Les angles et leur mesure : degrés et radians

Angles orientés

En géométrie élémentaire, un angle est la figure formée par deux demi-droites de même origine, et sa mesure est comprise entre $0^\circ$ et $180^\circ$. Pour étudier les rotations, comme celle d’une roue, celle des aiguilles d’une montre ou celle de la Terre autour de son axe, cette notion ne suffit pas : ce qui importe, c’est de combien on a tourné et dans quel sens, et une rotation peut faire plusieurs tours. C’est pourquoi on considère l’angle comme le résultat d’une rotation.

Un angle orienté est déterminé par une demi-droite, appelée côté initial, qui tourne autour de son origine, appelée sommet, jusqu’à occuper une position finale, appelée côté final, ainsi que par la rotation effectuée. L’angle est positif si la rotation se fait dans le sens contraire de celui des aiguilles d’une montre (sens antihoraire), et négatif si elle se fait dans le sens des aiguilles d’une montre (sens horaire). L’angle nul est celui qui ne tourne pas.

Une même paire de côtés peut correspondre à de nombreux angles orientés : le côté final occupe la même position si l’on tourne d’un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, de trois quarts de tour dans le sens des aiguilles d’une montre ou d’un quart de tour plus un tour complet. Ces angles sont distincts, car ils décrivent des rotations distinctes, bien qu’ils aboutissent au même côté ; la troisième section précise comment ils sont liés.

Le système sexagésimal

La plus ancienne mesure des angles divise le tour complet en $360$ arcs égaux, et appelle degré l’angle qui intercepte chacun d’eux : un angle mesure $g$ degrés si son arc vaut $g$ fois l’arc d’un degré, de sorte que la mesure en degrés est proportionnelle à la longueur de l’arc. Chaque degré se divise en $60$ minutes, et chaque minute en $60$ secondes. Le système provient de l’astronomie babylonienne, qui comptait en base soixante, comme on l’explique dans la leçon du cours I sur les systèmes de numération de position ; le nombre $360$ a l’avantage d’être divisible par $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$ et $12$, entre autres. Un angle droit mesure $90^\circ$, un angle plat mesure $180^\circ$ et un tour complet, $360^\circ$ ; un angle négatif se mesure avec le signe moins, de sorte qu’un quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre mesure $-90^\circ$. L’angle de 40 degrés, 15 minutes et 36 secondes, que l’on abrège en écrivant après chaque nombre le symbole du degré, une apostrophe pour les minutes et deux pour les secondes, mesure en degrés ce qui est écrit ci-dessous, c’est-à-dire 40,26 degrés :

Le nombre $360$ est pourtant une convention : rien dans la géométrie du cercle ne le distingue d’un autre nombre. Les formules de la longueur d’un arc et de l’aire d’un secteur, et plus loin celles des fonctions trigonométriques, se simplifient si l’on mesure les angles d’une manière qui naît du cercle lui-même.

Le radian

L’idée est de mesurer un angle par la longueur de l’arc qu’il intercepte sur un cercle de rayon $1$ centré en son sommet. Cela exige de savoir ce qu’est la longueur d’un arc, et c’est là qu’apparaît une difficulté : un arc n’est pas une réunion de segments, et sa longueur se définit comme la valeur dont s’approchent les longueurs des lignes polygonales inscrites dans l’arc lorsque leurs côtés deviennent de plus en plus courts, c’est-à-dire au moyen d’une limite. Son étude relève du cours d’Analyse II, où l’on calcule des longueurs de courbes et des aires de régions limitées par des courbes. On admet ici les faits énoncés ci-dessous.

Fait admis (longueurs et aires dans le cercle). Tout arc de cercle a une longueur, et toute région limitée par des segments et des arcs a une aire. Des figures superposables ont la même longueur ou la même aire ; si une figure se décompose en deux figures qui ne se chevauchent pas, sa mesure est la somme des mesures des morceaux ; et si une région en contient une autre, son aire n’est pas plus petite, et elle est strictement plus grande si la différence contient un disque. De plus, si deux cercles ont pour rayons $r$ et $R$, les arcs qu’un même angle au centre intercepte sur eux sont proportionnels aux rayons, et l’aire d’un disque de rayon $r$ est $\pi r^2$.

Ce fait est admis sans démonstration, parce que les longueurs des arcs et les aires des régions courbes se définissent au moyen de limites et se calculent avec l’intégrale, dans le cours d’Analyse II. Sa dernière clause suppose connu le nombre $\pi$, que l’on définit maintenant : le nombre $\pi$ est la moitié de la longueur du cercle trigonométrique, c’est-à-dire du cercle de rayon $1$. Par la proportionnalité des arcs aux rayons, appliquée à l’angle d’un tour complet, le cercle de rayon $r$ a pour longueur $2\pi r$, et le quotient de la longueur d’un cercle quelconque par son diamètre vaut toujours $\pi$. On admet aussi que $\pi$ est irrationnel, et que son développement décimal commence par 3,14159 ; en particulier, $3 < \pi < 4$.

Pour mesurer les angles, il faut en outre parcourir le cercle par longueur d’arc : partir d’un point et avancer sur le cercle d’une longueur donnée, dans un sens ou dans l’autre, et savoir à quel point on arrive. Tout ce que cette unité dit des angles et des fonctions trigonométriques repose sur ce parcours, de sorte qu’il convient d’énoncer avec précision ce que l’on en admet. On l’énonce dans le plan rapporté à un repère, pour le cercle trigonométrique $x^2 + y^2 = 1$ et son point $A = (1, 0)$ ; comme les longueurs ne changent pas quand on déplace les figures, il vaut de même pour tout cercle de rayon $1$ et tout point de départ.

Axiome (parcours par longueur d’arc). Pour chaque nombre réel $s$, il existe un unique point $P(s)$ du cercle trigonométrique auquel on arrive en partant de $A = (1, 0)$ et en parcourant sur le cercle une longueur $\abs{s}$, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre si $s > 0$ et dans le sens des aiguilles d’une montre si $s < 0$, en faisant autant de tours qu’il le faut ; pour $s = 0$, on a $P(0) = A$. Ce parcours possède les quatre propriétés énoncées ci-dessous.

1. Concaténation : si, à partir du point $P(s)$, on parcourt une longueur $t \geq 0$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on arrive en $P(s + t)$ ; si on la parcourt dans le sens des aiguilles d’une montre, on arrive en $P(s - t)$.
2. Périodicité : un tour complet, dans l’un ou l’autre sens, parcourt la longueur $2\pi$ du cercle et ramène au point de départ ; autrement dit, $P(s + 2\pi) = P(s)$ pour tout nombre réel $s$.
3. Demi-tour : le parcours dans le sens inverse des aiguilles d’une montre passe d’abord par le demi-cercle supérieur, de droite à gauche. Précisément, $P(\pi) = (-1, 0)$, et si $0 \leq s < t \leq \pi$, les points $P(s)$ et $P(t)$ ont une ordonnée positive ou nulle et l’abscisse de $P(s)$ est strictement supérieure à celle de $P(t)$.
4. Recouvrement : tout point du cercle trigonométrique est $P(s)$ pour un certain nombre réel $s$.

L’axiome est admis sans démonstration pour la même raison que le fait énoncé avant lui : la longueur d’un arc se définit au moyen d’une limite, et ses propriétés se démontrent dans le cours d’Analyse II ; le recouvrement, qui affirme qu’en parcourant le cercle on ne saute aucun point, repose en outre sur la propriété des valeurs intermédiaires des fonctions continues, qui se démontre dans le cours d’Analyse I. La propriété du demi-tour a une lecture géométrique simple. Si $(x, y)$ est sur le cercle trigonométrique, le carré de sa distance au point $A$ est donné ci-dessous :

Dès lors, dire que l’abscisse décroît strictement le long du demi-cercle supérieur équivaut à dire que la corde qui joint $A$ au point atteint croît strictement avec l’arc, jusqu’à devenir un diamètre au bout d’un demi-tour. Lorsque, dans la leçon sur les rapports trigonométriques, le cosinus de $s$ sera défini comme l’abscisse de $P(s)$, cette propriété dira que le cosinus est strictement décroissant sur $\icc{0}{\pi}$ : cette monotonie ne se déduit pas, elle est la clause même du demi-tour lue en coordonnées. Or, de cet axiome, des faits sur les longueurs et les aires et du fait sur les symétries admis plus bas, on déduit tout ce que l’on utilise par ailleurs du parcours : dans cette leçon, le comportement du second demi-tour et le fait qu’un tour ne passe pas deux fois par le même point ; dans la leçon sur les fonctions trigonométriques réciproques, la monotonie du sinus et de la tangente.

Fait admis (symétries et rotation d’un demi-tour). Une symétrie d’axe une droite conserve les distances et, avec elles, les longueurs des arcs, mais elle inverse le sens de rotation : elle transforme un parcours dans le sens inverse des aiguilles d’une montre d’un cercle centré en un point de cette droite en un parcours dans le sens des aiguilles d’une montre de même longueur, et réciproquement. La rotation d’un demi-tour autour d’un point, qui est la composée des symétries d’axes deux droites perpendiculaires passant par ce point, conserve les distances, les longueurs et aussi le sens de rotation.

Ce fait relève de la géométrie élémentaire des déplacements du plan, que ce cours ne développe pas. En coordonnées, la symétrie d’axe l’axe des $x$ est la transformation $(x, y) \mapsto (x, -y)$ ; elle envoie le cercle trigonométrique sur lui-même, car $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$, et laisse fixe le point $A = (1, 0)$. Grâce à elle, le second demi-tour du parcours s’obtient à partir du premier.

Soit un angle orienté de sommet le centre $O$ du cercle trigonométrique, et soit $A$ le point où le côté initial coupe ce cercle. Quand le côté tourne, le point $A$ parcourt un arc du cercle, comme dans l’axiome énoncé plus haut. La mesure en radians de l’angle est la longueur de cet arc, affectée du signe plus si la rotation se fait dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et du signe moins si elle se fait dans le sens des aiguilles d’une montre ; si la rotation fait plusieurs tours, chaque tour complet apporte la longueur $2\pi$ du cercle.

Un angle mesuré en radians est un nombre réel sans dimension : c’est le quotient d’une longueur d’arc par la longueur du rayon, qui vaut $1$. C’est pourquoi on écrit simplement $\theta = 2$ pour un angle de deux radians ; quand on veut insister sur l’unité de mesure, on écrit 2 rad. En revanche, la mesure en degrés s’indique toujours avec son symbole, comme dans $30^\circ$. Réciproquement, tout nombre réel est la mesure d’un angle orienté : par l’axiome du parcours, pour chaque $\theta$, le point $A$ peut parcourir le cercle sur une longueur $\abs{\theta}$ dans le sens qu’indique le signe de $\theta$, en faisant autant de tours complets qu’il le faut, et la demi-droite qui va du sommet au point atteint est le côté final.

La conversion entre degrés et radians

Comme le tour complet mesure $360^\circ$ et aussi $2\pi$ radians, et comme les deux mesures sont proportionnelles à la longueur de l’arc que l’angle intercepte sur le cercle trigonométrique (celle en degrés par la définition du degré, et celle en radians parce qu’elle est cette longueur), les deux mesures d’un angle sont proportionnelles.

En pratique, pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\frac{\pi}{180}$, et pour passer des radians aux degrés, par $\frac{180}{\pi}$. Ainsi, $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$, $-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$ et $\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$ ; l’angle de $2$ radians mesure $\frac{360}{\pi}$ degrés, environ 114,6 degrés.

Longueur d’arc et aire d’un secteur

Sur un cercle de rayon $r$, un angle au centre $\theta$ intercepte un arc, et les deux côtés de l’angle, avec cet arc, limitent un secteur circulaire. La mesure en radians donne à leurs formules une forme particulièrement simple.

Si l’angle était mesuré en degrés, les formules comporteraient le facteur de conversion : l’arc serait $\frac{\pi r g}{180}$ et l’aire du secteur $\frac{\pi r^2 g}{360}$. La simplicité de $s = r\theta$ est la raison principale de préférer le radian. De plus, la formule donne la mesure d’un angle sur n’importe quel cercle, pas seulement sur le cercle trigonométrique : $\theta = \frac{s}{r}$ est le quotient de l’arc par le rayon, et ne dépend pas du rayon choisi.

L’angle inscrit

Un angle dont le sommet est le centre d’un cercle s’appelle un angle au centre. Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points distincts d’un cercle, l’angle que forment en $C$ les cordes $CA$ et $CB$ s’appelle un angle inscrit, et l’on dit qu’il intercepte l’arc d’extrémités $A$ et $B$ qui ne contient pas $C$. D’après le théorème démontré plus haut, à un arc de longueur $s$ d’un cercle de rayon $r$ correspond l’angle au centre de $\frac{s}{r}$ radians, même si ce nombre dépasse $\pi$. Pour comparer l’angle inscrit à l’angle au centre, on admet les faits de géométrie élémentaire énoncés ci-dessous, que ce cours ne démontre pas parce qu’il ne développe pas la géométrie synthétique. Les deux premiers mesurent les angles d’un triangle ; les deux derniers sont des faits de position, qui disent comment se répartissent les angles et les arcs quand une demi-droite passe par l’intérieur d’un angle.

Fait admis (angles du triangle et positions sur le cercle). On admet les quatre affirmations énoncées ci-dessous, dans lesquelles les angles non orientés se mesurent en radians, entre $0$ et $\pi$.

1. Somme des angles : les trois angles d’un triangle ont pour somme un angle plat, c’est-à-dire $\pi$ radians.
2. Triangle isocèle : dans un triangle qui a deux côtés égaux, les angles opposés à ces côtés sont égaux.
3. Somme d’angles adjacents : si une demi-droite issue du sommet d’un angle passe par son intérieur, elle le divise en deux angles dont la somme des mesures est celle de l’angle donné.
4. Position du centre : soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts d’un cercle de centre $O$, et soit $D$ l’autre extrémité du diamètre issu de $C$. Si $O$ n’est ni sur la corde $CA$ ni sur la corde $CB$, il se produit l’une de deux choses. Ou bien $O$ est à l’intérieur de l’angle que forment en $C$ ces cordes, et alors la demi-droite qui va de $C$ à $D$ passe par cet intérieur et $D$ est sur l’arc d’extrémités $A$ et $B$ qui ne contient pas $C$. Ou bien $O$ est hors de cet angle, et alors l’un des points $A$ et $B$, que l’on peut appeler $A$, est sur l’arc d’extrémités $D$ et $B$ qui ne contient pas $C$, et la demi-droite qui va de $C$ à $A$ passe par l’intérieur de l’angle que forment en $C$ les cordes $CD$ et $CB$.

Les points qui ne sont pas sur le cercle voient la corde sous d’autres angles. Le résultat énoncé ci-dessous est lui aussi admis de la géométrie élémentaire : il découle du théorème démontré plus haut et de la proposition 21 du livre I des Éléments d’Euclide, selon laquelle un point intérieur à un triangle voit l’un de ses côtés sous un angle plus grand que le sommet opposé ; mais sa démonstration exige de savoir où les segments issus du point coupent le cercle, une question de position que ce cours ne développe pas. Il servira dans le dernier problème résolu de la leçon sur les fonctions trigonométriques réciproques.

Fait admis (angles depuis des points intérieurs et extérieurs). Soient $A$ et $B$ deux points d’un cercle, et $\gamma$ la mesure commune des angles inscrits d’extrémités $A$ et $B$ dont le sommet est sur l’un des deux arcs que ces points déterminent. Si $Q$ est un point qui n’est pas sur le cercle, situé du même côté de la droite $AB$ que cet arc, l’angle que forment en $Q$ les segments $QA$ et $QB$ est strictement inférieur à $\gamma$ si $Q$ est extérieur au disque, et strictement supérieur à $\gamma$ s’il est intérieur.

Position standard et angles coterminaux

Dans le plan rapporté à un repère, étudié dans la leçon du cours I sur l’équation de la droite et les repères cartésiens, chaque angle a une position privilégiée.

Un angle orienté est en position standard si son sommet est l’origine et si son côté initial est le demi-axe des $x$ positifs. Son côté final est alors la demi-droite issue de l’origine qui passe par le point $P(\theta)$ de l’axiome du parcours, c’est-à-dire le point du cercle trigonométrique $x^2 + y^2 = 1$ auquel on arrive en parcourant, depuis $(1, 0)$, un arc de longueur $\abs{\theta}$ dans le sens qu’indique le signe de $\theta$. Deux angles sont coterminaux si, en position standard, ils ont le même côté final.

Les axes divisent le plan en quatre quadrants, numérotés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de celui qui contient les points de coordonnées strictement positives. Un angle en position standard est dans le quadrant qui contient son côté final ; si celui-ci tombe sur un axe, l’angle est dit quadrantal. Les coordonnées du point $P(\theta)$ sont le cosinus et le sinus de $\theta$, que l’on étudiera dans la leçon qui vient après celle-ci, sur les rapports trigonométriques.

Un tour complet, dans l’un ou l’autre sens, ramène le côté à sa position, par la périodicité du parcours : l’angle $\theta + 2\pi$ est coterminal avec $\theta$, de même que $\theta - 2\pi$, $\theta + 4\pi$ et, en général, $\theta + 2k\pi$ avec $k$ entier. Pour savoir où aboutit un angle quelconque, il suffit donc de décompter les tours complets, comme on décompte les multiples du diviseur dans la leçon du cours I sur la divisibilité et la division euclidienne. Le théorème énoncé ci-dessous est la version réelle de cette division : le diviseur est $2\pi$, le quotient est le nombre de tours et le reste, l’angle qui demeure.

Le nombre $\theta_0$ s’appelle la réduction de $\theta$ au premier tour. En degrés, le même raisonnement, avec $360$ au lieu de $2\pi$, ramène tout angle à un angle compris entre $0^\circ$ et $360^\circ$, ce dernier exclu : par exemple, $1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$. La réduction permet de reconnaître tous les angles qui aboutissent à un même côté ; auparavant, il faut savoir qu’un tour ne passe pas deux fois par le même point, ce qui se déduit de l’axiome du parcours.

Il s’ensuit que les angles coterminaux avec $\theta$ sont exactement ceux de la forme $\theta + 2k\pi$, avec $k$ entier, et que le quadrant d’un angle est décidé par sa réduction : il est dans le premier quadrant si $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$, dans le deuxième si $\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$, dans le troisième si $\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$ et dans le quatrième si $\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$ ; il est quadrantal si $\theta_0$ vaut $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ ou $\frac{3\pi}{2}$. Ainsi, $-\frac{23\pi}{6}$ est dans le premier quadrant, et $1000^\circ$, dont la réduction est $280^\circ$, dans le quatrième.

Enfin, tout point du cercle trigonométrique est le point $P(\theta)$ d’un certain angle : c’est la propriété de recouvrement de l’axiome du parcours, qui dit qu’en parcourant le cercle depuis $(1, 0)$ on passe par tous ses points. Dès lors, par la réduction au premier tour, la périodicité et le lemme des angles coterminaux, chaque point du cercle trigonométrique est $P(\theta)$ pour un unique $\theta$ dans $\ico{0}{2\pi}$, et les angles qui lui correspondent sont exactement les angles coterminaux avec ce $\theta$.

Vitesse angulaire et vitesse linéaire

Quand un corps tourne autour d’un axe, tous ses points décrivent des arcs de cercle centrés sur l’axe, et tous tournent du même angle dans le même temps. Si, pendant un temps $t$, le corps tourne, à rythme constant, d’un angle $\theta$, sa vitesse angulaire est le quotient $\omega = \frac{\theta}{t}$, qui se mesure en radians par seconde ; elle s’exprime aussi en tours par minute, et comme un tour vaut $2\pi$ radians et une minute, $60$ secondes, un tour par minute équivaut à $\frac{\pi}{30}$ radians par seconde.

Un point situé à la distance $r$ de l’axe parcourt, pendant ce temps, un arc de longueur $s = r\theta$, d’après le théorème de la longueur d’arc. Sa vitesse linéaire, quotient de la distance parcourue par le temps, est donc le produit du rayon par la vitesse angulaire :

Il s’ensuit que, dans un corps qui tourne, la vitesse angulaire est la même pour tous les points, tandis que la vitesse linéaire croît proportionnellement à la distance à l’axe : le bord d’un disque qui tourne se déplace plus vite que les points proches du centre. Cette relation, valable seulement si les angles sont mesurés en radians, est le point de départ de l’étude du mouvement circulaire dans le cours de Fondements de la mécanique. Deux roues reliées par une courroie ou une chaîne qui ne glisse pas, ou qui engrènent l’une avec l’autre, ont au point de contact la même vitesse linéaire ; par conséquent, $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$, et la roue la plus petite tourne plus vite, comme on le verra dans le problème résolu 3.

Problèmes résolus

Les problèmes mesurent la Terre à partir d’un angle, calculent l’aire d’un segment circulaire, transmettent une rotation par une chaîne, cherchent le secteur d’aire maximale de périmètre donné et comptent les superpositions des aiguilles d’une montre. Chacun exige une idée propre, qu’il convient de chercher avant de lire la solution.

Ératosthène exprima la distance en stades, dont la valeur exacte est discutée ; avec le nombre adopté ici, le méridien mesure 40000 km, et ce n’est pas un hasard : à la fin du XVIIIe siècle, le mètre fut défini comme la dix-millionième partie du quart de méridien. Par ailleurs, Alexandrie n’est pas exactement au nord de Syène, mais environ trois degrés plus à l’ouest, de sorte que l’arc qui les joint n’est pas tout à fait un arc de méridien.