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Topos Uranos
Français

Rapports trigonométriques et cercle trigonométrique

Résumé

Cette leçon définit le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle de deux manières. La première, comme quotients des côtés d’un triangle rectangle, vaut pour les angles aigus, et l’on démontre par similitude qu’elle ne dépend pas du triangle choisi. La seconde, comme coordonnées du point où le côté final de l’angle coupe le cercle trigonométrique, vaut pour tout nombre réel et coïncide avec la première pour les angles aigus. On en déduit les signes dans chaque quadrant, l’identité pythagoricienne, les valeurs remarquables des angles de π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4} et π3\frac{\pi}{3}, que l’on obtient du demi-triangle équilatéral et du demi-carré, et les symétries du sinus et du cosinus, qui se démontrent en réfléchissant le point sur le cercle et permettent de calculer les rapports de n’importe quel angle au moyen de son angle de référence.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir les six rapports trigonométriques d’un angle aigu dans un triangle rectangle et démontrer, par similitude, qu’ils ne dépendent pas du triangle.
  2. Définir le sinus, le cosinus et les autres rapports d’un angle quelconque au moyen du cercle trigonométrique, reconnaître la tangente comme pente du côté final et démontrer que les deux définitions coïncident pour les angles aigus.
  3. Démontrer l’identité pythagoricienne, les valeurs remarquables et les symétries du sinus et du cosinus, et les employer pour calculer les rapports de n’importe quel angle par la méthode de l’angle de référence.
  4. Obtenir tous les rapports d’un angle à partir de l’un d’eux et du quadrant, et appliquer les rapports à des problèmes de hauteurs, de distances et d’aires.

Les rapports d’un angle aigu

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse, et les deux autres, les côtés de l’angle droit. Les angles intérieurs d’un triangle ont pour somme un angle plat, qui mesure π\pi ; ce fait de la géométrie élémentaire a été admis dans la leçon sur les angles et leur mesure. S’il en est ainsi, les deux angles non droits d’un triangle rectangle ont pour somme π2\frac{\pi}{2}, et chacun d’eux est aigu, c’est-à-dire que sa mesure est strictement comprise entre 00 et π2\frac{\pi}{2}. Par rapport à l’un de ces angles aigus, de mesure α\alpha, l’un des côtés de l’angle droit est le côté opposé, qui ne touche pas son sommet, et l’autre est le côté adjacent, qui forme avec l’hypoténuse les côtés de l’angle.

Soit α\alpha un angle aigu d’un triangle rectangle d’hypoténuse cc, dont le côté opposé à α\alpha mesure aa et dont le côté adjacent mesure bb. Le sinus, le cosinus et la tangente de α\alpha sont, respectivement, le quotient du côté opposé par l’hypoténuse, du côté adjacent par l’hypoténuse, et du côté opposé par le côté adjacent.
sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=ab\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

Leurs inverses s’appellent cosécante, sécante et cotangente : csc⁡α=ca\csc \alpha = \frac{c}{a}, sec⁡α=cb\sec \alpha = \frac{c}{b} et cot⁡α=ba\cot \alpha = \frac{b}{a}. Les six s’appellent rapports trigonométriques, parce que ce sont des rapports, c’est-à-dire des quotients, entre les côtés d’un triangle. La définition soulève cependant un doute : il existe une infinité de triangles rectangles ayant un angle aigu de mesure α\alpha, grands et petits, et si chacun donnait un quotient différent, les mots « le sinus de α\alpha » ne désigneraient aucun nombre. Le théorème suivant dissipe le doute.

ThéorèmeLes rapports ne dépendent pas du triangle

Si deux triangles rectangles ont un angle aigu de même mesure α\alpha, le quotient de deux côtés quelconques du premier est égal au quotient des côtés correspondants du second. Par conséquent, le sinus, le cosinus et la tangente de α\alpha, ainsi que leurs inverses, ne dépendent que de α\alpha. De plus, 0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1 et 0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1.

Soient deux triangles rectangles ayant un angle aigu α\alpha, le premier de côtés de l’angle droit a1a_1 et b1b_1 et d’hypoténuse c1c_1, le second de côtés de l’angle droit a2a_2 et b2b_2 et d’hypoténuse c2c_2, où a1a_1 et a2a_2 sont les côtés opposés à α\alpha. On admet les cas de similitude des triangles de la géométrie élémentaire, les mêmes qui, dans la leçon du cours I sur l’équation de la droite, ont garanti que la pente ne dépend pas des points choisis.

Démonstration

  1. a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}

    Les deux triangles ont deux angles égaux, l’angle droit et celui de mesure α\alpha ; par le cas de similitude des deux angles, ils sont semblables, et leurs côtés correspondants sont proportionnels : il existe un nombre k>0k > 0 tel que chaque côté du second est kk fois le côté correspondant du premier.

  2. a2c2=ka1kc1=a1c1\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}

    Le quotient du côté opposé par l’hypoténuse est le même dans les deux triangles, parce que le facteur kk se simplifie.

  3. b2c2=kb1kc1=b1c1\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}

    Il en va de même du quotient du côté adjacent par l’hypoténuse.

  4. a2b2=ka1kb1=a1b1\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}

    Et du quotient des deux côtés de l’angle droit. Par conséquent, le sinus, le cosinus et la tangente, et avec eux leurs inverses, prennent la même valeur dans les deux triangles : ils ne dépendent que de α\alpha.

  5. c2=a2+b2→0<ac<1,0<bc<1c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1

    D’après le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés des côtés de l’angle droit, et il est strictement supérieur à chacun d’eux : l’hypoténuse est strictement plus longue que chaque côté de l’angle droit, et les deux quotients par l’hypoténuse sont strictement compris entre 00 et 11.

Le théorème permet de calculer les rapports d’un angle avec n’importe quel triangle rectangle qui le contient, et de choisir le plus commode. En particulier, le côté opposé à l’un des angles aigus est le côté adjacent à l’autre, et il en découle une relation entre les rapports de deux angles dont la somme est π2\frac{\pi}{2}, appelés complémentaires.

ExempleLes rapports des deux angles aigus

Dans un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 33 et 44, soit α\alpha l’angle opposé au côté 33 et β\beta l’angle opposé au côté 44. Calculer leurs rapports et les comparer.

Démonstration

  1. c=32+42=25=5c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}

    D’après le théorème de Pythagore, l’hypoténuse mesure 55.

  2. sin⁡α=35,cos⁡α=45,tan⁡α=34\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}

    Pour α\alpha, le côté opposé est 33 et le côté adjacent est 44.

  3. sin⁡β=45,cos⁡β=35,tan⁡β=43\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}

    Pour β\beta, les rôles des côtés s’échangent : le côté opposé est 44 et le côté adjacent est 33.

  4. sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α=cot⁡α\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha

    Comme α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}, le sinus de chaque angle est le cosinus de l’autre, et la tangente de chacun est la cotangente de l’autre. Il en va de même dans tout triangle rectangle, parce que l’échange des côtés ne dépend pas de leurs mesures.

De là viennent les noms : le cosinus est le sinus du complément, la cotangente est la tangente du complément et la cosécante est la sécante du complément.