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Topos Uranos
Deutsch

Polarkoordinaten und Kurven in Polarkoordinaten

Zusammenfassung

Diese Lektion stellt eine zweite Art vor, die Punkte der Ebene zu benennen: durch ihren Abstand von einem festen Punkt, dem Pol, und durch den Winkel, den sie mit einer festen Halbgeraden, der Polarachse, bilden. Sie übernimmt die Konvention, die negative Radien zulässt, beschreibt alle Darstellungen eines und desselben Punktes, leitet die Umrechnungsformeln zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten her, mit der Korrektur des Arkustangens je nach Quadrant, und erhält den Abstand zweier Punkte mithilfe des Kosinussatzes. Danach untersucht sie die Polargleichungen von Geraden und Kreisen, die Symmetriekriterien und das Zeichnen mit Wertetabellen der Kardioide, der Rosenkurven, der archimedischen Spirale und der pascalschen Schnecke, und sie schließt mit der Polargleichung der Kegelschnitte, die einen Brennpunkt im Pol haben, aus der man ihren Typ, ihre Scheitel und ihr Latus rectum abliest.

Lernziele

  1. Punkte in Polarkoordinaten darstellen, alle Darstellungen eines und desselben Punktes erkennen und von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten übergehen und umgekehrt.
  2. Abstände in Polarkoordinaten berechnen und Gleichungen von Geraden und Kreisen von einem System ins andere übertragen, ohne den Pol zu verlieren oder hinzuzufügen.
  3. Die Symmetriekriterien und die Wertetabellen auf das Zeichnen von Polarkurven anwenden: Kardioiden, Rosenkurven, Spiralen und pascalsche Schnecken.
  4. Die Polargleichung der Kegelschnitte mit einem Brennpunkt im Pol herleiten und aus ihr die Exzentrizität, die Scheitel und das Latus rectum ablesen.

Polarkoordinaten

Die kartesischen Koordinaten, die in der Lektion von Kurs I über die Geradengleichung und kartesische Koordinatensysteme untersucht wurden, benennen einen Punkt durch seine vorzeichenbehafteten Abstände von zwei zueinander senkrechten Geraden. Nun lassen sich viele Kurven natürlicher durch den Abstand von einem festen Punkt und durch die Richtung beschreiben, in der man sie von ihm aus sieht: ein Kreis um seinen Mittelpunkt, eine Spirale, die sich gleichmäßig öffnet, oder die Bahn eines Planeten um die Sonne. Für sie eignet sich ein System von Polarkoordinaten, gebildet aus einem festen Punkt OO, dem Pol, und einer festen Halbgeraden, die von ihm ausgeht, der Polarachse. Damit beide Systeme nebeneinander bestehen können, legt man den Pol in den Ursprung und die Polarachse auf die positive Halbachse der Abszissen.

Es seien rr und θ\theta zwei reelle Zahlen. Der Punkt mit den Polarkoordinaten (r,θ)(r, \theta) ist der Punkt der Ebene mit den kartesischen Koordinaten

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

Ist r>0r > 0, so ist er der Punkt, der im Abstand rr vom Pol auf dem Endschenkel des Winkels θ\theta in Standardlage liegt, der in der Lektion über Winkel und ihre Messung untersucht wurde: Es ist der Punkt (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta) des Einheitskreises, der in der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse definiert wurde, mit seinen Koordinaten multipliziert mit rr. Die Zahl rr heißt Radius und der Winkel θ\theta, im Bogenmaß gemessen, Polarwinkel.

Die Definition lässt auch r=0r = 0 und r<0r < 0 zu, und darin besteht die Konvention dieser Lektion. Mit r=0r = 0 erhält man den Pol, wie auch immer θ\theta gewählt ist. Mit r<0r < 0 erhält man den Punkt im Abstand −r-r vom Pol in der Richtung, die der von θ\theta entgegengesetzt ist: Nach den Symmetrien cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta und sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta aus der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse liefern die Paare (−r,θ)(-r, \theta) und (r,θ+π)(r, \theta + \pi) denselben Punkt.

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

Viele Lehrbücher verlangen r≥0r \geq 0; negative Radien zuzulassen hat zwei Vorteile, die diese Lektion nutzen wird: Die Gerade durch den Pol mit der Richtung α\alpha wird vollständig durch die Gleichung θ=α\theta = \alpha beschrieben, und Kurven wie die Rosenkurven werden stetig durchlaufen. Der Preis ist, dass ein und derselbe Punkt mehr Darstellungen besitzt. Daraus folgt eine Regel, die man von Anfang an festhalten sollte: Ein Punkt gehört zur Kurve einer Polargleichung, wenn irgendeine seiner Darstellungen die Gleichung erfüllt, auch wenn andere sie nicht erfüllen.

LemmaDie Darstellungen eines Punktes

Es sei (r1,θ1)(r_1, \theta_1) eine Darstellung eines vom Pol verschiedenen Punktes PP. Das Paar (r2,θ2)(r_2, \theta_2) stellt genau dann ebenfalls PP dar, wenn r2=r1r_2 = r_1 und θ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi für eine ganze Zahl kk gilt oder wenn r2=−r1r_2 = -r_1 und θ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi für eine ganze Zahl kk gilt. Der Pol ist der Punkt, der durch die Paare (0,θ)(0, \theta) dargestellt wird, mit beliebigem θ\theta.

Man verwendet den trigonometrischen Pythagoras und die Charakterisierung der Winkel mit gleichem Endschenkel aus der Lektion über Winkel und ihre Messung: Zwei Winkel liefern genau dann denselben Punkt des Einheitskreises, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi unterscheiden.

Beweis

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    Der Abstand eines Punktes vom Pol hängt nicht von der gewählten Darstellung ab: Nach dem trigonometrischen Pythagoras ist x2+y2x^2 + y^2 gleich r2r^2. Daher haben zwei Darstellungen desselben Punktes r22=r12r_2^2 = r_1^2, und der Pol ist der einzige Punkt mit r=0r = 0.

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    Ist r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0, so dividieren wir die Koordinaten beider Punkte durch r1r_1: Die Punkte (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1) und (cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2) des Einheitskreises stimmen überein, und das geschieht genau dann, wenn die Winkel denselben Endschenkel haben.

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    Ist r2=−r1r_2 = -r_1, so liefert das Paar (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2) denselben Punkt wie (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi), und nach dem vorigen Schritt hat θ2+π\theta_2 + \pi denselben Endschenkel wie θ1\theta_1. Da 2k−12k - 1 alle ungeraden Zahlen durchläuft, wenn kk die ganzen Zahlen durchläuft, ist das genau die Aussage des Lemmas.

So besitzt der Punkt mit den Polarkoordinaten (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right) auch die Darstellungen (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right) und (2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right), die eine Umdrehung mehr oder eine Umdrehung weniger machen, sowie (−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right) oder (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right), die in die entgegengesetzte Richtung blicken und rückwärts gehen.

Von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten

Die Formeln x=rcos⁡θx = r \cos \theta und y=rsin⁡θy = r \sin \theta liefern den Übergang von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten. Der umgekehrte Übergang verlangt, unter allen möglichen Darstellungen eine auszuwählen; gewöhnlich nimmt man diejenige mit r>0r > 0 und θ\theta im Intervall (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}. Um den Winkel zu finden, verwendet man die Arkustangensfunktion aus der Lektion über die Arkusfunktionen, die Werte in (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} annimmt und daher nur die Winkel des ersten und des vierten Quadranten sieht: In den beiden anderen muss man sie korrigieren, indem man π\pi addiert oder subtrahiert.

SatzVon kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten

Jeder vom Pol verschiedene Punkt (x,y)(x, y) besitzt eine eindeutige Polardarstellung (r,θ)(r, \theta) mit r>0r > 0 und θ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi}. Sein Radius ist r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}, und sein Polarwinkel ist durch die fünf Fälle der folgenden Formel gegeben.

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

Die Idee besteht darin, das Problem auf den Einheitskreis zu reduzieren, wo die Steigung der Geraden durch den Pol zwei Gegenpunkte festlegt und das Vorzeichen der Abszisse zwischen ihnen entscheidet.

Beweis

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    Nach dem obigen Lemma gilt r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2, und mit r>0r > 0 ist der Radius die Quadratwurzel. Nach Division durch rr ist der gesuchte Winkel derjenige eines Punktes QQ des Einheitskreises, der nach der Eigenschaft der Überdeckung im Axiom des Durchlaufens existiert, das in der Lektion über Winkel und ihre Messung vorausgesetzt wurde, und der in (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} eindeutig ist, weil zwei Winkel dieses Intervalls, das die Länge 2π2\pi hat, nicht denselben Endschenkel haben können.

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    Ist x=0x = 0, so ist der Punkt QQ gleich (0,1)(0, 1) oder (0,−1)(0, -1), je nach dem Vorzeichen von yy, und nach den besonderen Werten von Sinus und Kosinus ist der Winkel π2\frac{\pi}{2} oder −π2-\frac{\pi}{2}.

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    Ist x≠0x \neq 0, so ist der Tangens von θ\theta die Steigung m=yxm = \frac{y}{x} der Geraden, die den Pol mit dem Punkt verbindet. Der Winkel α=arctan⁡m\alpha = \arctan m hat diesen Tangens und liegt in (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, wo der Kosinus positiv ist.

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    Auf dem Einheitskreis gibt es genau zwei Punkte mit der Steigung mm vom Pol aus: Ist (u,v)(u, v) einer von ihnen, so gilt v=muv = mu und u2+v2=1u^2 + v^2 = 1. Sie sind Gegenpunkte, sodass einer eine positive Abszisse hat und der andere eine negative; nach der Symmetrie des Winkels α+π\alpha + \pi sind es die Punkte der Winkel α\alpha und α+π\alpha + \pi.

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    Ist x>0x > 0, so hat der Punkt QQ eine positive Abszisse, und es gilt θ=α\theta = \alpha. Ist x<0x < 0, so ist es der Punkt von α+π\alpha + \pi. Ist außerdem y≥0y \geq 0, so ist die Steigung negativ oder null, es gilt α∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0}, und α+π\alpha + \pi liegt bereits in (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi}; ist y<0y < 0, so ist die Steigung positiv, und man muss eine Umdrehung abziehen, α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi.

Zum Beispiel liegt der Punkt (−1,1)(-1, 1) im zweiten Quadranten: Sein Radius ist 2\sqrt{2}, und da arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, ist sein Polarwinkel −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}. Ein Taschenrechner, der den Arkustangens von yx\frac{y}{x} liefert, ohne die Vorzeichen von xx und von yy getrennt zu beachten, würde −π4-\frac{\pi}{4} ausgeben, den Winkel des Gegenpunktes (1,−1)(1, -1).