सामग्री पर जाएँ
Topos Uranos
हिन्दी

ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय वक्र

सारांश

यह पाठ समतल के बिंदुओं को नाम देने का एक दूसरा तरीका प्रस्तुत करता है: एक स्थिर बिंदु, ध्रुव, से उनकी दूरी द्वारा और एक स्थिर किरण, ध्रुवीय अक्ष, के साथ उनके द्वारा बनाए गए कोण द्वारा। यह ऋणात्मक त्रिज्याओं को स्वीकार करने वाली परिपाटी अपनाता है, एक ही बिंदु के सभी निरूपणों का वर्णन करता है, चतुर्थांश के अनुसार प्रतिलोम स्पर्शज्या के संशोधन के साथ ध्रुवीय और कार्तीय निर्देशांकों के बीच रूपांतरण के सूत्र निगमित करता है, और कोज्या नियम द्वारा दो बिंदुओं के बीच की दूरी प्राप्त करता है। इसके बाद यह रेखाओं और वृत्तों के ध्रुवीय समीकरणों, सममिति के निकषों, और मान-सारणियों द्वारा हृदयाभ, गुलाब वक्रों, आर्किमिडीज़ सर्पिल और पास्कल के लिमासों के अनुरेखण का अध्ययन करता है, और अंत में उन शांकवों का ध्रुवीय समीकरण प्राप्त करता है जिनकी एक नाभि ध्रुव पर है, जिसमें उनका प्रकार, उनके शीर्ष और उनका नाभिलंब पढ़े जाते हैं।

अधिगम उद्देश्य

  1. ध्रुवीय निर्देशांकों में बिंदुओं को निरूपित करना, एक ही बिंदु के सभी निरूपणों को पहचानना, और ध्रुवीय निर्देशांकों से कार्तीय निर्देशांकों पर तथा विपरीत क्रम में जाना।
  2. ध्रुवीय निर्देशांकों में दूरियाँ परिकलित करना और रेखाओं तथा वृत्तों के समीकरणों को एक निकाय से दूसरे में अनूदित करना, ध्रुव को न खोते हुए और न जोड़ते हुए।
  3. ध्रुवीय वक्रों के अनुरेखण में सममिति के निकषों और मान-सारणियों का अनुप्रयोग करना: हृदयाभ, गुलाब वक्र, सर्पिल और लिमासों।
  4. उन शांकवों का ध्रुवीय समीकरण निगमित करना जिनकी एक नाभि ध्रुव पर है, और उसमें उनकी उत्केंद्रता, उनके शीर्ष और उनका नाभिलंब पढ़ना।

ध्रुवीय निर्देशांक

कार्तीय निर्देशांक, जिनका अध्ययन पाठ्यक्रम I के रेखा का समीकरण और कार्तीय निर्देशांक पद्धतियाँ वाले पाठ में किया गया, किसी बिंदु को दो परस्पर लंब रेखाओं से उसकी चिह्न-सहित दूरियों द्वारा नाम देते हैं। किंतु बहुत-से वक्रों का वर्णन किसी स्थिर बिंदु से दूरी और उस बिंदु से उन्हें देखने की दिशा द्वारा अधिक स्वाभाविक रूप से होता है: अपने केंद्र के चारों ओर एक वृत्त, स्थिर दर से खुलता हुआ एक सर्पिल, या सूर्य के चारों ओर किसी ग्रह की कक्षा। इनके लिए ध्रुवीय निर्देशांकों की एक पद्धति उपयुक्त है, जो एक स्थिर बिंदु OO, ध्रुव, और उससे निकलने वाली एक स्थिर किरण, ध्रुवीय अक्ष, से बनती है। दोनों पद्धतियाँ साथ-साथ चल सकें, इसके लिए ध्रुव को मूल बिंदु पर और ध्रुवीय अक्ष को भुज-अक्ष के धनात्मक भाग पर रखा जाता है।

मान लीजिए rr और θ\theta दो वास्तविक संख्याएँ हैं। ध्रुवीय निर्देशांकों (r,θ)(r, \theta) वाला बिंदु समतल का वह बिंदु है जिसके कार्तीय निर्देशांक ये हैं

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

यदि r>0r > 0, तो यह वह बिंदु है जो ध्रुव से rr दूरी पर, मानक स्थिति में स्थित कोण θ\theta की अंतिम भुजा पर है (मानक स्थिति का अध्ययन कोण और उनकी माप वाले पाठ में किया गया): यह मात्रक वृत्त के बिंदु (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta) (जिसे त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ में परिभाषित किया गया) के निर्देशांकों को rr से गुणा करने पर प्राप्त बिंदु है। संख्या rr को ध्रुवीय त्रिज्या और रेडियन में मापे गए कोण θ\theta को ध्रुवीय कोण कहते हैं।

परिभाषा r=0r = 0 और r<0r < 0 को भी स्वीकार करती है, और यही इस पाठ की परिपाटी है। r=0r = 0 होने पर, θ\theta कुछ भी हो, ध्रुव प्राप्त होता है। r<0r < 0 होने पर ध्रुव से −r-r दूरी पर, θ\theta की दिशा के विपरीत दिशा में स्थित बिंदु प्राप्त होता है: त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ की सममितियों cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta और sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta से, युग्म (−r,θ)(-r, \theta) और (r,θ+π)(r, \theta + \pi) एक ही बिंदु देते हैं।

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

बहुत-सी पुस्तकें r≥0r \geq 0 की माँग करती हैं; ऋणात्मक त्रिज्याओं को स्वीकार करने के दो लाभ हैं, जिनका यह पाठ उपयोग करेगा: ध्रुव से होकर जाने वाली और दिशा α\alpha वाली रेखा का पूरा वर्णन समीकरण θ=α\theta = \alpha से हो जाता है, और गुलाब वक्र जैसे वक्र निरंतर रूप से अनुरेखित होते हैं। इसकी कीमत यह है कि एक ही बिंदु के अधिक निरूपण होते हैं। इससे एक नियम निकलता है जिसे अभी से तय कर लेना उचित है: कोई बिंदु किसी ध्रुवीय समीकरण के वक्र पर है यदि उसका कोई एक निरूपण समीकरण को संतुष्ट करता है, भले ही दूसरे निरूपण उसे संतुष्ट न करें।

उपप्रमेयकिसी बिंदु के निरूपण

मान लीजिए (r1,θ1)(r_1, \theta_1) ध्रुव से अलग किसी बिंदु PP का एक निरूपण है। युग्म (r2,θ2)(r_2, \theta_2) भी PP को निरूपित करता है यदि और केवल यदि r2=r1r_2 = r_1 और θ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi हों (किसी पूर्णांक kk के लिए), अथवा r2=−r1r_2 = -r_1 और θ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi हों (किसी पूर्णांक kk के लिए)। ध्रुव वह बिंदु है जिसे युग्म (0,θ)(0, \theta) निरूपित करते हैं, जहाँ θ\theta कुछ भी हो।

पाइथागोरस सर्वसमिका और कोण और उनकी माप वाले पाठ के सहांत कोणों के अभिलक्षण का उपयोग किया जाता है: दो कोण मात्रक वृत्त का एक ही बिंदु ठीक तब देते हैं जब उनका अंतर 2π2\pi का पूर्णांक गुणज हो।

प्रमाण

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    किसी बिंदु की ध्रुव से दूरी चुने गए निरूपण पर निर्भर नहीं करती: पाइथागोरस सर्वसमिका से x2+y2x^2 + y^2 का मान r2r^2 है। अतः एक ही बिंदु के दो निरूपणों में r22=r12r_2^2 = r_1^2 होता है, और ध्रुव ही एकमात्र बिंदु है जिसके लिए r=0r = 0।

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    यदि r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0, तो हम दोनों बिंदुओं के निर्देशांकों को r1r_1 से भाग देते हैं: मात्रक वृत्त के बिंदु (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1) और (cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2) संपाती होते हैं, और ऐसा ठीक तब होता है जब कोण सहांत हों।

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    यदि r2=−r1r_2 = -r_1, तो युग्म (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2) वही बिंदु देता है जो (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi), और ऊपर के विवेचन से θ2+π\theta_2 + \pi, θ1\theta_1 के साथ सहांत है। चूँकि 2k−12k - 1 सभी विषम संख्याओं पर चलता है जब kk सभी पूर्णांकों पर चलता है, यही प्रमेयिका का कथन है।

इस प्रकार ध्रुवीय निर्देशांकों (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right) वाले बिंदु के निरूपण (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right) और (2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right) भी हैं, जो एक चक्कर अधिक या एक चक्कर कम लगाते हैं, और (−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right) या (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right) भी, जो विपरीत दिशा में देखते हैं और पीछे हटते हैं।

कार्तीय से ध्रुवीय निर्देशांकों तक

सूत्र x=rcos⁡θx = r \cos \theta और y=rsin⁡θy = r \sin \theta ध्रुवीय निर्देशांकों से कार्तीय निर्देशांकों पर जाने का तरीका देते हैं। उलटी दिशा में जाने के लिए सभी संभव निरूपणों में से एक चुनना पड़ता है; सामान्यतः वह लिया जाता है जिसमें r>0r > 0 हो और θ\theta अंतराल (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} में हो। कोण ज्ञात करने के लिए प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वाले पाठ के प्रतिलोम स्पर्शज्या फलन का उपयोग होता है, जो (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} में मान लेता है और इसलिए केवल पहले और चौथे चतुर्थांश के कोण देखता है: अन्य दो में π\pi जोड़कर या घटाकर इसे संशोधित करना पड़ता है।

प्रमेयकार्तीय से ध्रुवीय निर्देशांकों तक

ध्रुव से अलग प्रत्येक बिंदु (x,y)(x, y) का एक अद्वितीय ध्रुवीय निरूपण (r,θ)(r, \theta) है जिसमें r>0r > 0 और θ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi}। इसकी त्रिज्या r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2} है, और इसका ध्रुवीय कोण नीचे दिए गए सूत्र की पाँच स्थितियों से प्राप्त होता है।

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

विचार यह है कि समस्या को मात्रक वृत्त पर ले आया जाए, जहाँ ध्रुव से होकर जाने वाली रेखा की प्रवणता दो विपरीत बिंदु निर्धारित करती है, और भुज का चिह्न उनमें से एक को चुनता है।

प्रमाण

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    ऊपर की प्रमेयिका से r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2, और r>0r > 0 होने से त्रिज्या वर्गमूल है। rr से भाग देने पर, अभीष्ट कोण मात्रक वृत्त के एक बिंदु QQ का कोण है, जिसका अस्तित्व कोण और उनकी माप वाले पाठ में स्वीकार किए गए चाप-लंबाई के अनुसार गमन के अभिगृहीत के आवरण गुण से है, और जो (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} में अद्वितीय है, क्योंकि उस अंतराल के, जिसकी लंबाई 2π2\pi है, दो कोण सहांत नहीं हो सकते।

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    यदि x=0x = 0, तो बिंदु QQ, (0,1)(0, 1) या (0,−1)(0, -1) है (yy के चिह्न के अनुसार), और ज्या तथा कोज्या के विशिष्ट मानों से कोण π2\frac{\pi}{2} या −π2-\frac{\pi}{2} है।

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    यदि x≠0x \neq 0, तो θ\theta की स्पर्शज्या ध्रुव को बिंदु से मिलाने वाली रेखा की प्रवणता m=yxm = \frac{y}{x} है। कोण α=arctan⁡m\alpha = \arctan m की यही स्पर्शज्या है और वह (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} में है, जहाँ कोज्या धनात्मक है।

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    मात्रक वृत्त पर ध्रुव से प्रवणता mm वाले ठीक दो बिंदु हैं: यदि (u,v)(u, v) उनमें से एक है, तो v=muv = mu और u2+v2=1u^2 + v^2 = 1। वे विपरीत हैं, अतः एक का भुज धनात्मक है और दूसरे का ऋणात्मक; कोण α+π\alpha + \pi की सममिति से, वे कोणों α\alpha और α+π\alpha + \pi के बिंदु हैं।

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    यदि x>0x > 0, तो बिंदु QQ का भुज धनात्मक है और θ=α\theta = \alpha। यदि x<0x < 0, तो यह α+π\alpha + \pi का बिंदु है। जब इसके अतिरिक्त y≥0y \geq 0, तो प्रवणता ऋणात्मक या शून्य है, α∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0} और α+π\alpha + \pi पहले से (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi} में है; जब y<0y < 0, तो प्रवणता धनात्मक है और एक चक्कर घटाना पड़ता है, α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi।

उदाहरण के लिए, बिंदु (−1,1)(-1, 1) दूसरे चतुर्थांश में है: इसकी त्रिज्या 2\sqrt{2} है, और चूँकि arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, इसका ध्रुवीय कोण −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} है। जो कैलकुलेटर yx\frac{y}{x} की प्रतिलोम स्पर्शज्या xx और yy के चिह्नों पर अलग-अलग ध्यान दिए बिना देता है, वह −π4-\frac{\pi}{4} लौटाएगा, जो विपरीत बिंदु (1,−1)(1, -1) का कोण है।