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Topos Uranos
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Coordinate polari e curve polari

Riepilogo

Questa lezione presenta un secondo modo di nominare i punti del piano: mediante la loro distanza da un punto fisso, il polo, e mediante l’angolo che formano con una semiretta fissa, l’asse polare. Adotta la convenzione che ammette raggi negativi, descrive tutte le rappresentazioni di uno stesso punto, ricava le formule di passaggio tra coordinate polari e cartesiane, con la correzione dell’arcotangente secondo il quadrante, e ottiene la distanza tra due punti mediante il teorema del coseno. Studia poi le equazioni polari di rette e circonferenze, i criteri di simmetria e il tracciamento per tabelle di valori della cardioide, delle rose, della spirale di Archimede e della lumaca, e termina con l’equazione polare delle coniche che hanno un fuoco nel polo, dalla quale si leggono il loro tipo, i loro vertici e il loro lato retto.

Obiettivi di apprendimento

  1. Rappresentare punti in coordinate polari, riconoscere tutte le rappresentazioni di uno stesso punto e passare dalle coordinate polari alle cartesiane e viceversa.
  2. Calcolare distanze in coordinate polari e tradurre equazioni di rette e circonferenze da un sistema all’altro, senza perdere né aggiungere il polo.
  3. Applicare i criteri di simmetria e le tabelle di valori al tracciamento delle curve polari: cardioidi, rose, spirali e lumache.
  4. Ricavare l’equazione polare delle coniche con un fuoco nel polo e leggervi la loro eccentricità, i loro vertici e il loro lato retto.

Le coordinate polari

Le coordinate cartesiane, studiate nella lezione del corso I su equazione della retta e i sistemi cartesiani, nominano un punto mediante le sue distanze con segno da due rette perpendicolari. Ora, molte curve si descrivono con più naturalezza mediante la distanza da un punto fisso e la direzione in cui le si vede da esso: una circonferenza attorno al suo centro, una spirale che si apre a ritmo costante o l’orbita di un pianeta attorno al Sole. Per esse conviene un sistema di coordinate polari, formato da un punto fisso OO, il polo, e da una semiretta fissa uscente da esso, l’asse polare. Perché i due sistemi convivano, si pone il polo nell’origine e l’asse polare sul semiasse positivo delle ascisse.

Siano rr e θ\theta due numeri reali. Il punto di coordinate polari (r,θ)(r, \theta) è il punto del piano di coordinate cartesiane

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

Se r>0r > 0, è il punto che si trova a distanza rr dal polo sul lato terminale dell’angolo θ\theta in posizione standard, studiato nella lezione su angoli e la loro misura: è il punto (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta) della circonferenza goniometrica, definito nella lezione sui rapporti trigonometrici, con le sue coordinate moltiplicate per rr. Il numero rr si chiama raggio e l’angolo θ\theta, misurato in radianti, angolo polare.

La definizione ammette anche r=0r = 0 e r<0r < 0, ed è in questo che consiste la convenzione di questa lezione. Con r=0r = 0 si ottiene il polo, qualunque sia θ\theta. Con r<0r < 0 si ottiene il punto situato a distanza −r-r dal polo nella direzione opposta a quella di θ\theta: per le simmetrie cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta e sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta della lezione sui rapporti trigonometrici, le coppie (−r,θ)(-r, \theta) e (r,θ+π)(r, \theta + \pi) danno lo stesso punto.

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

Molti testi esigono r≥0r \geq 0; ammettere raggi negativi ha due vantaggi che questa lezione sfrutterà: la retta passante per il polo con direzione α\alpha si descrive per intero con l’equazione θ=α\theta = \alpha, e curve come le rose si percorrono in modo continuo. Il prezzo è che uno stesso punto ammette più rappresentazioni. Ne segue una regola che conviene fissare fin d’ora: un punto appartiene alla curva di un’equazione polare se qualcuna delle sue rappresentazioni soddisfa l’equazione, anche se altre non la soddisfano.

LemmaLe rappresentazioni di un punto

Sia (r1,θ1)(r_1, \theta_1) una rappresentazione di un punto PP distinto dal polo. La coppia (r2,θ2)(r_2, \theta_2) rappresenta anch’essa PP se e solo se r2=r1r_2 = r_1 e θ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi per qualche intero kk, oppure r2=−r1r_2 = -r_1 e θ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi per qualche intero kk. Il polo è il punto rappresentato dalle coppie (0,θ)(0, \theta), con θ\theta qualsiasi.

Si usano l’identità pitagorica e la caratterizzazione degli angoli coterminali della lezione sugli angoli e la loro misura: due angoli danno lo stesso punto della circonferenza goniometrica esattamente quando differiscono per un multiplo intero di 2π2\pi.

Dimostrazione

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    La distanza di un punto dal polo non dipende dalla rappresentazione scelta: per l’identità pitagorica, x2+y2x^2 + y^2 vale r2r^2. Pertanto, due rappresentazioni di uno stesso punto hanno r22=r12r_2^2 = r_1^2, e il polo è l’unico punto con r=0r = 0.

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    Se r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0, dividiamo le coordinate di entrambi i punti per r1r_1: i punti (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1) e (cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2) della circonferenza goniometrica coincidono, e ciò accade esattamente quando gli angoli sono coterminali.

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    Se r2=−r1r_2 = -r_1, la coppia (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2) dà lo stesso punto di (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi), e per il passo già visto θ2+π\theta_2 + \pi è coterminale con θ1\theta_1. Poiché 2k−12k - 1 percorre tutti i dispari quando kk percorre gli interi, è ciò che afferma il lemma.

Così, il punto di coordinate polari (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right) ammette anche le rappresentazioni (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right) e (2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right), che compiono un giro in più o un giro in meno, e (−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right) o (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right), che guardano nella direzione opposta e arretrano.

Dalle coordinate cartesiane alle polari

Le formule x=rcos⁡θx = r \cos \theta e y=rsin⁡θy = r \sin \theta danno il passaggio dalle coordinate polari alle cartesiane. Il passaggio inverso richiede di scegliere una rappresentazione fra tutte quelle possibili; quella che si prende di solito è quella che ha r>0r > 0 e θ\theta nell’intervallo (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}. Per trovare l’angolo si usa la funzione arcotangente della lezione sulle funzioni trigonometriche inverse, che assume valori in (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} e, pertanto, vede solo gli angoli del primo e del quarto quadrante: negli altri due bisogna correggerla sommando o sottraendo π\pi.

TeoremaDalle coordinate cartesiane alle polari

Ogni punto (x,y)(x, y) distinto dal polo ha un’unica rappresentazione polare (r,θ)(r, \theta) con r>0r > 0 e θ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi}. Il suo raggio è r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}, e il suo angolo polare è dato dai cinque casi della formula seguente.

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

L’idea è ridurre il problema alla circonferenza goniometrica, dove il coefficiente angolare della retta passante per il polo determina due punti opposti, e il segno dell’ascissa decide fra essi.

Dimostrazione

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    Per il lemma visto sopra, r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2, e con r>0r > 0 il raggio è la radice quadrata. Dividendo per rr, l’angolo cercato è quello di un punto QQ della circonferenza goniometrica, che esiste per la proprietà di ricoprimento dell’assioma del percorso, ammesso nella lezione su angoli e la loro misura, e che in (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} è unico, perché due angoli di quell’intervallo, che ha lunghezza 2π2\pi, non possono essere coterminali.

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    Se x=0x = 0, il punto QQ è (0,1)(0, 1) o (0,−1)(0, -1) secondo il segno di yy, e per i valori notevoli del seno e del coseno l’angolo è π2\frac{\pi}{2} o −π2-\frac{\pi}{2}.

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    Se x≠0x \neq 0, la tangente di θ\theta è il coefficiente angolare m=yxm = \frac{y}{x} della retta che congiunge il polo con il punto. L’angolo α=arctan⁡m\alpha = \arctan m ha questa tangente e sta in (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, dove il coseno è positivo.

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    Sulla circonferenza goniometrica ci sono esattamente due punti con coefficiente angolare mm visti dal polo: se (u,v)(u, v) è uno di essi, v=muv = mu e u2+v2=1u^2 + v^2 = 1. Sono opposti, sicché uno ha ascissa positiva e l’altro negativa; per la simmetria dell’angolo α+π\alpha + \pi, sono i punti degli angoli α\alpha e α+π\alpha + \pi.

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    Se x>0x > 0, il punto QQ ha ascissa positiva e θ=α\theta = \alpha. Se x<0x < 0, è il punto di α+π\alpha + \pi. Quando inoltre y≥0y \geq 0, il coefficiente angolare è negativo o nullo, α∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0} e α+π\alpha + \pi sta già in (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi}; quando y<0y < 0, il coefficiente angolare è positivo e bisogna sottrarre un giro, α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi.

Per esempio, il punto (−1,1)(-1, 1) sta nel secondo quadrante: il suo raggio è 2\sqrt{2}, e poiché arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, il suo angolo polare è −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}. La calcolatrice che dà l’arcotangente di yx\frac{y}{x} senza badare separatamente ai segni di xx e di yy restituirebbe −π4-\frac{\pi}{4}, che è l’angolo del punto opposto (1,−1)(1, -1).