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Topos Uranos
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Coordonnées polaires et courbes polaires

Résumé

Cette leçon présente une seconde manière de nommer les points du plan : par leur distance à un point fixe, le pôle, et par l’angle qu’ils forment avec une demi-droite fixe, l’axe polaire. Elle adopte la convention qui admet des rayons négatifs, décrit toutes les représentations d’un même point, établit les formules de passage entre coordonnées polaires et cartésiennes, avec la correction de l’arc tangente selon le quadrant, et obtient la distance entre deux points au moyen de la loi des cosinus. Elle étudie ensuite les équations polaires des droites et des cercles, les critères de symétrie et le tracé par tableaux de valeurs de la cardioïde, des rosaces, de la spirale d’Archimède et du limaçon, et termine par l’équation polaire des coniques dont un foyer est au pôle, dans laquelle on lit leur type, leurs sommets et leur latus rectum.

Objectifs d’apprentissage

  1. Représenter des points en coordonnées polaires, reconnaître toutes les représentations d’un même point et passer des coordonnées polaires aux cartésiennes et réciproquement.
  2. Calculer des distances en coordonnées polaires et traduire des équations de droites et de cercles d’un système dans l’autre, sans perdre ni ajouter le pôle.
  3. Appliquer les critères de symétrie et les tableaux de valeurs au tracé des courbes polaires : cardioïdes, rosaces, spirales et limaçons.
  4. Établir l’équation polaire des coniques dont un foyer est au pôle et y lire leur excentricité, leurs sommets et leur latus rectum.

Les coordonnées polaires

Les coordonnées cartésiennes, étudiées dans la leçon du cours I sur l’équation de la droite et les repères cartésiens, nomment un point par ses distances algébriques à deux droites perpendiculaires. Or beaucoup de courbes se décrivent plus naturellement par la distance à un point fixe et par la direction dans laquelle on les voit depuis ce point : un cercle autour de son centre, une spirale qui s’ouvre à rythme constant ou l’orbite d’une planète autour du Soleil. Pour elles, il convient d’utiliser un système de coordonnées polaires, formé d’un point fixe OO, le pôle, et d’une demi-droite fixe issue de ce point, l’axe polaire. Pour que les deux systèmes coexistent, on place le pôle à l’origine et l’axe polaire sur le demi-axe positif des abscisses.

Soient rr et θ\theta deux nombres réels. Le point de coordonnées polaires (r,θ)(r, \theta) est le point du plan de coordonnées cartésiennes

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

Si r>0r > 0, c’est le point situé à la distance rr du pôle sur le côté final de l’angle θ\theta en position standard, étudié dans la leçon sur les angles et leur mesure : c’est le point (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta) du cercle trigonométrique, défini dans la leçon sur les rapports trigonométriques, dont les coordonnées sont multipliées par rr. Le nombre rr s’appelle le rayon et l’angle θ\theta, mesuré en radians, l’angle polaire.

La définition admet aussi r=0r = 0 et r<0r < 0, et c’est en cela que consiste la convention de cette leçon. Avec r=0r = 0, on obtient le pôle, quel que soit θ\theta. Avec r<0r < 0, on obtient le point situé à la distance −r-r du pôle dans la direction opposée à celle de θ\theta : par les symétries cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta et sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta de la leçon sur les rapports trigonométriques, les couples (−r,θ)(-r, \theta) et (r,θ+π)(r, \theta + \pi) donnent le même point.

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

Beaucoup de manuels exigent r≥0r \geq 0 ; admettre des rayons négatifs présente deux avantages dont cette leçon tirera parti : la droite qui passe par le pôle avec la direction α\alpha est décrite tout entière par l’équation θ=α\theta = \alpha, et des courbes comme les rosaces sont parcourues de manière continue. Le prix à payer est qu’un même point admet davantage de représentations. Il en découle une règle qu’il convient de fixer dès maintenant : un point appartient à la courbe d’une équation polaire si l’une de ses représentations vérifie l’équation, même si d’autres ne la vérifient pas.

LemmeLes représentations d’un point

Soit (r1,θ1)(r_1, \theta_1) une représentation d’un point PP distinct du pôle. Le couple (r2,θ2)(r_2, \theta_2) représente aussi PP si et seulement si r2=r1r_2 = r_1 et θ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi pour un certain entier kk, ou bien r2=−r1r_2 = -r_1 et θ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi pour un certain entier kk. Le pôle est le point représenté par les couples (0,θ)(0, \theta), avec θ\theta quelconque.

On utilise l’identité pythagoricienne et la caractérisation des angles coterminaux de la leçon sur les angles et leur mesure : deux angles donnent le même point du cercle trigonométrique exactement lorsqu’ils diffèrent d’un multiple entier de 2π2\pi.

Démonstration

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    La distance d’un point au pôle ne dépend pas de la représentation choisie : par l’identité pythagoricienne, x2+y2x^2 + y^2 vaut r2r^2. Par conséquent, deux représentations d’un même point ont r22=r12r_2^2 = r_1^2, et le pôle est le seul point tel que r=0r = 0.

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    Si r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0, on divise les coordonnées des deux points par r1r_1 : les points (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1) et (cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2) du cercle trigonométrique coïncident, et cela arrive exactement lorsque les angles sont coterminaux.

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    Si r2=−r1r_2 = -r_1, le couple (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2) donne le même point que (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi), et d’après l’étape qui précède θ2+π\theta_2 + \pi est coterminal avec θ1\theta_1. Comme 2k−12k - 1 parcourt tous les impairs lorsque kk parcourt les entiers, c’est ce qu’affirme le lemme.

Ainsi, le point de coordonnées polaires (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right) admet aussi les représentations (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right) et (2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right), qui font un tour de plus ou un tour de moins, et (−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right) ou (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right), qui regardent dans la direction opposée et reculent.

Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires

Les formules x=rcos⁡θx = r \cos \theta et y=rsin⁡θy = r \sin \theta donnent le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes. Le passage en sens contraire exige de choisir une représentation parmi toutes celles qui sont possibles ; celle que l’on prend d’ordinaire est celle qui a r>0r > 0 et θ\theta dans l’intervalle (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}. Pour trouver l’angle, on utilise la fonction arc tangente de la leçon sur les fonctions trigonométriques réciproques, qui prend ses valeurs dans (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} et, par conséquent, ne voit que les angles des premier et quatrième quadrants : dans les deux autres, il faut la corriger en ajoutant ou en retranchant π\pi.

ThéorèmeDes coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires

Tout point (x,y)(x, y) distinct du pôle possède une unique représentation polaire (r,θ)(r, \theta) avec r>0r > 0 et θ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi}. Son rayon est r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}, et son angle polaire est donné par les cinq cas de la formule ci-dessous.

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

L’idée est de ramener le problème au cercle trigonométrique, où la pente de la droite qui passe par le pôle détermine deux points opposés, et où le signe de l’abscisse permet de choisir entre eux.

Démonstration

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    D’après le lemme ci-dessus, r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2, et avec r>0r > 0 le rayon est la racine carrée. En divisant par rr, l’angle cherché est celui d’un point QQ du cercle trigonométrique, qui existe par la propriété de recouvrement de l’axiome du parcours, admis dans la leçon sur les angles et leur mesure, et qui est unique dans (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, car deux angles de cet intervalle, qui est de longueur 2π2\pi, ne peuvent pas être coterminaux.

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    Si x=0x = 0, le point QQ est (0,1)(0, 1) ou (0,−1)(0, -1) selon le signe de yy, et par les valeurs remarquables du sinus et du cosinus l’angle est π2\frac{\pi}{2} ou −π2-\frac{\pi}{2}.

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    Si x≠0x \neq 0, la tangente de θ\theta est la pente m=yxm = \frac{y}{x} de la droite qui joint le pôle au point. L’angle α=arctan⁡m\alpha = \arctan m a cette tangente et appartient à (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, où le cosinus est strictement positif.

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    Sur le cercle trigonométrique, il y a exactement deux points de pente mm vus depuis le pôle : si (u,v)(u, v) est l’un d’eux, v=muv = mu et u2+v2=1u^2 + v^2 = 1. Ils sont opposés, de sorte que l’un a une abscisse strictement positive et l’autre une abscisse strictement négative ; par la symétrie de l’angle α+π\alpha + \pi, ce sont les points des angles α\alpha et α+π\alpha + \pi.

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    Si x>0x > 0, le point QQ a une abscisse strictement positive et θ=α\theta = \alpha. Si x<0x < 0, c’est le point de α+π\alpha + \pi. Lorsque de plus y≥0y \geq 0, la pente est négative ou nulle, α∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0} et α+π\alpha + \pi est déjà dans (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi} ; lorsque y<0y < 0, la pente est strictement positive et il faut retrancher un tour, α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi.

Par exemple, le point (−1,1)(-1, 1) est dans le deuxième quadrant : son rayon est 2\sqrt{2}, et comme arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, son angle polaire est −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}. Une calculatrice qui donne l’arc tangente de yx\frac{y}{x} sans tenir compte séparément des signes de xx et de yy renverrait −π4-\frac{\pi}{4}, qui est l’angle du point opposé (1,−1)(1, -1).