انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية

ملخص

يقدّم هذا الدرس طريقة ثانية لتسمية نقاط المستوى: ببعدها عن نقطة ثابتة، هي القطب، وبالزاوية التي تصنعها مع نصف مستقيم ثابت، هو المحور القطبي. ويعتمد الاصطلاح الذي يقبل أنصاف أقطار سالبة، ويصف كل تمثيلات النقطة الواحدة، ويستنتج صيغ الانتقال بين الإحداثيات القطبية والديكارتية، مع تصحيح قوس الظل بحسب الربع، ويحسب المسافة بين نقطتين بقانون جيوب التمام. ثم يدرس المعادلات القطبية للمستقيمات والدوائر، ومعايير التناظر، والرسم بجداول القيم للمنحنى القلبي والمنحنيات الوردية ولولب أرخميدس وحلزون باسكال، ويختم بالمعادلة القطبية للقطوع المخروطية التي لها بؤرة في القطب، والتي يُقرأ منها نوعها ورؤوسها ووترها البؤري العمودي.

أهداف التعلم

  1. تمثيل النقاط بالإحداثيات القطبية، والتعرّف على كل تمثيلات النقطة الواحدة، والانتقال من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية وبالعكس.
  2. حساب المسافات بالإحداثيات القطبية، ونقل معادلات المستقيمات والدوائر من أحد النظامين إلى الآخر، دون فقدان القطب أو إضافته.
  3. تطبيق معايير التناظر وجداول القيم على رسم المنحنيات القطبية: المنحنيات القلبية والوردية واللوالب والحلازين.
  4. استنتاج المعادلة القطبية للقطوع المخروطية التي لها بؤرة في القطب، وقراءة اختلافها المركزي ورؤوسها ووترها البؤري العمودي منها.

الإحداثيات القطبية

الإحداثيات الديكارتية، المدروسة في الدرس الخاص بـمعادلة المستقيم وأنظمة الإحداثيات الديكارتية من دورة الجبر والهندسة 1، تسمّي النقطة بمسافتيها ذواتي الإشارة عن مستقيمين متعامدين. غير أن كثيرًا من المنحنيات يوصف على نحو أطبع بالمسافة عن نقطة ثابتة وبالاتجاه الذي تُرى فيه منها: دائرة حول مركزها، أو لولب ينفتح بإيقاع ثابت، أو مدار كوكب حول الشمس. ولهذه المنحنيات يناسب نظام إحداثيات قطبية، مؤلّف من نقطة ثابتة OO، هي القطب، ومن نصف مستقيم ثابت ينطلق منها، هو المحور القطبي. ولكي يتعايش النظامان، يوضع القطب في نقطة الأصل والمحور القطبي على نصف محور الفواصل الموجب.

ليكن rr وθ\theta عددين حقيقيين. النقطة ذات الإحداثيات القطبية (r,θ)(r, \theta) هي نقطة المستوى ذات الإحداثيات الديكارتية

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

إذا كان r>0r > 0، فهي النقطة الواقعة على مسافة rr من القطب على الضلع النهائي للزاوية θ\theta في الوضع القياسي، المدروس في الدرس الخاص بـالزوايا وقياسها: إنها النقطة (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta) من دائرة الوحدة، المعرّفة في الدرس الخاص بـالنسب المثلثية، مضروبةً إحداثياتها في rr. ويسمّى العدد rr نصف القطر القطبي، والزاوية θ\theta، مقيسةً بالراديان، الزاوية القطبية.

ويقبل التعريف أيضًا r=0r = 0 وr<0r < 0، وفي ذلك يتمثّل اصطلاح هذا الدرس. فمع r=0r = 0 نحصل على القطب، أيًّا كانت θ\theta. ومع r<0r < 0 نحصل على النقطة الواقعة على مسافة −r-r من القطب في الاتجاه المعاكس لاتجاه θ\theta: فبالتناظرين cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta وsin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta من الدرس الخاص بالنسب المثلثية، يعطي الزوجان (−r,θ)(-r, \theta) و(r,θ+π)(r, \theta + \pi) النقطة نفسها.

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

تشترط كتب كثيرة r≥0r \geq 0؛ ولقبول أنصاف الأقطار السالبة ميزتان سيستفيد منهما هذا الدرس: المستقيم المارّ بالقطب في الاتجاه α\alpha يوصف كاملًا بالمعادلة θ=α\theta = \alpha، ومنحنيات كالمنحنيات الوردية تُرسم على نحو متّصل. والثمن أن النقطة الواحدة تقبل تمثيلات أكثر. ومن ذلك تنتج قاعدة يحسن تثبيتها من الآن: تنتمي النقطة إلى منحنى معادلة قطبية إذا حقّق المعادلةَ أحدُ تمثيلاتها، وإن لم تحقّقها تمثيلات أخرى.

توطئةتمثيلات النقطة

ليكن (r1,θ1)(r_1, \theta_1) تمثيلًا لنقطة PP مختلفة عن القطب. يمثّل الزوج (r2,θ2)(r_2, \theta_2) أيضًا النقطة PP إذا وفقط إذا كان r2=r1r_2 = r_1 وθ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi لعدد صحيح ما kk، أو كان r2=−r1r_2 = -r_1 وθ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi لعدد صحيح ما kk. والقطب هو النقطة التي تمثّلها الأزواج (0,θ)(0, \theta)، مع θ\theta أيًّا كانت.

تُستعمل المتطابقة الفيثاغورية وتوصيف الزوايا المشتركة في الضلع النهائي من الدرس الخاص بالزوايا وقياسها: تعطي زاويتان النقطة نفسها من دائرة الوحدة بالضبط عندما تختلفان بمضاعف صحيح لـ2π2\pi.

البرهان

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    لا تتعلّق مسافة النقطة عن القطب بالتمثيل المختار: فبالمتطابقة الفيثاغورية، تساوي x2+y2x^2 + y^2 القيمة r2r^2. لذلك يكون لتمثيلين للنقطة نفسها r22=r12r_2^2 = r_1^2، والقطب هو النقطة الوحيدة التي فيها r=0r = 0.

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    إذا كان r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0، نقسم إحداثيات النقطتين على r1r_1: فالنقطتان (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1) و(cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2) من دائرة الوحدة متطابقتان، وهذا يحدث بالضبط عندما تشترك الزاويتان في الضلع النهائي.

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    إذا كان r2=−r1r_2 = -r_1، يعطي الزوج (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2) النقطة نفسها التي يعطيها (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi)، وبحسب ما ثبت أعلاه تشترك θ2+π\theta_2 + \pi في الضلع النهائي مع θ1\theta_1. وبما أن 2k−12k - 1 يمرّ بكل الأعداد الفردية عندما يمرّ kk بالأعداد الصحيحة، فهذا ما تقرّره التوطئة.

وهكذا تقبل النقطة ذات الإحداثيات القطبية (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right) أيضًا التمثيلين (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right) و(2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right)، اللذين يدوران دورة زائدة أو دورة ناقصة، و(−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right) أو (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right)، اللذين يتّجهان في الاتجاه المعاكس ويرجعان إلى الوراء.

من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية

تعطي الصيغتان x=rcos⁡θx = r \cos \theta وy=rsin⁡θy = r \sin \theta الانتقال من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية. أما الانتقال العكسي فيقتضي اختيار تمثيل واحد من بين كل التمثيلات الممكنة؛ والمعتاد أن يؤخذ التمثيل الذي فيه r>0r > 0 وθ\theta في الفترة (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}. ولإيجاد الزاوية تُستعمل دالة قوس الظل من الدرس الخاص بـالدوال المثلثية العكسية، التي تأخذ قيمها في (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}، ومن ثمّ لا ترى إلا زوايا الربعين الأول والرابع: وفي الربعين الآخرين يجب تصحيحها بإضافة π\pi أو طرحه.

مبرهنةمن الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية

لكل نقطة (x,y)(x, y) مختلفة عن القطب تمثيل قطبي وحيد (r,θ)(r, \theta) فيه r>0r > 0 وθ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi}. نصف قطرها القطبي r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}، وزاويتها القطبية تعطيها الحالات الخمس للصيغة الآتية.

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

الفكرة هي ردّ المسألة إلى دائرة الوحدة، حيث يعيّن ميل المستقيم المارّ بالقطب نقطتين متقابلتين قطريًّا، وتحسم إشارة الفاصلة بينهما.

البرهان

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    بحسب التوطئة المتقدّمة، r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2، ومع r>0r > 0 يكون نصف القطر القطبي هو الجذر التربيعي. وبالقسمة على rr، تكون الزاوية المطلوبة زاوية نقطة QQ من دائرة الوحدة، موجودة بخاصية التغطية من مسلّمة السير على الدائرة بطول القوس، المقبولة في الدرس الخاص بـالزوايا وقياسها، ووحيدة في (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}، لأن زاويتين من هذه الفترة، التي طولها 2π2\pi، لا يمكن أن تشتركا في الضلع النهائي.

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    إذا كان x=0x = 0، فالنقطة QQ هي (0,1)(0, 1) أو (0,−1)(0, -1) بحسب إشارة yy، وبالقيم الخاصة للجيب وجيب التمام تكون الزاوية π2\frac{\pi}{2} أو −π2-\frac{\pi}{2}.

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    إذا كان x≠0x \neq 0، فظلّ θ\theta هو الميل m=yxm = \frac{y}{x} للمستقيم الواصل بين القطب والنقطة. والزاوية α=arctan⁡m\alpha = \arctan m لها هذا الظل وتقع في (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}، حيث جيب التمام موجب.

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    على دائرة الوحدة نقطتان بالضبط ميلهما من القطب mm: إذا كانت (u,v)(u, v) إحداهما، فإن v=muv = mu وu2+v2=1u^2 + v^2 = 1. وهما متقابلتان قطريًّا، بحيث تكون فاصلة إحداهما موجبة وفاصلة الأخرى سالبة؛ وبتناظر الزاوية α+π\alpha + \pi، هما نقطتا الزاويتين α\alpha وα+π\alpha + \pi.

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    إذا كان x>0x > 0، فللنقطة QQ فاصلة موجبة وθ=α\theta = \alpha. وإذا كان x<0x < 0، فهي نقطة α+π\alpha + \pi. وعندما يكون فضلًا عن ذلك y≥0y \geq 0، يكون الميل سالبًا أو منعدمًا، وα∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0}، وα+π\alpha + \pi تقع أصلًا في (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi}؛ وعندما يكون y<0y < 0، يكون الميل موجبًا ويجب طرح دورة، α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi.

مثلًا، تقع النقطة (−1,1)(-1, 1) في الربع الثاني: نصف قطرها القطبي 2\sqrt{2}، وبما أن arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}، فزاويتها القطبية −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}. والآلة الحاسبة التي تعطي قوس ظل yx\frac{y}{x} دون مراعاة إشارتي xx وyy كلٍّ على حدة كانت ستعيد −π4-\frac{\pi}{4}، وهي زاوية النقطة المقابلة (1,−1)(1, -1).