Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Решение треугольников: теоремы синусов и косинусов

Краткое содержание

Этот урок распространяет решение треугольников, которое с помощью тригонометрических отношений ограничивалось прямоугольными треугольниками, на все треугольники: по трём их элементам, сторонам или углам, он находит остальные. Он доказывает, что площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, выводит отсюда теорему синусов и её связь с радиусом описанной окружности, доказывает с помощью координат теорему косинусов, которая содержит теорему Пифагора как частный случай, и получает из обеих формулу Герона, выражающую площадь через три стороны. С этими инструментами он изучает случаи решения, и в особенности неоднозначный случай, в котором две стороны и угол, противолежащий одной из них, определяют ни одного, один или два треугольника в зависимости от дискриминанта и знаков корней квадратного уравнения. Наконец, он измеряет угол между векторами с помощью скалярного произведения и показывает, что эта формула и теорема косинусов представляют собой два прочтения одного и того же факта; задачи применяют эти результаты к медианам, к измерению недоступных расстояний и к диагоналям параллелограмма.

Цели обучения

  1. Вычислять площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам с помощью формулы Герона.
  2. Доказывать теоремы синусов и косинусов и распознавать, на какую из них удобнее опереться при имеющихся данных.
  3. Решать треугольник по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними или по стороне и двум углам и исследовать число решений, когда даны две стороны и угол, противолежащий одной из них.
  4. Вычислять угол между векторами с помощью скалярного произведения и применять решение треугольников к геометрическим и измерительным задачам.

Обозначения и предварительные факты

В уроке о тригонометрических отношениях синус, косинус и тангенс острого угла были определены как отношения сторон прямоугольного треугольника, а затем распространены на любой угол с помощью единичной окружности. Поэтому прямоугольный треугольник решается с помощью этих отношений и теоремы Пифагора. Однако большинство треугольников, встречающихся в геометрии и при измерении местности, не имеют ни одного прямого угла; цель этого урока состоит в том, чтобы решать их все.

В треугольнике с вершинами AA, BB и CC одна и та же заглавная буква обозначает вершину и величину внутреннего угла треугольника при этой вершине, а соответствующая строчная буква обозначает длину противолежащей стороны: aa есть длина стороны BCBC, bb есть длина стороны CACA, а cc есть длина стороны ABAB. Площадь треугольника обозначается SS, а расстояние между двумя точками PP и QQ обозначается d⁡(P,Q)\operatorname{d}(P, Q). Как принято при решении треугольников, углы выражаются в градусах. Однако тригонометрические функции определены для действительных чисел, которые являются мерами в радианах; по правилу перевода из урока об углах и их измерении угол в gg градусов имеет меру πg180\frac{\pi g}{180} радиан, и принимается следующее соглашение: sin⁡g∘\sin g^\circ обозначает sin⁡πg180\sin \frac{\pi g}{180}, и так же для остальных функций; например, cos⁡60∘=cos⁡π3=12\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}. Точно так же арккосинус, принимающий значения на [0,π]\icc{0}{\pi}, возвращает меру угла в радианах, которая выражается в градусах: равенство arccos⁡(−12)=120∘\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ означает, что arccos⁡(−12)=2π3\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}, то есть радианную меру угла в 120∘120^\circ. При этом соглашении всё дальнейшее остаётся верным и в радианах, если заменить 180∘180^\circ на π\pi. Принимается, как и в уроке об углах и их измерении, факт элементарной геометрии, который этот курс не доказывает, поскольку не развивает синтетическую геометрию: сумма трёх углов треугольника равна двум прямым.

A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ

Отсюда следует, что каждый угол треугольника лежит строго между 0∘0^\circ и 180∘180^\circ и что не более одного из них является прямым или тупым. Кроме того, из предыдущих уроков этого раздела используются следующие факты:

  • Точка, находящаяся на расстоянии rr от начала координат на луче, образующем угол θ\theta с положительной полуосью абсцисс, имеет координаты (rcos⁡θ,rsin⁡θ)\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right): это точка единичной окружности, соответствующая θ\theta, умноженная на rr.
  • Основное тригонометрическое тождество sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 и симметрии дополняющего до развёрнутого угла: sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta и cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta.
  • Если 0∘<θ<180∘0^\circ < \theta < 180^\circ, то синус θ\theta положителен; косинус положителен, если θ\theta острый, равен нулю, если он прямой, и отрицателен, если он тупой.
  • Косинус строго убывает между 0∘0^\circ и 180∘180^\circ и принимает на этом промежутке каждое значение между −1-1 и 11 ровно один раз; поэтому, согласно уроку об обратных тригонометрических функциях, угол треугольника определяется своим косинусом: θ=arccos⁡x\theta = \arccos x.

Синус же не определяет угол треугольника: углы θ\theta и 180∘−θ180^\circ - \theta имеют один и тот же синус, а функция арксинус возвращает только острый из них. Эта асимметрия между синусом и косинусом объяснит в предпоследнем параграфе, почему некоторые данные допускают два различных треугольника.