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Topos Uranos
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Les fonctions trigonométriques et leurs courbes

Résumé

Cette leçon étudie le sinus, le cosinus et la tangente comme fonctions d’une variable réelle, mesurée en radians. Elle détermine leurs ensembles de définition, leurs ensembles images, leurs zéros, leurs valeurs extrêmes et leur parité, et démontre que 2π2\pi est la plus petite période strictement positive du sinus et du cosinus, et π\pi celle de la tangente. Elle construit la courbe du sinus en déroulant le cercle trigonométrique, obtient celle du cosinus par une translation et décrit à l’aide de tableaux de signes les asymptotes verticales de la tangente ; elle en déduit les courbes de la sécante, de la cosécante et de la cotangente. Elle démontre, en comparant des aires, l’inégalité sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x pour 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}, et étudie les sinusoïdes y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d, qui permettent de modéliser des phénomènes périodiques comme la durée du jour, les marées ou le mouvement d’une grande roue.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir le sinus, le cosinus et la tangente comme fonctions d’une variable réelle, et démontrer leurs ensembles images, leurs zéros, leurs extremums, leur parité et leurs plus petites périodes.
  2. Construire les courbes des six fonctions trigonométriques à partir du cercle trigonométrique, en décrivant les asymptotes verticales au moyen de tableaux de signes.
  3. Démontrer l’inégalité sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x pour 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} et la majoration ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x}, et les employer pour étudier des fonctions et des équations.
  4. Interpréter l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical d’une sinusoïde comme des transformations de la courbe du sinus, et ajuster des sinusoïdes à des phénomènes périodiques.

Le sinus et le cosinus comme fonctions

Dans la leçon sur les rapports trigonométriques, on a défini le sinus et le cosinus d’un angle quelconque comme les coordonnées du point P(θ)P(\theta) où le côté final de l’angle, en position standard, coupe le cercle trigonométrique. Or, d’après la leçon sur les angles et leur mesure, tout nombre réel est la mesure en radians d’un angle orienté, et deux angles ont le même côté final exactement lorsque leurs mesures diffèrent d’un multiple entier de 2π2\pi. S’il en est ainsi, le sinus et le cosinus peuvent être considérés comme des fonctions définies sur tout R\mathbb{R} : à chaque réel xx on associe une coordonnée du point P(x)P(x).

Pour chaque nombre réel xx, soit P(x)P(x) le point du cercle trigonométrique correspondant à l’angle de xx radians en position standard. La fonction sinus associe à xx l’ordonnée de P(x)P(x), et la fonction cosinus, son abscisse. Toutes deux ont pour ensemble de définition l’ensemble de tous les nombres réels.
P(x)=(cos⁡x,sin⁡x),x∈RP(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

La variable se mesure toujours en radians, et non en degrés. Ce choix n’est pas une convention indifférente : les résultats de la deuxième section, comme sin⁡x<x\sin x < x pour xx strictement positif, comparent le sinus à la variable elle-même, et cette comparaison n’a de sens que lorsque xx est la longueur de l’arc parcouru sur le cercle trigonométrique, ce que mesure précisément un radian.

ThéorèmePropriétés du sinus et du cosinus

L’ensemble image du sinus et celui du cosinus coïncident avec l’intervalle [−1,1]\icc{-1}{1}. Pour tout réel xx on a sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x et cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x ; le sinus est une fonction impaire, et le cosinus, une fonction paire. Le sinus s’annule exactement aux multiples entiers de π\pi, vaut 11 exactement aux nombres π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi et vaut −1-1 exactement aux nombres −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, avec kk entier. Le cosinus s’annule exactement aux nombres π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, vaut 11 exactement aux nombres 2kπ2k\pi et vaut −1-1 exactement aux nombres π+2kπ\pi + 2k\pi.

Tout se lit sur le cercle trigonométrique, avec l’identité pythagoricienne et les symétries démontrées dans la leçon sur les rapports trigonométriques.

Démonstration

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x≤1→−1≤sin⁡x≤1\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}

    D’après l’identité pythagoricienne, le carré du sinus est inférieur ou égal à 11, et le sinus est compris entre −1-1 et 11 ; il en va de même du cosinus.

  2. Q=(1−c2,c),(1−c2)2+c2=1→Rec⁡(sin⁡)=Rec⁡(cos⁡)=[−1,1]Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{Rec}(\sin) = \operatorname{Rec}(\cos) = \icc{-1}{1}

    Réciproquement, étant donné cc avec −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1, le point QQ suivant est sur le cercle trigonométrique ; d’après la propriété de recouvrement de l’axiome du parcours, admis dans la leçon sur les angles et leur mesure, c’est le point P(x)P(x) d’un certain angle xx, et alors sin⁡x=c\sin x = c. De même, le point (c,1−c2)\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right) montre que le cosinus prend la valeur cc.

  3. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

    Les angles de xx et de x+2πx + 2\pi radians ont le même côté final, de sorte que P(x+2π)=P(x)P(x + 2\pi) = P(x). De plus, P(−x)P(-x) est le symétrique de P(x)P(x) par rapport à l’axe horizontal, comme on l’a démontré dans la leçon sur les rapports trigonométriques : le sinus est impair et le cosinus est pair.

  4. sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

    Le sinus s’annule lorsque P(x)P(x) est sur l’axe horizontal, c’est-à-dire lorsqu’il est (1,0)(1, 0) ou (−1,0)(-1, 0) ; ce sont les points des angles 00 et π\pi et de leurs coterminaux. Le cosinus s’annule lorsque P(x)P(x) est (0,1)(0, 1) ou (0,−1)(0, -1).

  5. sin⁡x=1→cos⁡2x=1−1=0→P(x)=(0,1)\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)

    Si sin⁡x=1\sin x = 1, l’identité pythagoricienne oblige le cosinus à être nul, et le point P(x)P(x) est (0,1)(0, 1), qui correspond à l’angle π2\frac{\pi}{2} ; si sin⁡x=−1\sin x = -1, le point est (0,−1)(0, -1), qui correspond à −π2-\frac{\pi}{2}.

  6. sin⁡x=1↔x=π2+2kπ,sin⁡x=−1↔x=−π2+2kπ,cos⁡x=1↔x=2kπ,cos⁡x=−1↔x=π+2kπ\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi

    Par le même raisonnement, le cosinus vaut 11 lorsque P(x)=(1,0)P(x) = (1, 0) et vaut −1-1 lorsque P(x)=(−1,0)P(x) = (-1, 0). En résumé, les valeurs extrêmes du sinus et du cosinus sont atteintes aux nombres suivants, avec kk entier.

La courbe du sinus

La courbe de y=sin⁡xy = \sin x s’obtient en déroulant le cercle trigonométrique sur l’axe horizontal : tandis que le point P(x)P(x) parcourt le cercle, l’arc parcouru, de longueur xx, est reporté sur l’axe des abscisses, et au-dessus de chaque abscisse on élève la hauteur du point. Les symétries de la leçon sur les rapports trigonométriques permettent de construire toute la courbe à partir de son premier quart.

ExempleLa courbe du sinus comme cercle déroulé

La figure déroule le cercle trigonométrique sur l’axe horizontal, avec la même échelle sur les deux : la hauteur du point P(x)P(x) est reportée à l’abscisse xx, et la courbe complète s’obtient en répétant le premier quart et en lui appliquant des symétries.

Démonstration

  1. sin⁡0=0,sin⁡π2=1\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1

    Lorsque xx va de 00 à π2\frac{\pi}{2}, le point P(x)P(x) parcourt le premier quadrant de (1,0)(1, 0) à (0,1)(0, 1). D’après la propriété du demi-tour de l’axiome du parcours, son abscisse cos⁡x\cos x décroît strictement de 11 à 00 ; comme sa hauteur est la racine positive ou nulle 1−cos⁡2x\sqrt{1 - \cos^2 x}, elle croît strictement de 00 à 11. Dans la leçon sur les fonctions trigonométriques réciproques, le même argument s’étend à tout l’intervalle [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  2. sin⁡π6=12,sin⁡π4=22,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Les valeurs remarquables calculées dans la leçon sur les rapports trigonométriques donnent trois points intermédiaires du premier arc.

  3. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

    Entre π2\frac{\pi}{2} et π\pi, la symétrie des angles supplémentaires dit que la hauteur en π−x\pi - x est la même qu’en xx : le premier arc est symétrique par rapport à la droite verticale x=π2x = \frac{\pi}{2}, et redescend jusqu’à 00 en π\pi.

  4. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x

    Entre π\pi et 2π2\pi, le point P(x+π)P(x + \pi) est l’opposé de P(x)P(x) : la hauteur change de signe, et la courbe répète l’arc qui précède au-dessous de l’axe, translaté de π\pi et retourné.

  5. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x

    Par périodicité, la portion comprise entre 00 et 2π2\pi, appelée cycle, se répète à droite et à gauche ; et comme le sinus est impair, la courbe est symétrique par rapport à l’origine.

La courbe du sinus est une onde qui oscille entre les droites y=−1y = -1 et y=1y = 1, coupe l’axe horizontal aux multiples de π\pi et atteint ses maximums aux nombres π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi et ses minimums aux nombres −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, conformément au théorème démontré plus haut.

Le dessin suppose, en outre, deux propriétés que le cercle déroulé suggère, mais que les outils de cette unité ne permettent pas de démontrer : que la courbe est une courbe sans coupure, et que chaque arc situé au-dessus de l’axe s’incurve toujours vers le bas. Toutes deux se définissent au moyen de limites et se démontrent dans le cours d’Analyse I ; ici, on les admet. Aucun théorème de l’unité n’en dépend : on ne les utilise que dans quelques problèmes, qui l’indiquent expressément.

Fait admis (continuité des fonctions trigonométriques et de leurs réciproques). Le sinus et le cosinus sont continus sur toute la droite ; la tangente, la sécante, la cosécante et la cotangente le sont sur chaque intervalle contenu dans leur ensemble de définition ; et l’arc sinus, l’arc cosinus et l’arc tangente, qui seront définis dans la leçon sur les fonctions trigonométriques réciproques, sont continus sur leurs ensembles de définition. Les sommes, les produits, les quotients à dénominateur non nul et les composées de fonctions continues sont continus. Par conséquent, le fait admis du cours I sur le théorème des valeurs intermédiaires, énoncé dans la leçon sur les fonctions rationnelles, s’applique, sur tout intervalle fermé contenu dans leur ensemble de définition, à des fonctions comme sin⁡x−x10\sin x - \frac{x}{10}, tan⁡x−x\tan x - x ou arcsin⁡x+arctan⁡x\arcsin x + \arctan x : si elles changent de signe aux extrémités, elles s’annulent en un point intérieur.
Fait admis (concavité du sinus). Le sinus est strictement concave sur chaque intervalle [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}, avec kk entier : si u<x<vu < x < v sont des points de cet intervalle, le point de la courbe d’abscisse xx est strictement au-dessus du segment qui joint les points de la courbe d’abscisses uu et vv.
u<x<v→sin⁡x>(v−x)sin⁡u+(x−u)sin⁡vv−uu < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

Fonctions périodiques

Une fonction ff est périodique s’il existe un nombre p>0p > 0 tel que, pour tout xx de l’ensemble de définition, x+px + p et x−px - p soient dans l’ensemble de définition et que l’on ait f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x) ; un tel nombre s’appelle une période de ff. Si pp est une période, 2p2p, 3p3p en sont aussi et, par récurrence, tous ses multiples naturels : f(x+2p)=f((x+p)+p)=f(x+p)=f(x)f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x). Une fonction périodique a donc une infinité de périodes, et la plus intéressante est la plus petite d’entre elles, lorsqu’elle existe, qu’on appelle la plus petite période. Sa courbe s’obtient en répétant indéfiniment la portion correspondant à un intervalle de longueur égale à la période.

LemmeLes périodes sont des multiples de la plus petite période

Si qq est la plus petite période d’une fonction ff, les périodes de ff sont exactement les nombres kqkq, avec kk naturel.

On divise une période quelconque par qq, comme dans la division euclidienne, et l’on montre que le reste ne peut pas être strictement positif. La figure utilise une fonction de plus petite période qq.

Démonstration

  1. f(x+kq)=f(x),k∈N\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}

    Chaque multiple naturel de qq est une période, comme on vient de le voir par récurrence.

  2. kq≤p<(k+1)q→0≤r=p−kq<q\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}

    Réciproquement, soit pp une période ; par la minimalité de qq, on a p≥qp \geq q. D’après la propriété d’Archimède des réels, démontrée dans la leçon du cours I sur le développement décimal des nombres rationnels, et le principe du bon ordre, comme dans le théorème de la réduction au premier tour de la leçon sur les angles et leur mesure, il existe un naturel k≥1k \geq 1 avec kq≤p<(k+1)qkq \leq p < (k + 1)q, et le reste r=p−kqr = p - kq est compris entre 00 et qq, ce dernier exclu.

  3. f(x+r)=f(x+r+kq)=f(x+p)=f(x)f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)

    Si rr était strictement positif, ce serait une période : avancer de rr puis de kqkq revient à avancer de pp, et kqkq comme pp sont des périodes.

  4. r=0→p=kqr = 0 \rightarrow p = kq

    Mais une période strictement positive et strictement inférieure à qq contredit la minimalité de qq. D’où le reste est nul, et pp est un multiple naturel de qq.

ThéorèmePlus petite période du sinus et du cosinus

Le nombre 2π2\pi est la plus petite période du sinus et du cosinus.

D’après le théorème des propriétés, 2π2\pi est une période des deux fonctions. Il reste à voir qu’aucun nombre compris strictement entre 00 et 2π2\pi n’en est une, et il suffit pour cela de regarder où le maximum est atteint.

Démonstration

  1. sin⁡(π2+p)=sin⁡π2=1\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}

    Supposons que pp, avec 0<p<2π0 < p < 2\pi, soit une période du sinus. En écrivant l’égalité sin⁡(x+p)=sin⁡x\sin(x + p) = \sin x pour x=π2x = \frac{\pi}{2}, le nombre π2+p\frac{\pi}{2} + p serait aussi un point de maximum.

  2. π2+p=π2+2kπ→p=2kπ\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi

    D’après le théorème des propriétés, le sinus ne vaut 11 qu’aux nombres π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi : alors pp serait un multiple entier de 2π2\pi, ce qui est impossible strictement entre 00 et 2π2\pi. Autrement dit, deux maximums consécutifs du sinus sont distants d’exactement 2π2\pi.

  3. cos⁡p=cos⁡0=1→p=2kπ\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi

    Pour le cosinus, on raisonne de même en x=0x = 0 : une période pp donnerait cos⁡p=cos⁡0=1\cos p = \cos 0 = 1, et le cosinus ne vaut 11 qu’aux multiples entiers de 2π2\pi.

D’après le lemme démontré plus haut, les périodes du sinus et du cosinus sont exactement les nombres 2kπ2k\pi avec kk naturel.

Le cosinus comme sinus translaté

La courbe du cosinus n’exige pas de construction nouvelle, car c’est celle du sinus décalée.

ThéorèmeLe cosinus est un sinus translaté

Pour tout réel xx on a cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right). Par conséquent, la courbe de y=cos⁡xy = \cos x est celle du sinus translatée de π2\frac{\pi}{2} unités vers la gauche.

On combine les symétries des angles complémentaires et supplémentaires, puis le théorème des transformations de la leçon du cours I sur les opérations sur les fonctions.

Démonstration

  1. cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}

    D’après la symétrie des angles complémentaires, le cosinus de xx est le sinus de π2−x\frac{\pi}{2} - x.

  2. cos⁡x=sin⁡(π−(π2−x))=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}

    D’après la symétrie des angles supplémentaires, sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u ; avec u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x, l’angle π−u\pi - u est π2+x\frac{\pi}{2} + x.

  3. y=sin⁡(x−(−π2))y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

    D’après le théorème des transformations, la courbe de y=f(x−h)y = f(x - h) est celle de ff translatée de hh unités horizontalement. Ici ff est le sinus et h=−π2h = -\frac{\pi}{2} : chaque point de la courbe du sinus se déplace de π2\frac{\pi}{2} vers la gauche. Le point de maximum (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) vient en (0,1)(0, 1).

  4. cos⁡(−x)=cos⁡x,cos⁡0=1,cos⁡π=−1\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1

    Sur la courbe translatée se lisent les propriétés du cosinus : elle est symétrique par rapport à l’axe vertical, car le cosinus est pair, elle coupe l’axe horizontal aux nombres π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, et elle atteint le maximum 11 aux multiples pairs de π\pi et le minimum −1-1 aux multiples impairs.