삼각형의 풀이: 사인법칙과 코사인법칙

기호와 미리 알아 둘 사실

삼각비에 관한 수업에서 예각의 사인, 코사인, 탄젠트를 직각삼각형의 변의 비로 정의하고, 그 뒤 단위원으로 모든 각에 확장하였다. 따라서 직각삼각형은 이 비들과 피타고라스 정리로 풀린다. 그런데 기하학과 토지 측량에 나타나는 삼각형은 대부분 직각을 하나도 갖지 않는다. 이 수업의 목적은 그 모두를 푸는 것이다.

꼭짓점이 $A$, $B$, $C$인 삼각형에서 같은 대문자는 꼭짓점과 그 꼭짓점에서의 삼각형의 내각의 크기를 나타내고, 대응하는 소문자는 대변의 길이를 나타낸다. 곧 $a$는 변 $BC$의 길이, $b$는 변 $CA$의 길이, $c$는 변 $AB$의 길이이다. 삼각형의 넓이는 $S$로 나타내고, 두 점 $P$와 $Q$ 사이의 거리는 $\operatorname{d}(P, Q)$로 나타낸다. 삼각형의 풀이에서 흔히 하듯이 각은 도로 나타낸다. 그런데 삼각함수는 실수에 대하여 정의되어 있고, 그 실수는 라디안으로 잰 크기이다. 각과 그 측정에 관한 수업의 환산 규칙에 따르면 $g$도인 각의 크기는 $\frac{\pi g}{180}$라디안이므로, 아래와 같이 약속한다. $\sin g^\circ$는 $\sin \frac{\pi g}{180}$을 나타내며, 다른 함수들도 마찬가지이다. 예를 들어 $\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$이다. 같은 방식으로, 값을 $\icc{0}{\pi}$에서 갖는 아크코사인은 각의 크기를 라디안으로 돌려주며, 그 크기는 도로 나타낸다. 등식 $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ$은 $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$를 뜻하며, 이는 $120^\circ$인 각의 라디안 크기이다. 이 약속 아래에서 이하의 모든 내용은 $180^\circ$를 $\pi$로 바꾸면 라디안으로도 똑같이 성립한다. 각과 그 측정에 관한 수업에서처럼, 초등 기하학의 한 사실을 받아들인다. 이 강좌는 종합 기하학을 전개하지 않으므로 그것을 증명하지 않는다. 그 사실은 삼각형의 세 각의 합이 두 직각과 같다는 것이다.

이로부터 삼각형의 각 각은 $0^\circ$와 $180^\circ$ 사이에 엄격하게 놓이며, 그 가운데 직각이나 둔각인 것은 많아야 하나임이 따라 나온다. 그 밖에 이 단원의 앞선 수업들에서 아래의 사실들을 쓴다.

• 원점으로부터의 거리가 $r$이고, 가로축의 양의 반축과 각 $\theta$를 이루는 반직선 위에 있는 점의 좌표는 $\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right)$이다. 이것은 $\theta$에 대응하는 단위원 위의 점에 $r$을 곱한 것이다.
• 피타고라스 항등식 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, 그리고 보각의 대칭성 $\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta$ 및 $\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta$.
• $0^\circ < \theta < 180^\circ$이면 $\theta$의 사인은 양수이다. 코사인은 $\theta$가 예각이면 양수, 직각이면 0, 둔각이면 음수이다.
• 코사인은 $0^\circ$와 $180^\circ$ 사이에서 순감소하며, 이 구간에서 $-1$과 $1$ 사이의 각 값을 정확히 한 번씩 갖는다. 따라서 역삼각함수에 관한 수업에 따라 삼각형의 각은 그 코사인으로 정해진다. 곧 $\theta = \arccos x$이다.

이에 비해 사인은 삼각형의 각을 정하지 못한다. 각 $\theta$와 $180^\circ - \theta$는 같은 사인을 가지며, 아크사인 함수는 그 가운데 예각만을 돌려준다. 사인과 코사인 사이의 이 비대칭성은 끝에서 두 번째 절에서 어떤 자료가 서로 다른 두 삼각형을 허용하는 까닭을 설명해 줄 것이다.