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Topos Uranos
Français

Les fonctions trigonométriques réciproques

Résumé

Cette leçon construit les réciproques du sinus, du cosinus et de la tangente. Comme ces fonctions sont périodiques, elles ne sont pas injectives, et pour les inverser il faut les restreindre à un intervalle sur lequel elles prennent chaque valeur une seule fois : le sinus à [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, le cosinus à [0,π]\icc{0}{\pi} et la tangente à (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}. Elle déduit de l’axiome du parcours par longueur d’arc, qui affirme que l’abscisse du point parcouru décroît strictement tout au long du premier demi-tour, que le cosinus est strictement décroissant sur [0,π]\icc{0}{\pi} ; de là et des symétries, elle démontre que le sinus et la tangente sont strictement croissants sur leurs intervalles, et que les trois restrictions sont bijectives ; elle définit l’arc sinus, l’arc cosinus et l’arc tangente, et obtient leurs courbes comme reflets par rapport à la droite y=xy = x. Elle démontre ensuite les identités qui les relient, distingue avec soin sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x, toujours vraie, de arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x, vraie seulement sur l’intervalle principal, et résout les équations sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c et tan⁡x=c\tan x = c sur un tour complet.

Objectifs d’apprentissage

  1. Déduire de l’axiome du parcours la monotonie stricte du cosinus et du sinus sur leurs intervalles principaux, démontrer à l’aide de celle-ci celle de la tangente, et définir les trois réciproques avec leurs ensembles de définition et leurs ensembles images.
  2. Construire les courbes de l’arc sinus, de l’arc cosinus et de l’arc tangente comme reflets par rapport à la droite y=xy = x, et calculer leurs valeurs aux points remarquables.
  3. Démontrer les identités de composition, de symétrie et d’angles complémentaires des fonctions réciproques, et simplifier des expressions qui combinent des fonctions trigonométriques avec leurs réciproques.
  4. Résoudre les équations trigonométriques élémentaires sur l’intervalle [0,2π)\ico{0}{2\pi} au moyen des fonctions réciproques et des symétries du cercle trigonométrique.

La restriction des fonctions trigonométriques

D’après la leçon du cours I sur les opérations sur les fonctions, une fonction admet une réciproque si et seulement si elle est bijective, et alors la courbe de la réciproque est le reflet de la sienne par rapport à la droite y=xy = x. Or les fonctions trigonométriques étudiées dans la leçon sur les fonctions trigonométriques et leurs courbes ne sont pas injectives : le sinus et le cosinus ont pour période 2π2\pi, et la tangente, π\pi, de sorte que chaque valeur se répète une infinité de fois. Bien plus, à l’intérieur d’une même période les valeurs se répètent : par la symétrie des angles supplémentaires, démontrée dans la leçon sur les rapports trigonométriques, on a sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x. S’il en est ainsi, pour inverser ces fonctions il faut les restreindre à un intervalle sur lequel elles sont injectives et prennent toutes leurs valeurs. On choisit des intervalles qui contiennent les angles aigus et sur lesquels la fonction est strictement monotone.

ThéorèmeMonotonie sur les intervalles principaux

Le cosinus est strictement décroissant sur [0,π]\icc{0}{\pi} ; le sinus est strictement croissant sur [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, et la tangente est strictement croissante sur (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

On utilise la définition du sinus et du cosinus au moyen du point P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) du cercle trigonométrique, de la leçon sur les rapports trigonométriques, et l’axiome du parcours par longueur d’arc, admis dans la leçon sur les angles et leur mesure. La monotonie du cosinus est la traduction de la propriété du demi-tour de cet axiome ; celle du sinus et celle de la tangente se démontrent à partir d’elle.

Démonstration

  1. 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi

    Soient α\alpha et β\beta avec 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi. Les points P(α)P(\alpha) et P(β)P(\beta) sont les extrémités des arcs de longueurs α\alpha et β\beta issus de (1,0)(1, 0) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, et tous deux sont sur le premier demi-tour du parcours, qui couvre le demi-cercle supérieur.

  2. 0≤α<β≤π→cos⁡α>cos⁡β\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}

    Par la propriété du demi-tour de l’axiome, pendant le premier demi-tour l’abscisse du point parcouru décroît strictement : celle de P(α)P(\alpha) est strictement supérieure à celle de P(β)P(\beta). Comme le cosinus est, par définition, l’abscisse de P(θ)P(\theta), l’inégalité entre les abscisses est une inégalité entre cosinus.

  3. sin⁡α=cos⁡(π2−α)<cos⁡(π2−β)=sin⁡β\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}

    Soient maintenant −π2≤α<β≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2}. Leurs complémentaires vérifient π2−β<π2−α\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha et sont dans [0,π]\icc{0}{\pi} ; par la symétrie des angles complémentaires, le sinus d’un angle est le cosinus de son complémentaire, et comme le cosinus décroît sur [0,π]\icc{0}{\pi}, le sinus croît sur [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  4. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α<sin⁡βcos⁡α<sin⁡βcos⁡β=tan⁡β\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}

    Pour la tangente, soient 0≤α<β<π20 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}. D’après les étapes qui précèdent, 0≤sin⁡α<sin⁡β0 \leq \sin \alpha < \sin \beta et cos⁡α>cos⁡β>cos⁡π2=0\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0. En augmentant d’abord le numérateur puis en diminuant le dénominateur, tous deux strictement positifs, on augmente le quotient.

  5. tan⁡α=−tan⁡(−α)<−tan⁡(−β)=tan⁡β\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta

    La tangente est impaire, car c’est le quotient du sinus, impair, par le cosinus, pair. Si −π2<α<β≤0-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0, les opposés vérifient 0≤−β<−α0 \leq -\beta < -\alpha, et le changement de signe renverse l’inégalité de l’étape qui précède ; si α<0<β\alpha < 0 < \beta, la tangente est strictement négative en α\alpha et strictement positive en β\beta. Par conséquent, la tangente croît sur tout l’intervalle (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

Les restrictions bijectives

Toute fonction strictement monotone est injective, d’après le théorème des fonctions monotones de la leçon sur les opérations sur les fonctions. Il reste à voir que chaque restriction prend toutes les valeurs de son ensemble image.

ThéorèmeRestrictions bijectives

Le sinus, restreint à [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, est une bijection sur [−1,1]\icc{-1}{1} ; le cosinus, restreint à [0,π]\icc{0}{\pi}, est une bijection sur [−1,1]\icc{-1}{1}, et la tangente, restreinte à (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, est une bijection sur R\mathbb{R}.

L’injectivité découle du théorème ci-dessus. Que chaque restriction prenne toutes ses valeurs découle de la propriété de recouvrement de l’axiome du parcours, selon laquelle tout point du cercle trigonométrique est l’extrémité d’un arc issu de (1,0)(1, 0), et du lemme selon lequel un tour ne répète pas de points, tous deux de la leçon sur les angles et leur mesure.

Démonstration

  1. 0≤α<β≤π→cos⁡α≠cos⁡β0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}

    D’après le théorème ci-dessus, les trois restrictions sont strictement monotones, et toute fonction strictement monotone est injective : deux angles distincts du demi-cercle supérieur ont des abscisses distinctes.

  2. Q=(c,1−c2),c2+(1−c2)2=1→Q=P(θ)Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}

    Soit cc avec −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1. Le point QQ suivant est sur le cercle trigonométrique ; par le recouvrement et parce qu’un tour ne répète pas de points, il est égal à P(θ)P(\theta) pour un unique θ\theta dans [0,2π)\ico{0}{2\pi}.

  3. sin⁡θ=1−c2≥0→θ∈[0,π],cos⁡θ=c\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}

    L’ordonnée de QQ est positive ou nulle, et le sinus est strictement négatif sur (π,2π)\ioo{\pi}{2\pi}, d’après les signes par quadrant de la leçon sur les rapports trigonométriques : ce θ\theta est dans [0,π]\icc{0}{\pi}, et son cosinus est cc. Le cosinus restreint prend toutes les valeurs de [−1,1]\icc{-1}{1}.

  4. sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ=c,π2−θ∈[−π2,π2]\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}

    Par la symétrie des angles complémentaires, le sinus de π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta est le cosinus de θ\theta, et lorsque θ\theta parcourt [0,π]\icc{0}{\pi}, son complémentaire parcourt [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} : le sinus restreint prend lui aussi toutes les valeurs de [−1,1]\icc{-1}{1}.

  5. tan⁡x=m,x−kπ∈(−π2,π2),tan⁡(x−kπ)=m\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m

    Pour la tangente, le théorème de ses propriétés, de la leçon sur les fonctions trigonométriques et leurs courbes, dit que son ensemble image est R\mathbb{R} : étant donné mm, la droite de pente mm passant par l’origine coupe le demi-cercle droit en un point P(x)P(x) avec xx compris entre −π2-\frac{\pi}{2} et π2\frac{\pi}{2}. On le voit aussi par la périodicité : si tan⁡x=m\tan x = m, en retranchant de xx un multiple entier de π\pi, comme dans la réduction au premier tour, on obtient un nombre de cet intervalle ayant la même tangente.