Résolution des triangles : lois des sinus et des cosinus

Notation et faits préalables

Dans la leçon sur les rapports trigonométriques, le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle aigu ont été définis comme des quotients de côtés d’un triangle rectangle, puis étendus à tout angle au moyen du cercle trigonométrique. Un triangle rectangle se résout donc avec ces rapports et avec le théorème de Pythagore. Or la plupart des triangles qui apparaissent en géométrie et dans l’arpentage n’ont aucun angle droit ; l’objet de cette leçon est de les résoudre tous.

Dans un triangle de sommets $A$, $B$ et $C$, la même lettre majuscule désigne le sommet et la mesure de l’angle intérieur du triangle en ce sommet, et la lettre minuscule correspondante désigne la longueur du côté opposé : $a$ est la longueur du côté $BC$, $b$ celle du côté $CA$ et $c$ celle du côté $AB$. L’aire du triangle se note $S$, et la distance entre deux points $P$ et $Q$, $\operatorname{d}(P, Q)$. Comme il est d’usage dans la résolution des triangles, les angles s’expriment en degrés. Or les fonctions trigonométriques sont définies pour des nombres réels, qui sont des mesures en radians ; d’après la règle de conversion de la leçon sur les angles et leur mesure, un angle de $g$ degrés mesure $\frac{\pi g}{180}$ radians, et l’on adopte la convention que voici : $\sin g^\circ$ désigne $\sin \frac{\pi g}{180}$, et de même pour les autres fonctions ; par exemple, $\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. De même, l’arc cosinus, qui prend ses valeurs dans $\icc{0}{\pi}$, renvoie la mesure en radians d’un angle, que l’on exprime en degrés : l’égalité $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ$ signifie que $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$, la mesure en radians d’un angle de $120^\circ$. Avec cette convention, tout ce qui suit vaut également en radians, en remplaçant $180^\circ$ par $\pi$. On admet, comme dans la leçon sur les angles et leur mesure, un fait de géométrie élémentaire que ce cours ne démontre pas parce qu’il ne développe pas la géométrie synthétique : les trois angles d’un triangle ont pour somme deux angles droits.

Il s’ensuit que chaque angle d’un triangle est strictement compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$, et qu’au plus l’un d’eux est droit ou obtus. Des leçons antérieures de cette unité, on utilise en outre les faits ci-dessous :

• Le point situé à la distance $r$ de l’origine, sur la demi-droite qui forme l’angle $\theta$ avec le demi-axe positif des abscisses, a pour coordonnées $\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right)$ : c’est le point du cercle trigonométrique associé à $\theta$, multiplié par $r$.
• L’identité pythagoricienne, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, et les symétries de l’angle supplémentaire, $\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta$ et $\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta$.
• Si $0^\circ < \theta < 180^\circ$, le sinus de $\theta$ est strictement positif ; le cosinus est strictement positif si $\theta$ est aigu, nul s’il est droit et strictement négatif s’il est obtus.
• Le cosinus est strictement décroissant entre $0^\circ$ et $180^\circ$ et prend sur cet intervalle chaque valeur comprise entre $-1$ et $1$ exactement une fois ; c’est pourquoi, d’après la leçon sur les fonctions trigonométriques réciproques, un angle d’un triangle est déterminé par son cosinus, $\theta = \arccos x$.

Le sinus, en revanche, ne détermine pas un angle d’un triangle : les angles $\theta$ et $180^\circ - \theta$ ont le même sinus, et la fonction arc sinus ne renvoie que l’angle aigu. Cette asymétrie entre le sinus et le cosinus expliquera, dans l’avant-dernière section, pourquoi certaines données admettent deux triangles distincts.