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Topos Uranos
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극좌표와 극곡선

요약

이 수업에서는 평면의 점을 나타내는 두 번째 방법을 소개한다. 고정된 점인 극까지의 거리와, 고정된 반직선인 시초선과 이루는 각으로 점을 나타내는 방법이다. 음의 동경을 허용하는 약속을 채택하고, 한 점의 모든 표현을 기술하며, 극좌표와 직교좌표 사이의 변환 공식을 사분면에 따른 아크탄젠트의 보정과 함께 유도하고, 두 점 사이의 거리를 코사인법칙으로 구한다. 이어서 직선과 원의 극방정식, 대칭 판정법, 그리고 카디오이드, 장미 곡선, 아르키메데스 나선, 파스칼의 달팽이 곡선을 값의 표로 그리는 방법을 다루고, 끝으로 초점이 극에 있는 이차곡선의 극방정식을 유도하여 그로부터 곡선의 종류, 꼭짓점, 통경을 읽어 낸다.

학습 목표

  1. 점을 극좌표로 나타내고, 한 점의 모든 표현을 알아보며, 극좌표에서 직교좌표로, 또 그 역으로 옮겨 갈 수 있다.
  2. 극좌표로 거리를 계산하고, 직선과 원의 방정식을 극을 잃거나 더하지 않고 한 좌표계에서 다른 좌표계로 옮겨 쓸 수 있다.
  3. 대칭 판정법과 값의 표를 극곡선, 곧 카디오이드, 장미 곡선, 나선, 달팽이 곡선을 그리는 데 적용할 수 있다.
  4. 초점이 극에 있는 이차곡선의 극방정식을 유도하고, 그로부터 이심률, 꼭짓점, 통경을 읽어 낼 수 있다.

극좌표

직교좌표는 강좌 I의 직선의 방정식과 직교좌표계 수업에서 다루었으며, 점을 서로 수직인 두 직선까지의 부호 있는 거리로 나타낸다. 그런데 많은 곡선은 고정된 점까지의 거리와 그 점에서 바라본 방향으로 더 자연스럽게 기술된다. 중심 둘레의 원, 일정한 비율로 벌어지는 나선, 태양 둘레를 도는 행성의 궤도가 그렇다. 이런 곡선에는 극좌표계가 알맞다. 이 좌표계는 고정된 점 OO(극)과 그 점에서 시작하는 고정된 반직선(시초선)으로 이루어진다. 두 좌표계를 함께 쓸 수 있도록 극을 원점에 두고 시초선을 가로축의 양의 부분 위에 놓는다.

rr과 θ\theta를 두 실수라 하자. 극좌표가 (r,θ)(r, \theta)인 점이란 직교좌표가 아래 식으로 주어지는 평면 위의 점이다.

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

r>0r > 0이면, 이 점은 극까지의 거리가 rr이고 표준 위치에 놓인 각 θ\theta의 동경 위에 있는 점이다(표준 위치는 각과 그 측정 수업에서 다루었다). 즉 단위원 위의 점 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)(삼각비 수업에서 정의하였다)의 좌표에 rr을 곱한 점이다. 수 rr을 동경이라 하고, 라디안으로 잰 각 θ\theta를 편각이라 한다.

이 정의는 r=0r = 0과 r<0r < 0도 허용하며, 이것이 이 수업의 약속이다. r=0r = 0이면 θ\theta가 어떤 값이든 극이 얻어진다. r<0r < 0이면 극까지의 거리가 −r-r이고 θ\theta의 방향과 반대 방향에 있는 점이 얻어진다. 삼각비 수업의 대칭성 cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta과 sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta에 의해, 쌍 (−r,θ)(-r, \theta)와 (r,θ+π)(r, \theta + \pi)는 같은 점을 준다.

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

많은 책은 r≥0r \geq 0을 요구한다. 음의 동경을 허용하면 이 수업에서 활용할 두 가지 이점이 있다. 극을 지나고 방향이 α\alpha인 직선 전체가 방정식 θ=α\theta = \alpha으로 기술되고, 장미 곡선 같은 곡선을 끊김 없이 그릴 수 있다. 그 대가로 한 점이 더 많은 표현을 갖게 된다. 이로부터 지금 정해 두어야 할 규칙이 따라 나온다. 점이 극방정식의 곡선에 속하는 것은 그 표현 가운데 어느 하나가 방정식을 만족할 때이며, 다른 표현이 방정식을 만족하지 않아도 상관없다.

보조정리점의 표현

(r1,θ1)(r_1, \theta_1)을 극과 다른 점 PP의 한 표현이라 하자. 쌍 (r2,θ2)(r_2, \theta_2)도 PP를 나타낼 필요충분조건은 r2=r1r_2 = r_1이고 θ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi(kk는 어떤 정수)이거나, r2=−r1r_2 = -r_1이고 θ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi(kk는 어떤 정수)인 것이다. 극은 쌍 (0,θ)(0, \theta)(θ\theta는 임의)로 나타내어지는 점이다.

피타고라스 항등식과, 각과 그 측정 수업에서 다룬 동경이 같은 각의 특징을 이용한다. 두 각이 단위원의 같은 점을 주는 것은 두 각의 차가 2π2\pi의 정수배일 때, 그리고 그때뿐이다.

증명

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    점에서 극까지의 거리는 선택한 표현에 의존하지 않는다. 피타고라스 항등식에 의해 x2+y2x^2 + y^2은 r2r^2과 같다. 따라서 한 점의 두 표현은 r22=r12r_2^2 = r_1^2을 만족하고, 극은 r=0r = 0인 유일한 점이다.

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0이면 두 점의 좌표를 모두 r1r_1로 나눈다. 단위원 위의 점 (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1)과 (cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2)가 일치하며, 이는 두 각의 동경이 같을 때, 그리고 그때에만 일어난다.

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    r2=−r1r_2 = -r_1이면 쌍 (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2)는 (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi)와 같은 점을 주고, 앞의 논의에 의해 θ2+π\theta_2 + \pi는 θ1\theta_1과 동경이 같다. 2k−12k - 1은, kk가 모든 정수를 지날 때 모든 홀수를 지나므로, 이것이 보조정리의 주장이다.

따라서 극좌표가 (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right)인 점은 표현 (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right)와 (2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right)(한 바퀴 더 돌거나 한 바퀴 덜 돈 것)도 가지며, (−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right)나 (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right)(반대 방향을 바라보고 뒤로 물러선 것)도 가진다.

직교좌표에서 극좌표로

공식 x=rcos⁡θx = r \cos \theta과 y=rsin⁡θy = r \sin \theta는 극좌표에서 직교좌표로 옮겨 가는 방법을 준다. 반대로 옮겨 가려면 가능한 모든 표현 가운데 하나를 골라야 한다. 보통 택하는 것은 r>0r > 0이고 θ\theta가 구간 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}에 있는 표현이다. 각을 구할 때는 역삼각함수 수업의 아크탄젠트 함수를 이용하는데, 이 함수는 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에서 값을 취하므로 제1사분면과 제4사분면의 각만 본다. 나머지 두 사분면에서는 π\pi를 더하거나 빼서 보정해야 한다.

정리직교좌표에서 극좌표로

극과 다른 모든 점 (x,y)(x, y)는 극좌표 표현 (r,θ)(r, \theta)(단, r>0r > 0이고 θ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi})를 단 하나 가진다. 그 동경은 r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}이고, 그 편각은 아래 공식의 다섯 가지 경우로 주어진다.

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

핵심은 문제를 단위원으로 환원하는 것이다. 단위원에서는 극을 지나는 직선의 기울기가 서로 반대편에 있는 두 점을 정하고, 가로 좌표의 부호가 그 둘 가운데 하나를 고른다.

증명

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    앞의 보조정리에 의해 r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2이고, r>0r > 0이므로 동경은 제곱근이다. rr로 나누면, 구하는 각은 단위원 위의 한 점 QQ의 각이다. 이 점은 각과 그 측정 수업에서 받아들인 호의 길이에 따른 이동의 공리의 덮음 성질에 의해 존재하고, 그 각은 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}에서 유일하다. 길이가 2π2\pi인 이 구간의 두 각은 동경이 같을 수 없기 때문이다.

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    x=0x = 0이면 점 QQ는 (0,1)(0, 1) 또는 (0,−1)(0, -1)이며(yy의 부호에 따라), 사인과 코사인의 특수각의 값에 의해 각은 π2\frac{\pi}{2} 또는 −π2-\frac{\pi}{2}이다.

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    x≠0x \neq 0이면 θ\theta의 탄젠트는 극과 점을 잇는 직선의 기울기 m=yxm = \frac{y}{x}이다. 각 α=arctan⁡m\alpha = \arctan m는 그 탄젠트를 가지며 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에 있고, 그곳에서 코사인은 양수이다.

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    단위원 위에는 극에서 본 기울기가 mm인 점이 정확히 두 개 있다. (u,v)(u, v)가 그중 하나이면 v=muv = mu이고 u2+v2=1u^2 + v^2 = 1이다. 두 점은 서로 반대편에 있으므로 한 점은 가로 좌표가 양수이고 다른 점은 음수이다. 각 α+π\alpha + \pi의 대칭성에 의해, 이들은 각 α\alpha와 α+π\alpha + \pi의 점이다.

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    x>0x > 0이면 점 QQ는 가로 좌표가 양수이고 θ=α\theta = \alpha이다. x<0x < 0이면 그 점은 α+π\alpha + \pi의 점이다. 또한 y≥0y \geq 0일 때는 기울기가 음수이거나 0이고, α∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0}이며 α+π\alpha + \pi는 이미 (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi}에 있다. y<0y < 0일 때는 기울기가 양수이고 한 바퀴를 빼야 하므로 α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi이다.

예를 들어 점 (−1,1)(-1, 1)은 제2사분면에 있다. 그 동경은 2\sqrt{2}이고, arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}이므로 그 편각은 −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}이다. yx\frac{y}{x}의 아크탄젠트를 xx와 yy의 부호를 따로 살피지 않고 주는 계산기는 −π4-\frac{\pi}{4}를 돌려줄 것이며, 이는 반대편 점 (1,−1)(1, -1)의 각이다.