Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Πολικές συντεταγμένες και πολικές καμπύλες

Περίληψη

Το μάθημα αυτό παρουσιάζει έναν δεύτερο τρόπο να ονομάζουμε τα σημεία του επιπέδου: με την απόστασή τους από ένα σταθερό σημείο, τον πόλο, και με τη γωνία που σχηματίζουν με μια σταθερή ημιευθεία, τον πολικό άξονα. Υιοθετεί τη σύμβαση που δέχεται αρνητικές ακτίνες, περιγράφει όλες τις αναπαραστάσεις ενός σημείου, συνάγει τους τύπους μετάβασης ανάμεσα στις πολικές και στις καρτεσιανές συντεταγμένες, με τη διόρθωση της τοξεφαπτομένης ανάλογα με το τεταρτημόριο, και βρίσκει την απόσταση δύο σημείων με τον νόμο των συνημιτόνων. Μελετά έπειτα τις πολικές εξισώσεις ευθειών και κύκλων, τα κριτήρια συμμετρίας και τη χάραξη, με πίνακες τιμών, της καρδιοειδούς, των καμπυλών ρόδου, της σπείρας του Αρχιμήδη και του κοχλία του Πασκάλ, και κλείνει με την πολική εξίσωση των κωνικών που έχουν μια εστία στον πόλο, από την οποία διαβάζονται το είδος τους, οι κορυφές τους και η ορθή εστιακή χορδή τους.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αναπαριστά σημεία σε πολικές συντεταγμένες, να αναγνωρίζει όλες τις αναπαραστάσεις ενός σημείου και να μεταβαίνει από τις πολικές συντεταγμένες στις καρτεσιανές και αντίστροφα.
  2. Να υπολογίζει αποστάσεις σε πολικές συντεταγμένες και να μεταφέρει εξισώσεις ευθειών και κύκλων από το ένα σύστημα στο άλλο, χωρίς να χάνει ή να προσθέτει τον πόλο.
  3. Να εφαρμόζει τα κριτήρια συμμετρίας και τους πίνακες τιμών στη χάραξη πολικών καμπυλών: καρδιοειδών, καμπυλών ρόδου, σπειρών και κοχλιών.
  4. Να συνάγει την πολική εξίσωση των κωνικών με μια εστία στον πόλο και να διαβάζει σε αυτήν την εκκεντρότητα, τις κορυφές και την ορθή εστιακή χορδή τους.

Οι πολικές συντεταγμένες

Οι καρτεσιανές συντεταγμένες, που μελετήθηκαν στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την εξίσωση της ευθείας και τα καρτεσιανά συστήματα, ονομάζουν ένα σημείο με τις προσημασμένες αποστάσεις του από δύο κάθετες ευθείες. Ωστόσο, πολλές καμπύλες περιγράφονται πιο φυσικά με την απόσταση από ένα σταθερό σημείο και με την κατεύθυνση στην οποία φαίνονται από αυτό: ένας κύκλος γύρω από το κέντρο του, μια σπείρα που ανοίγει με σταθερό ρυθμό ή η τροχιά ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο. Για αυτές είναι κατάλληλο ένα σύστημα πολικών συντεταγμένων, που αποτελείται από ένα σταθερό σημείο OO, τον πόλο, και μια σταθερή ημιευθεία που ξεκινά από αυτό, τον πολικό άξονα. Για να συνυπάρχουν τα δύο συστήματα, ο πόλος τοποθετείται στην αρχή των αξόνων και ο πολικός άξονας πάνω στον θετικό ημιάξονα των τετμημένων.

Έστω rr και θ\theta δύο πραγματικοί αριθμοί. Το σημείο με πολικές συντεταγμένες (r,θ)(r, \theta) είναι το σημείο του επιπέδου με καρτεσιανές συντεταγμένες

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

Αν r>0r > 0, είναι το σημείο που βρίσκεται σε απόσταση rr από τον πόλο πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας θ\theta σε κανονική θέση, που μελετήθηκε στο μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους: είναι το σημείο (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta) του μοναδιαίου κύκλου, που ορίστηκε στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, με τις συντεταγμένες του πολλαπλασιασμένες επί rr. Ο αριθμός rr λέγεται πολική ακτίνα και η γωνία θ\theta, μετρημένη σε ακτίνια, πολική γωνία.

Ο ορισμός δέχεται επίσης r=0r = 0 και r<0r < 0, και σε αυτό συνίσταται η σύμβαση αυτού του μαθήματος. Με r=0r = 0 προκύπτει ο πόλος, όποια κι αν είναι η θ\theta. Με r<0r < 0 προκύπτει το σημείο που βρίσκεται σε απόσταση −r-r από τον πόλο στην κατεύθυνση την αντίθετη από εκείνη της θ\theta: από τις συμμετρίες cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta και sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta του μαθήματος για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, τα ζεύγη (−r,θ)(-r, \theta) και (r,θ+π)(r, \theta + \pi) δίνουν το ίδιο σημείο.

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

Πολλά βιβλία απαιτούν r≥0r \geq 0· η αποδοχή αρνητικών ακτίνων έχει δύο πλεονεκτήματα που θα αξιοποιήσει αυτό το μάθημα: η ευθεία που διέρχεται από τον πόλο με κατεύθυνση α\alpha περιγράφεται ολόκληρη από την εξίσωση θ=α\theta = \alpha, και καμπύλες όπως οι καμπύλες ρόδου διαγράφονται με συνεχή τρόπο. Το τίμημα είναι ότι ένα σημείο δέχεται περισσότερες αναπαραστάσεις. Από αυτό προκύπτει ένας κανόνας που αξίζει να τεθεί από τώρα: ένα σημείο ανήκει στην καμπύλη μιας πολικής εξίσωσης αν κάποια από τις αναπαραστάσεις του ικανοποιεί την εξίσωση, ακόμη κι αν άλλες δεν την ικανοποιούν.

ΛήμμαΟι αναπαραστάσεις ενός σημείου

Έστω (r1,θ1)(r_1, \theta_1) μια αναπαράσταση ενός σημείου PP διαφορετικού από τον πόλο. Το ζεύγος (r2,θ2)(r_2, \theta_2) αναπαριστά επίσης το PP αν και μόνο αν r2=r1r_2 = r_1 και θ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi για κάποιον ακέραιο kk, ή r2=−r1r_2 = -r_1 και θ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi για κάποιον ακέραιο kk. Ο πόλος είναι το σημείο που αναπαριστάται από τα ζεύγη (0,θ)(0, \theta), με οποιαδήποτε θ\theta.

Χρησιμοποιούνται η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα και ο χαρακτηρισμός των γωνιών με κοινή τελική πλευρά από το μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους: δύο γωνίες δίνουν το ίδιο σημείο του μοναδιαίου κύκλου ακριβώς όταν διαφέρουν κατά ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi.

Απόδειξη

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    Η απόσταση ενός σημείου από τον πόλο δεν εξαρτάται από την αναπαράσταση που επιλέγεται: από τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, το x2+y2x^2 + y^2 ισούται με r2r^2. Άρα δύο αναπαραστάσεις του ίδιου σημείου έχουν r22=r12r_2^2 = r_1^2, και ο πόλος είναι το μόνο σημείο με r=0r = 0.

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    Αν r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0, διαιρούμε τις συντεταγμένες των δύο σημείων με r1r_1: τα σημεία (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1) και (cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2) του μοναδιαίου κύκλου συμπίπτουν, και αυτό συμβαίνει ακριβώς όταν οι γωνίες έχουν κοινή τελική πλευρά.

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    Αν r2=−r1r_2 = -r_1, το ζεύγος (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2) δίνει το ίδιο σημείο με το (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi), και από το προηγηθέν βήμα η θ2+π\theta_2 + \pi έχει κοινή τελική πλευρά με την θ1\theta_1. Επειδή ο 2k−12k - 1 διατρέχει όλους τους περιττούς όταν ο kk διατρέχει τους ακεραίους, αυτό είναι ό,τι ισχυρίζεται το λήμμα.

Έτσι, το σημείο με πολικές συντεταγμένες (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right) δέχεται επίσης τις αναπαραστάσεις (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right) και (2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right), που κάνουν μία στροφή περισσότερη ή μία λιγότερη, και (−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right) ή (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right), που κοιτούν προς την αντίθετη κατεύθυνση και πηγαίνουν προς τα πίσω.

Από τις καρτεσιανές συντεταγμένες στις πολικές

Οι τύποι x=rcos⁡θx = r \cos \theta και y=rsin⁡θy = r \sin \theta δίνουν τη μετάβαση από τις πολικές συντεταγμένες στις καρτεσιανές. Η αντίστροφη μετάβαση απαιτεί να επιλεγεί μία αναπαράσταση ανάμεσα σε όλες τις δυνατές· αυτή που λαμβάνεται συνήθως είναι εκείνη που έχει r>0r > 0 και θ\theta στο διάστημα (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}. Για να βρεθεί η γωνία χρησιμοποιείται η συνάρτηση τοξεφαπτομένη από το μάθημα για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η οποία παίρνει τιμές στο (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} και, συνεπώς, βλέπει μόνο τις γωνίες του πρώτου και του τέταρτου τεταρτημορίου: στα άλλα δύο πρέπει να διορθωθεί με πρόσθεση ή αφαίρεση του π\pi.

ΘεώρημαΑπό τις καρτεσιανές συντεταγμένες στις πολικές

Κάθε σημείο (x,y)(x, y) διαφορετικό από τον πόλο έχει μία μοναδική πολική αναπαράσταση (r,θ)(r, \theta) με r>0r > 0 και θ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi}. Η πολική ακτίνα του είναι r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}, και η πολική γωνία του δίνεται από τις πέντε περιπτώσεις του τύπου που ακολουθεί.

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

Η ιδέα είναι να αναχθεί το πρόβλημα στον μοναδιαίο κύκλο, όπου η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τον πόλο καθορίζει δύο αντιδιαμετρικά σημεία, και το πρόσημο της τετμημένης αποφασίζει ανάμεσά τους.

Απόδειξη

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    Από το λήμμα που προηγείται, r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2, και με r>0r > 0 η πολική ακτίνα είναι η τετραγωνική ρίζα. Διαιρώντας με rr, η ζητούμενη γωνία είναι η γωνία ενός σημείου QQ του μοναδιαίου κύκλου, που υπάρχει από την ιδιότητα της κάλυψης του αξιώματος της διαδρομής κατά μήκος τόξου, που έγινε δεκτό στο μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους, και που στο (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} είναι μοναδική, επειδή δύο γωνίες αυτού του διαστήματος, που έχει μήκος 2π2\pi, δεν μπορούν να έχουν κοινή τελική πλευρά.

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    Αν x=0x = 0, το σημείο QQ είναι το (0,1)(0, 1) ή το (0,−1)(0, -1) ανάλογα με το πρόσημο του yy, και από τις χαρακτηριστικές τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου η γωνία είναι π2\frac{\pi}{2} ή −π2-\frac{\pi}{2}.

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    Αν x≠0x \neq 0, η εφαπτομένη της θ\theta είναι η κλίση m=yxm = \frac{y}{x} της ευθείας που ενώνει τον πόλο με το σημείο. Η γωνία α=arctan⁡m\alpha = \arctan m έχει αυτήν την εφαπτομένη και βρίσκεται στο (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, όπου το συνημίτονο είναι θετικό.

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    Στον μοναδιαίο κύκλο υπάρχουν ακριβώς δύο σημεία με κλίση mm από τον πόλο: αν το (u,v)(u, v) είναι ένα από αυτά, v=muv = mu και u2+v2=1u^2 + v^2 = 1. Είναι αντιδιαμετρικά, ώστε το ένα έχει θετική τετμημένη και το άλλο αρνητική· από τη συμμετρία της γωνίας α+π\alpha + \pi, είναι τα σημεία των γωνιών α\alpha και α+π\alpha + \pi.

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    Αν x>0x > 0, το σημείο QQ έχει θετική τετμημένη και θ=α\theta = \alpha. Αν x<0x < 0, είναι το σημείο της α+π\alpha + \pi. Όταν επιπλέον y≥0y \geq 0, η κλίση είναι αρνητική ή μηδενική, α∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0} και η α+π\alpha + \pi βρίσκεται ήδη στο (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi}· όταν y<0y < 0, η κλίση είναι θετική και πρέπει να αφαιρεθεί μία στροφή, α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi.

Για παράδειγμα, το σημείο (−1,1)(-1, 1) βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο: η πολική ακτίνα του είναι 2\sqrt{2}, και επειδή arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, η πολική γωνία του είναι −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}. Ο υπολογιστής τσέπης που δίνει την τοξεφαπτομένη του yx\frac{y}{x} χωρίς να λαμβάνει υπόψη χωριστά τα πρόσημα του xx και του yy θα επέστρεφε −π4-\frac{\pi}{4}, που είναι η γωνία του αντιδιαμετρικού σημείου (1,−1)(1, -1).