انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

النسب المثلثية ودائرة الوحدة

ملخص

يعرّف هذا الدرس الجيب وجيب التمام والظل لزاوية بطريقتين. الأولى، بوصفها نسبًا بين أضلاع مثلث قائم الزاوية، تصلح للزوايا الحادة، ويُبرهَن بالتشابه أنها لا تتوقف على المثلث المختار. والثانية، بوصفها إحداثيَّي النقطة التي يقطع فيها الضلعُ النهائي للزاوية دائرةَ الوحدة، تصلح لكل عدد حقيقي وتتفق مع الأولى في الزوايا الحادة. ومنها تُستنتج الإشارات في كل ربع، والمتطابقة الفيثاغورية، والقيم الخاصة للزوايا π6\frac{\pi}{6} وπ4\frac{\pi}{4} وπ3\frac{\pi}{3}، التي تُستخرج من نصف المثلث المتساوي الأضلاع ومن نصف المربع، وتناظرات الجيب وجيب التمام، التي تُبرهَن بعكس النقطة على الدائرة وتسمح بحساب النسب المثلثية لأي زاوية بواسطة زاويتها المرجعية.

أهداف التعلم

  1. أن يعرّف النسب المثلثية الست لزاوية حادة في مثلث قائم الزاوية وأن يبرهن، بالتشابه، أنها لا تتوقف على المثلث.
  2. أن يعرّف الجيب وجيب التمام وسائر النسب لزاوية كيفما كانت بواسطة دائرة الوحدة، وأن يتعرّف على الظل بوصفه ميل الضلع النهائي، وأن يبرهن أن التعريفين يتفقان في الزوايا الحادة.
  3. أن يبرهن المتطابقة الفيثاغورية والقيم الخاصة وتناظرات الجيب وجيب التمام، وأن يستعملها لحساب النسب المثلثية لأي زاوية بطريقة الزاوية المرجعية.
  4. أن يحصل على جميع النسب المثلثية لزاوية انطلاقًا من إحداها ومن الربع، وأن يطبّق النسب المثلثية على مسائل الارتفاعات والمسافات والمساحات.

النسب المثلثية لزاوية حادة

في المثلث القائم الزاوية، يُسمّى الضلع المقابل للزاوية القائمة الوتر، ويُسمّى الضلعان الآخران الضلعين القائمين. ومجموع الزوايا الداخلية لمثلث زاوية مستقيمة قياسها π\pi؛ وقد قُبلت هذه الحقيقة من الهندسة الأولية في الدرس الخاص بـالزوايا وقياسها. وإذا كان الأمر كذلك، فإن مجموع الزاويتين غير القائمتين في مثلث قائم الزاوية هو π2\frac{\pi}{2}، وكلٌّ منهما حادة، أي إن قياسها بين 00 وπ2\frac{\pi}{2}. وبالنسبة إلى إحدى هاتين الزاويتين الحادتين، التي قياسها α\alpha، يكون أحد الضلعين القائمين هو الضلع المقابل، الذي لا يمسّ رأسها، ويكون الآخر هو الضلع المجاور، الذي يشكّل مع الوتر ضلعَي الزاوية.

لتكن α\alpha زاوية حادة في مثلث قائم الزاوية وتره cc، والضلع المقابل فيه للزاوية α\alpha طوله aa والضلع المجاور طوله bb. إن الجيب وجيب التمام والظل للزاوية α\alpha هي، على الترتيب، النسبة بين الضلع المقابل والوتر، وبين الضلع المجاور والوتر، وبين الضلع المقابل والضلع المجاور.
sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=ab\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

وتُسمّى مقلوباتها قاطع التمام والقاطع وظل التمام: csc⁡α=ca\csc \alpha = \frac{c}{a} وsec⁡α=cb\sec \alpha = \frac{c}{b} وcot⁡α=ba\cot \alpha = \frac{b}{a}. وتُسمّى الست النسب المثلثية، لأنها نسب، أي خوارج قسمة، بين أضلاع مثلث. غير أن التعريف يثير شكًّا: فهناك ما لا نهاية له من المثلثات القائمة الزاوية التي فيها زاوية حادة قياسها α\alpha، كبيرةً وصغيرة، ولو أعطى كلٌّ منها خارج قسمة مختلفًا لما دلّت عبارة «جيب α\alpha» على أي عدد. والمبرهنة الآتية تزيل هذا الشك.

مبرهنةالنسب لا تتوقف على المثلث

إذا كان في مثلثين قائمي الزاوية زاوية حادة لها القياس نفسه α\alpha، فإن النسبة بين أي ضلعين من الأول تساوي النسبة بين الضلعين المناظرين لهما من الثاني. ومن ثمّ فإن جيب α\alpha وجيب تمامها وظلها، ومقلوباتها، لا تتوقف إلا على α\alpha. وفضلًا عن ذلك، 0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1 و0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1.

ليكن مثلثان قائما الزاوية فيهما زاوية حادة α\alpha، ضلعاه القائمان a1a_1 وb1b_1 ووتره c1c_1 في الأول، وضلعاه القائمان a2a_2 وb2b_2 ووتره c2c_2 في الثاني، حيث a1a_1 وa2a_2 هما الضلعان المقابلان للزاوية α\alpha. نقبل معايير تشابه المثلثات من الهندسة الأولية، وهي نفسها التي ضمنت في الدرس الخاص بـمعادلة المستقيم من دورة الجبر والهندسة 1 أن الميل لا يتوقف على النقطتين المختارتين.

البرهان

  1. a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}

    في المثلثين زاويتان متساويتان، القائمة والتي قياسها α\alpha؛ فهما متشابهان بمعيار التشابه بزاويتين، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة: يوجد عدد k>0k > 0 بحيث يكون كل ضلع من الثاني kk أمثال الضلع المناظر له من الأول.

  2. a2c2=ka1kc1=a1c1\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}

    النسبة بين الضلع المقابل والوتر هي نفسها في المثلثين، لأن العامل kk يُختزل.

  3. b2c2=kb1kc1=b1c1\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}

    ويحدث الأمر نفسه للنسبة بين الضلع المجاور والوتر.

  4. a2b2=ka1kb1=a1b1\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}

    وللنسبة بين الضلعين القائمين. ومن ثمّ فإن الجيب وجيب التمام والظل، ومعها مقلوباتها، تأخذ القيمة نفسها في المثلثين: فهي لا تتوقف إلا على α\alpha.

  5. c2=a2+b2→0<ac<1,0<bc<1c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1

    بمبرهنة فيثاغورس، مربع الوتر هو مجموع مربعي الضلعين القائمين، ويزيد على كلٍّ منهما: فالوتر أطول من كل ضلع قائم، والنسبتان اللتان مقامهما الوتر تقعان بين 00 و11.

تسمح المبرهنة بحساب النسب المثلثية لزاوية بأي مثلث قائم الزاوية يحتويها، وباختيار أيسرها. وعلى وجه الخصوص، فإن الضلع المقابل لإحدى الزاويتين الحادتين هو الضلع المجاور للأخرى، ومن ذلك تنتج علاقة بين النسب المثلثية لزاويتين مجموعهما π2\frac{\pi}{2}، تُسمّيان متتامتين.

مثالالنسب المثلثية للزاويتين الحادتين

في مثلث قائم الزاوية ضلعاه القائمان 33 و44، لتكن α\alpha الزاوية المقابلة للضلع 33 وβ\beta الزاوية المقابلة للضلع 44. احسب نسبهما المثلثية وقارن بينها.

البرهان

  1. c=32+42=25=5c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}

    بمبرهنة فيثاغورس، طول الوتر 55.

  2. sin⁡α=35,cos⁡α=45,tan⁡α=34\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}

    بالنسبة إلى α\alpha، الضلع المقابل هو 33 والمجاور هو 44.

  3. sin⁡β=45,cos⁡β=35,tan⁡β=43\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}

    بالنسبة إلى β\beta، يتبادل الضلعان القائمان دوريهما: المقابل هو 44 والمجاور هو 33.

  4. sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α=cot⁡α\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha

    بما أن α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}، فإن جيب كل زاوية هو جيب تمام الأخرى، وظل كلٍّ منهما هو ظل تمام الأخرى. ويحدث الأمر نفسه في كل مثلث قائم الزاوية، لأن تبادل الضلعين القائمين لا يتوقف على طوليهما.

ومن هنا جاءت الأسماء: جيب التمام هو جيب الزاوية المتممة، وظل التمام هو ظل الزاوية المتممة، وقاطع التمام هو قاطع الزاوية المتممة.