta}$ लंबाई तक $\theta$ के चिह्न द्वारा सूचित दिशा में चल सकता है, जितने पूरे चक्कर आवश्यक हों उतने लगाते हुए, और शीर्ष से पहुँचे हुए बिंदु तक जाने वाली किरण अंतिम भुजा है।

अंशों और रेडियनों के बीच रूपांतरण

चूँकि पूरा चक्कर $360^\circ$ का है और $2\pi$ रेडियन का भी, और चूँकि दोनों माप उस चाप की लंबाई के समानुपाती हैं जिसे कोण मात्रक वृत्त पर अंतरित करता है (अंशों वाला माप अंश की परिभाषा से, और रेडियनों वाला इसलिए कि वह वही लंबाई है), किसी कोण के दोनों माप समानुपाती हैं।

व्यवहार में, अंशों से रेडियनों में जाने के लिए $\frac{\pi}{180}$ से गुणा किया जाता है, और रेडियनों से अंशों में जाने के लिए $\frac{180}{\pi}$ से। इस प्रकार $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$, $-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$ और $\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$; $2$ रेडियन का कोण $\frac{360}{\pi}$ अंश का है, लगभग 114.6 अंश।

चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में एक केंद्रीय कोण $\theta$ एक चाप अंतरित करता है, और कोण की दोनों भुजाएँ उस चाप के साथ एक त्रिज्यखंड को घेरती हैं। रेडियन माप इसके सूत्रों को विशेष रूप से सरल रूप देता है।

यदि कोण अंशों में मापा जाता, तो सूत्रों में रूपांतरण गुणक आता: चाप $\frac{\pi r g}{180}$ होता और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\pi r^2 g}{360}$। $s = r\theta$ की सरलता रेडियन को वरीयता देने का मुख्य कारण है। इसके अतिरिक्त, सूत्र किसी कोण का माप किसी भी वृत्त में देता है, केवल मात्रक वृत्त में नहीं: $\theta = \frac{s}{r}$ चाप और त्रिज्या का भागफल है, और चुनी गई त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता।

अंतर्लिखित कोण

जिस कोण का शीर्ष वृत्त के केंद्र पर हो उसे केंद्रीय कोण कहते हैं। यदि $A$, $B$ और $C$ किसी वृत्त के तीन अलग-अलग बिंदु हैं, तो $C$ पर जीवाएँ $CA$ और $CB$ जो कोण बनाती हैं उसे अंतर्लिखित कोण कहते हैं, और कहा जाता है कि वह उस चाप को अंतरित करता है जिसके सिरे $A$ और $B$ हैं और जिसमें $C$ नहीं है। ऊपर के प्रमेय से, $s$ लंबाई के चाप के, जो $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का है, संगत $\frac{s}{r}$ रेडियन का केंद्रीय कोण होता है, भले ही वह संख्या $\pi$ से अधिक हो। अंतर्लिखित कोण की तुलना केंद्रीय कोण से करने के लिए प्रारंभिक ज्यामिति के नीचे दिए गए तथ्य स्वीकार किए जाते हैं, जिन्हें यह पाठ्यक्रम सिद्ध नहीं करता क्योंकि यह संश्लिष्ट ज्यामिति विकसित नहीं करता। पहले दो त्रिभुज के कोणों को मापते हैं; अंतिम दो स्थिति के तथ्य हैं, जो बताते हैं कि जब कोई किरण किसी कोण के आंतरिक भाग से होकर जाती है तो कोण और चाप कैसे बँटते हैं।

बिना प्रमाण स्वीकृत तथ्य (त्रिभुज के कोण और वृत्त पर स्थितियाँ)। नीचे दिए गए चार कथन स्वीकार किए जाते हैं, जिनमें अदिष्ट कोण रेडियनों में, $0$ और $\pi$ के बीच, मापे जाते हैं।

1. कोणों का योग: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग एक ऋजु कोण, अर्थात् $\pi$ रेडियन, होता है।
2. समद्विबाहु त्रिभुज: दो बराबर भुजाओं वाले त्रिभुज में उन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
3. आसन्न कोणों का योग: यदि किसी कोण के शीर्ष से निकलने वाली किरण उसके आंतरिक भाग से होकर जाती है, तो वह उसे दो कोणों में बाँटती है जिनके मापों का योग दिए गए कोण का माप है।
4. केंद्र की स्थिति: मान लीजिए $A$, $B$ और $C$, $O$ केंद्र वाले वृत्त के तीन अलग-अलग बिंदु हैं, और मान लीजिए $D$, $C$ से निकलने वाले व्यास का दूसरा सिरा है। यदि $O$ न तो जीवा $CA$ पर है और न ही जीवा $CB$ पर, तो दो में से एक बात होती है। या तो $O$, $C$ पर उन जीवाओं द्वारा बनाए गए कोण के आंतरिक भाग में है, और तब $C$ से $D$ तक जाने वाली किरण उस आंतरिक भाग से होकर जाती है और $D$ उस चाप पर है जिसके सिरे $A$ और $B$ हैं और जिसमें $C$ नहीं है। या फिर $O$ उस कोण के बाहर है, और तब बिंदुओं $A$ और $B$ में से एक, जिसे $A$ कहा जा सकता है, उस चाप पर है जिसके सिरे $D$ और $B$ हैं और जिसमें $C$ नहीं है, और $C$ से $A$ तक जाने वाली किरण उस कोण के आंतरिक भाग से होकर जाती है जो $C$ पर जीवाएँ $CD$ और $CB$ बनाती हैं।

जो बिंदु वृत्त पर नहीं हैं वे जीवा को अन्य कोणों पर देखते हैं। नीचे दिया गया परिणाम भी प्रारंभिक ज्यामिति से स्वीकार किया जाता है: यह ऊपर के प्रमेय से और यूक्लिड की “एलिमेंट्स” की पुस्तक I के साध्य 21 से प्राप्त होता है, जिसके अनुसार त्रिभुज का कोई आंतरिक बिंदु उसकी एक भुजा को सम्मुख शीर्ष से बड़े कोण पर देखता है; परंतु इसके प्रमाण के लिए यह जानना आवश्यक है कि बिंदु से निकलने वाले रेखाखंड वृत्त को कहाँ काटते हैं, जो स्थिति का एक प्रश्न है जिसे यह पाठ्यक्रम विकसित नहीं करता। इसका उपयोग प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वाले पाठ के अंतिम हल किए गए प्रश्न में किया जाएगा।

बिना प्रमाण स्वीकृत तथ्य (आंतरिक और बाह्य बिंदुओं से कोण)। मान लीजिए $A$ और $B$ किसी वृत्त के दो बिंदु हैं, और $\gamma$ उन अंतर्लिखित कोणों का उभयनिष्ठ माप है जिनके सिरे $A$ और $B$ हैं और जिनका शीर्ष इनके द्वारा निर्धारित दो चापों में से एक पर है। यदि $Q$ कोई ऐसा बिंदु है जो वृत्त पर नहीं है और रेखा $AB$ के उसी ओर है जिस ओर वह चाप है, तो $Q$ पर रेखाखंड $QA$ और $QB$ जो कोण बनाते हैं वह $\gamma$ से कम है यदि $Q$ वृत्त के बाहर है, और $\gamma$ से अधिक है यदि वह भीतर है।

मानक स्थिति और सहांत कोण

कार्तीय तल में, जिसका अध्ययन पाठ्यक्रम I के रेखा का समीकरण वाले पाठ में किया गया, प्रत्येक कोण की एक विशिष्ट स्थिति होती है।

कोई दिष्ट कोण मानक स्थिति में है यदि उसका शीर्ष मूल बिंदु है और उसकी प्रारंभिक भुजा धनात्मक $x$ अर्ध-अक्ष है। तब उसकी अंतिम भुजा वह किरण है जो मूल बिंदु से निकलकर गमन के अभिगृहीत के बिंदु $P(\theta)$ से होकर जाती है, अर्थात् मात्रक वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ का वह बिंदु जिस पर $(1, 0)$ से $\abs{\theta}$ लंबाई का चाप $\theta$ के चिह्न द्वारा सूचित दिशा में तय करके पहुँचा जाता है। दो कोण सहांत हैं यदि मानक स्थिति में उनकी अंतिम भुजा एक ही है।

अक्ष समतल को चार चतुर्थांशों में बाँटते हैं, जिन्हें धनात्मक निर्देशांकों वाले बिंदुओं को समाहित करने वाले चतुर्थांश से आरंभ करके वामावर्त दिशा में क्रमांकित किया जाता है। मानक स्थिति में कोई कोण उस चतुर्थांश में स्थित होता है जिसमें उसकी अंतिम भुजा होती है; यदि वह किसी अक्ष पर पड़ती है, तो कोण को चतुर्थांशीय कहते हैं। बिंदु $P(\theta)$ के निर्देशांक $\theta$ की कोज्या और ज्या हैं, जिनका अध्ययन आगे आने वाले त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ में किया जाएगा।

किसी भी दिशा में एक पूरा चक्कर, गमन की आवर्तिता से, भुजा को उसकी स्थिति पर लौटा देता है: कोण $\theta + 2\pi$, $\theta$ के साथ सहांत है, और इसी प्रकार $\theta - 2\pi$, $\theta + 4\pi$ और, सामान्यतः, $\theta + 2k\pi$, जहाँ $k$ पूर्णांक है। इसलिए यह जानने के लिए कि कोई भी कोण कहाँ समाप्त होता है, पूरे चक्करों को घटा देना पर्याप्त है, जैसे पाठ्यक्रम I के विभाज्यता और शेषफल सहित विभाजन वाले पाठ में भाजक के गुणजों को घटाया जाता है। नीचे दिया गया प्रमेय उस विभाजन का वास्तविक रूप है: भाजक $2\pi$ है, भागफल चक्करों की संख्या है और शेषफल बचा हुआ कोण।

संख्या $\theta_0$ को $\theta$ का प्रथम चक्कर में समानयन कहते हैं। अंशों में, $360$ को $2\pi$ के स्थान पर लेकर वही युक्ति किसी भी कोण का $0^\circ$ और $360^\circ$ के बीच के किसी कोण में समानयन करती है, बाद वाले को छोड़कर: उदाहरण के लिए, $1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$। समानयन से वे सभी कोण पहचाने जाते हैं जो एक ही भुजा पर समाप्त होते हैं; उससे पहले यह जानना आवश्यक है कि एक चक्कर एक ही बिंदु से दो बार नहीं गुज़रता, जो गमन के अभिगृहीत से निगमित होता है।

इससे निष्कर्ष निकलता है कि $\theta$ के साथ सहांत कोण ठीक वे हैं जो $\theta + 2k\pi$ के रूप के हैं, जहाँ $k$ पूर्णांक है, और कि किसी कोण का चतुर्थांश उसका समानयन निर्धारित करता है: वह पहले चतुर्थांश में स्थित है यदि $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$, दूसरे में यदि $\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$, तीसरे में यदि $\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$ और चौथे में यदि $\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$; वह चतुर्थांशीय है यदि $\theta_0$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ या $\frac{3\pi}{2}$ है। इस प्रकार $-\frac{23\pi}{6}$ पहले चतुर्थांश में स्थित है, और $1000^\circ$, जिसका समानयन $280^\circ$ है, चौथे में।

अंत में, मात्रक वृत्त का प्रत्येक बिंदु किसी कोण का बिंदु $P(\theta)$ है: यह गमन के अभिगृहीत का आवरण गुण है, जो कहता है कि $(1, 0)$ से वृत्त पर चलने पर उसके सभी बिंदुओं से होकर गुज़रा जाता है। यदि ऐसा है, तो प्रथम चक्कर में समानयन, आवर्तिता और सहांत कोणों वाली प्रमेयिका से, मात्रक वृत्त का प्रत्येक बिंदु $P(\theta)$ है, एक अद्वितीय $\theta$ के लिए जो $\ico{0}{2\pi}$ में है, और उसके संगत कोण ठीक वे हैं जो उस $\theta$ के साथ सहांत हैं।

कोणीय वेग और रैखिक वेग

जब कोई पिंड किसी अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो उसके सभी बिंदु अक्ष पर केंद्रित वृत्तों के चाप बनाते हैं, और सभी समान समय में समान कोण घूमते हैं। यदि समय $t$ में पिंड एकसमान गति से कोण $\theta$ घूमता है, तो उसका कोणीय वेग भागफल $\omega = \frac{\theta}{t}$ है, जिसे रेडियन प्रति सेकंड में मापा जाता है; इसे परिक्रमण प्रति मिनट में भी व्यक्त किया जाता है, और चूँकि एक परिक्रमण $2\pi$ रेडियन है और एक मिनट $60$ सेकंड, एक परिक्रमण प्रति मिनट $\frac{\pi}{30}$ रेडियन प्रति सेकंड के बराबर है।

अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु उस समय में, चाप की लंबाई के प्रमेय से, $s = r\theta$ लंबाई का चाप तय करता है। इसलिए उसका रैखिक वेग, जो तय की गई दूरी और समय का भागफल है, त्रिज्या और कोणीय वेग का गुणनफल है:

इससे निष्कर्ष निकलता है कि घूमते हुए पिंड में कोणीय वेग सभी बिंदुओं के लिए समान है, जबकि रैखिक वेग अक्ष से दूरी के अनुपात में बढ़ता है: घूमती हुई चक्रिका का किनारा केंद्र के निकट के बिंदुओं से अधिक तेज़ी से चलता है। यह संबंध, जो केवल तभी मान्य है जब कोण रेडियनों में मापे जाएँ, यांत्रिकी के मूल सिद्धांत के पाठ्यक्रम में वृत्तीय गति के अध्ययन का आरंभ बिंदु है। बिना फिसले चलने वाले बेल्ट या चेन से जुड़े दो पहिये, या एक-दूसरे में फँसे दाँतों वाले दो पहिये, संपर्क बिंदु पर समान रैखिक वेग रखते हैं; इसलिए $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$, और छोटा पहिया अधिक तेज़ी से घूमता है, जैसा कि हल किए गए प्रश्न 3 में देखा जाएगा।

हल किए गए प्रश्न

प्रश्न एक कोण से पृथ्वी को मापते हैं, एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल परिकलित करते हैं, एक चेन द्वारा घूर्णन का संचरण करते हैं, दिए गए परिमाप के साथ सबसे बड़े क्षेत्रफल वाला त्रिज्यखंड खोजते हैं और घड़ी की सुइयों के संपाती होने की गिनती करते हैं। प्रत्येक के लिए एक अपना विचार चाहिए, जिसे हल पढ़ने से पहले खोजना उचित है।

एरैटोस्थनीज़ ने दूरी स्टेडियनों में व्यक्त की, जिनका सटीक मान विवादित है; यहाँ अपनाए गए आँकड़े से याम्योत्तर 40000 km का होता है, और यह संयोग नहीं है: अठारहवीं शताब्दी के अंत में मीटर को चौथाई याम्योत्तर के एक करोड़वें भाग के रूप में परिभाषित किया गया था। दूसरी ओर, अलेक्ज़ान्ड्रिया सियेने के ठीक उत्तर में नहीं, बल्कि लगभग तीन अंश पश्चिम में है, इसलिए उन्हें मिलाने वाला चाप पूरी तरह याम्योत्तर-चाप नहीं है।