Trigonométrie et coordonnées polaires : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité sur les fonctions trigonométriques et les coordonnées polaires. Elle réunit en une seule chaîne déductive ce qui a été démontré dans ses six leçons : la mesure des angles par la longueur de l’arc, la définition du sinus et du cosinus sur le cercle trigonométrique et ses conséquences, l’étude de ces fonctions et de leurs réciproques, la résolution de tous les triangles et les coordonnées polaires avec leurs courbes. Elle explique comment cette chaîne s’appuie sur le cours Algèbre et géométrie I, de la division euclidienne aux coniques et aux vecteurs, et comment elle prépare la trigonométrie analytique de l’unité qui vient ensuite. Elle reprend dans une évaluation de sortie les compétences de l’évaluation d’entrée de l’introduction, ajoute deux questions sur les raisons des résultats, et se termine par dix défis, d’une difficulté supérieure à celle des problèmes des leçons, qui en combinent plusieurs et exigent chaque fois une idée propre.

Objectifs d’apprentissage

Reconstituer la chaîne des définitions et des théorèmes de l’unité, du radian à l’équation polaire des coniques, en identifiant de quel résultat dépend chacun d’eux.
Relier les résultats de l’unité à ceux du cours I et aux problèmes que la trigonométrie analytique laisse ouverts.
Résoudre des problèmes qui combinent la mesure des arcs, les symétries et les courbes des fonctions trigonométriques, leurs réciproques, la résolution des triangles et les coordonnées polaires.

L’acquis de l’unité

Des angles aux fonctions

L’unité part d’un petit nombre de faits admis, qu’il convient d’énumérer avec exactitude. Les deux premiers exigent le calcul infinitésimal : les faits sur les longueurs et les aires (tout arc a une longueur et toute région limitée par des segments et des arcs a une aire ; les deux sont additives, ne changent pas quand on déplace les figures et croissent avec elles ; les arcs interceptés par un même angle au centre sont proportionnels aux rayons, et le disque de rayon $r$ a pour aire $\pi r^2$ ), et l’axiome du parcours par longueur d’arc : pour chaque nombre réel $s$ il existe un unique point $P(s)$ du cercle trigonométrique auquel on arrive en le parcourant depuis $(1, 0)$ sur une longueur $\abs{s}$ , dans le sens qu’indique le signe de $s$ ; ce parcours admet la concaténation (avancer de $t$ depuis $P(s)$ mène à $P(s + t)$ ), il a pour période $2\pi$ , il atteint tous les points et, au premier demi-tour, qui se termine en $P(\pi) = (-1, 0)$ , il parcourt le demi-cercle supérieur avec une abscisse strictement décroissante. Les autres proviennent de la géométrie élémentaire, que le cours ne développe pas : la somme $\pi$ des angles d’un triangle, l’égalité des angles à la base d’un triangle isocèle, la somme d’angles adjacents et la position du centre d’un cercle par rapport à un angle inscrit, les cas de similitude, le théorème de Pythagore, la conservation des longueurs par les symétries axiales, qui inversent le sens de rotation, et par la rotation d’un demi-tour, qui le conserve, et la comparaison des angles sous lesquels on voit une corde depuis des points intérieurs et extérieurs au disque. Avec eux on admet aussi la valeur de $\pi$ , dont le développement décimal commence par 3,14159, de sorte que $3 < \pi < 4$ , ainsi que son irrationalité. Deux autres faits, qui exigent eux aussi le calcul infinitésimal, sont admis dans la leçon sur les fonctions trigonométriques et leurs courbes, et seuls quelques problèmes les utilisent, jamais les théorèmes de la chaîne : la continuité des fonctions trigonométriques et de leurs réciproques, grâce à laquelle on leur applique le théorème des valeurs intermédiaires, qui n’est pas admis de nouveau mais cité du cours I, et la stricte concavité du sinus sur chaque intervalle $\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}$ ; et le dernier problème résolu de la leçon sur les rapports trigonométriques admet, pour la même raison, que les aires des polygones réguliers inscrits s’approchent de celle du disque autant qu’on le veut. Sur cette base, la leçon sur les angles et leur mesure a défini le nombre $\pi$ comme la moitié de la longueur du cercle trigonométrique et la mesure en radians comme la longueur, avec signe, de l’arc parcouru ; en prenant le symétrique du premier demi-tour par rapport à l’axe des $x$ , elle a démontré qu’au second le parcours passe par le demi-cercle inférieur avec une abscisse strictement croissante ; de cette même base ont découlé la conversion entre degrés et radians, les formules $s = r\theta$ et $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ , le théorème de l’angle inscrit, qui mesure la moitié de l’arc qu’il intercepte, et le théorème de réduction au premier tour, selon lequel tout nombre réel s’écrit d’une seule manière sous la forme $\theta_0 + 2k\pi$ avec $\theta_0$ dans $\ico{0}{2\pi}$ . Comme l’axiome implique qu’un tour ne passe pas deux fois par le même point, deux nombres déterminent le même point $P(\theta)$ exactement lorsqu’ils diffèrent d’un multiple entier de $2\pi$ .

La leçon sur les rapports trigonométriques et le cercle trigonométrique a donné deux définitions du sinus, du cosinus et de la tangente : comme quotients entre les côtés d’un triangle rectangle, que la similitude rend indépendants du triangle, et comme coordonnées de $P(\theta)$ , valables pour tout nombre réel ; elle a démontré qu’elles coïncident pour les angles aigus. De la seconde définition on a déduit l’identité pythagoricienne $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , les valeurs remarquables de $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{\pi}{3}$ , et les symétries du cercle, qui donnent la parité, la périodicité et les relations avec les angles supplémentaires et complémentaires. Il en découle la méthode de l’angle de référence, qui ramène le calcul des rapports d’un angle quelconque à celui d’un angle aigu.

Dans la leçon sur les fonctions trigonométriques et leurs courbes, ces rapports sont devenus des fonctions d’une variable réelle. Le lemme des périodes, démontré avec la propriété d’Archimède, et la localisation des maxima ont prouvé que $2\pi$ est la plus petite période du sinus et du cosinus, et celle des zéros, que $\pi$ est celle de la tangente ; les courbes ont été construites en déroulant le cercle, et la comparaison des aires de deux triangles et d’un secteur a donné l’inégalité $\sin x < x < \tan x$ pour $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , dont découlent la majoration $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ et les asymptotes verticales de la tangente. Les sinusoïdes $a \sin(b(x - c)) + d$ , obtenues à partir du sinus par les transformations de l’unité du cours I sur les fonctions algébriques, modélisent tout phénomène périodique de forme simple.

L’inversion et la mesure des triangles

Or une fonction périodique n’est pas injective. La leçon sur les fonctions trigonométriques réciproques a lu dans l’axiome du parcours que le cosinus est strictement décroissant sur $\icc{0}{\pi}$ , parce que c’est la clause du demi-tour écrite en coordonnées ; de là et de la symétrie des angles complémentaires, elle a démontré que le sinus est strictement croissant sur $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ , et des deux, que la tangente est croissante sur $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; elle a défini sur ces intervalles l’arc sinus, l’arc cosinus et l’arc tangente, et a distingué l’égalité $\sin(\arcsin x) = x$ , toujours vraie, de $\arcsin(\sin x) = x$ , vraie seulement sur l’intervalle principal. Avec les symétries, les réciproques ont résolu les équations élémentaires sur un tour complet.

Dès lors tout était prêt pour la leçon sur la résolution des triangles. Quand on place un sommet à l’origine, le sommet opposé à un côté a pour coordonnées $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ ; de là découlent, dans cet ordre, l’aire $\frac{1}{2} bc \sin A$ , la loi des sinus et, avec le théorème de l’angle inscrit, sa relation avec le rayon du cercle circonscrit, la loi des cosinus, qui étend le théorème de Pythagore, et la formule de Héron. Comme le cosinus détermine un angle d’un triangle et que le sinus ne le détermine pas, le cas de deux côtés et de l’angle opposé à l’un d’eux admet zéro, une ou deux solutions, et le théorème du cas ambigu les compte au moyen des racines d’une équation du second degré. Enfin, la loi des cosinus et le développement du carré de la norme d’une différence ont donné la mesure de l’angle de deux vecteurs au moyen du produit scalaire.

Un second système de coordonnées

La leçon sur les coordonnées polaires a renversé le point de vue : au lieu de calculer les coordonnées cartésiennes d’un point à partir de sa distance à l’origine et de son angle, elle a désigné le point par ces deux nombres. En admettant des rayons négatifs, elle a décrit toutes les représentations d’un point, démontré les formules de passage, avec l’arc tangente corrigé selon le quadrant, et obtenu à partir de la loi des cosinus la distance entre deux points en coordonnées polaires. Les critères de symétrie et les tableaux de valeurs ont permis de tracer des cardioïdes, des rosaces, des spirales et des limaçons, et le théorème du foyer et de la directrice s’est transformé en l’équation $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ , où se lisent le type, les sommets et le latus rectum de chaque conique.

La figure ci-dessous réunit les trois tronçons en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui et par un trait en pointillés au maillon où il est établi, sauf ceux qui proviennent du cours I ou sont admis sans démonstration, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

AParcours par longueur d’arc. Pour chaque nombre réel $s$ il existe un unique point $P(s)$ du cercle trigonométrique auquel on arrive en le parcourant depuis $(1, 0)$ sur une longueur $\abs{s}$ , dans le sens inverse des aiguilles d’une montre si $s > 0$ et dans le sens des aiguilles d’une montre si $s < 0$ . Avancer depuis $P(s)$ d’une longueur $t$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre mène à $P(s + t)$ , et dans le sens des aiguilles d’une montre, à $P(s - t)$ ; on a $P(s + 2\pi) = P(s)$ ; tout point du cercle est $P(s)$ pour un certain $s$ ; $P(\pi) = (-1, 0)$ , et l’abscisse de $P(s)$ décroît strictement, avec une ordonnée positive ou nulle, quand $s$ croît de $0$ à $\pi$ . On l’admet sans démonstration, parce qu’il repose sur la longueur d’arc et sur la propriété des valeurs intermédiaires ; le second demi-tour se déduit du premier par les symétries axiales. Admis sans démonstration dans cette unité.
BLongueurs et aires. Tout arc a une longueur et toute région limitée par des segments et des arcs a une aire ; les figures isométriques ont la même mesure, les mesures sont additives, l’aire d’une région qui en contient une autre n’est pas plus petite, et elle est strictement plus grande si la différence contient un disque ; les arcs interceptés par un même angle au centre sont proportionnels aux rayons, et le disque de rayon $r$ a pour aire $\pi r^2$ . On l’admet sans démonstration, parce que les longueurs et les aires courbes se définissent au moyen de limites. Admis sans démonstration dans cette unité.
CSymétries axiales et rotations. Une symétrie par rapport à une droite conserve les distances et les longueurs des arcs, et inverse le sens de rotation ; la rotation d’un demi-tour autour de l’origine les conserve et conserve le sens. On l’admet de la géométrie élémentaire. Admis sans démonstration dans cette unité.
DGéométrie élémentaire. Les trois angles d’un triangle ont pour somme $\pi$ ; les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux ; une demi-droite qui passe par l’intérieur d’un angle le divise en deux angles dont la somme est l’angle donné ; si le centre est à l’intérieur d’un angle inscrit, le diamètre issu du sommet le divise en deux et coupe l’arc intercepté, et s’il est à l’extérieur, l’un des côtés se trouve entre ce diamètre et l’autre côté ; les cas de similitude des triangles et le théorème de Pythagore ; et un point extérieur au disque voit une corde sous un angle strictement plus petit que l’angle inscrit du même côté, et un point intérieur, sous un angle strictement plus grand. On les admet de la géométrie élémentaire. Admis sans démonstration dans cette unité.
EPropriété d’Archimède. Étant donné deux réels strictement positifs $p$ et $q$ , un certain multiple entier naturel de $q$ dépasse $p$ ; il en découle la densité des rationnels et l’existence du plus petit entier strictement supérieur à un réel donné. Démontrée dans le cours I, dans l’unité sur les ensembles de nombres. Admis sans démonstration dans cette unité.
FFonctions et polynômes. Une fonction strictement monotone est injective, la courbe de sa réciproque est le reflet de la sienne par rapport à la droite $y = x$ , les transformations translatent et dilatent les courbes, et les tableaux de signes et les relations de Viète gouvernent les signes des quotients et les racines des polynômes. Démontré dans le cours I, dans l’unité sur les fonctions algébriques et les polynômes. Admis sans démonstration dans cette unité.
GGéométrie analytique. La formule de la distance, l’équation du cercle, la pente d’une droite, les vecteurs avec le produit scalaire et la caractérisation des coniques par le foyer et la directrice. Démontré dans le cours I, dans l’unité sur la géométrie analytique du plan. Admis sans démonstration dans cette unité.
HSymétries. Le sinus est impair et le cosinus pair ; $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ , $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ , $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ , $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ et $\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ , et tous deux sont périodiques de période $2\pi$ . Établi dans: 10. Symétries et périodicité.

Tronçon 1 Des angles aux fonctions
- Mesurer les angles par la longueur de l’arc qu’ils parcourent, relier l’angle inscrit à l’arc qu’il intercepte et ramener tout nombre réel au premier tour.
- Définir le sinus et le cosinus sur le cercle trigonométrique et démontrer qu’ils concordent avec les rapports du triangle rectangle.
- Déduire l’identité pythagoricienne, les valeurs remarquables et les symétries, et avec elles la méthode de l’angle de référence.
- Étudier le sinus, le cosinus et la tangente comme fonctions : leurs plus petites périodes, leurs courbes, l’inégalité $\sin x < x < \tan x$ et les sinusoïdes.
1. Mesure en radians. Avec $\pi$ égal à la moitié de la longueur du cercle trigonométrique, la mesure en radians d’un angle orienté est la longueur, avec signe, de l’arc qu’il parcourt ; tout nombre réel est la mesure d’un angle, et un angle de $g$ degrés mesure $\frac{\pi g}{180}$ radians.
  Repose sur: A (Parcours par longueur d’arc), B (Longueurs et aires). Démontré dans: Les angles et leur mesure : degrés et radians.
2. Arc et secteur. Dans un cercle de rayon $r$ , un angle au centre de $\theta$ radians, avec $0 < \theta \leq 2\pi$ , intercepte un arc de longueur $s = r\theta$ et un secteur d’aire $\frac{1}{2} r^2 \theta$ .
  Utilise: 1. Mesure en radians. Repose sur: B (Longueurs et aires), E (Propriété d’Archimède). Démontré dans: Les angles et leur mesure : degrés et radians.
3. Angle inscrit. Un angle inscrit dans un cercle de rayon $r$ qui intercepte un arc de longueur $s$ mesure $\frac{s}{2r}$ ; par conséquent, les angles inscrits sur une même corde sont égaux ou supplémentaires selon que leurs sommets sont sur le même arc ou sur des arcs distincts, et l’angle inscrit dans un demi-cercle est droit.
  Utilise: 2. Arc et secteur. Repose sur: B (Longueurs et aires), D (Géométrie élémentaire). Démontré dans: Les angles et leur mesure : degrés et radians.
4. Réduction au premier tour. Tout nombre réel $\theta$ s’écrit d’une seule manière sous la forme $\theta_0 + 2k\pi$ , avec $k$ entier et $\theta_0$ dans $\ico{0}{2\pi}$ ; comme un tour ne répète pas de points, deux angles sont coterminaux si et seulement si leur différence est un multiple entier de $2\pi$ .
  Utilise: 1. Mesure en radians. Repose sur: A (Parcours par longueur d’arc), E (Propriété d’Archimède), C (Symétries axiales et rotations). Démontré dans: Les angles et leur mesure : degrés et radians.
5. Rapports d’un angle aigu. Dans les triangles rectangles qui ont un angle aigu $\alpha$ , les quotients entre les côtés ne dépendent que de $\alpha$ , et le sinus et le cosinus de $\alpha$ sont strictement compris entre $0$ et $1$ .
  Repose sur: D (Géométrie élémentaire). Démontré dans: Rapports trigonométriques et cercle trigonométrique.
6. Sinus et cosinus d’un nombre réel. Pour tout nombre réel $\theta$ , le cosinus et le sinus de $\theta$ sont l’abscisse et l’ordonnée du point $P(\theta)$ du cercle trigonométrique, et la tangente est leur quotient $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ quand le cosinus ne s’annule pas ; leurs signes dans chaque quadrant se déduisent de la propriété du demi-tour et de son symétrique, le second demi-tour, et ceux d’un angle quelconque sont ceux de sa réduction au premier tour.
  Utilise: 1. Mesure en radians, 4. Réduction au premier tour. Repose sur: A (Parcours par longueur d’arc), C (Symétries axiales et rotations). Démontré dans: Rapports trigonométriques et cercle trigonométrique.
7. Concordance des définitions. Si $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ , le sinus, le cosinus et la tangente définis sur le cercle trigonométrique coïncident avec ceux qui sont définis dans un triangle rectangle ayant un angle aigu de mesure $\theta$ .
  Utilise: 5. Rapports d’un angle aigu, 6. Sinus et cosinus d’un nombre réel. Repose sur: A (Parcours par longueur d’arc), C (Symétries axiales et rotations), G (Géométrie analytique). Démontré dans: Rapports trigonométriques et cercle trigonométrique.
8. Identité pythagoricienne. Pour tout nombre réel $\theta$ on a $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , et il en découle $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ quand $\cos \theta \neq 0$ .
  Utilise: 6. Sinus et cosinus d’un nombre réel. Repose sur: G (Géométrie analytique). Démontré dans: Rapports trigonométriques et cercle trigonométrique.
9. Valeurs remarquables. Le sinus et le cosinus de $\frac{\pi}{4}$ valent $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; le sinus de $\frac{\pi}{6}$ et le cosinus de $\frac{\pi}{3}$ valent $\frac{1}{2}$ , et le cosinus de $\frac{\pi}{6}$ et le sinus de $\frac{\pi}{3}$ valent $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
  Utilise: 1. Mesure en radians, 6. Sinus et cosinus d’un nombre réel. Repose sur: G (Géométrie analytique), D (Géométrie élémentaire), C (Symétries axiales et rotations). Démontré dans: Rapports trigonométriques et cercle trigonométrique.
10. Symétries et périodicité. Le sinus est impair et le cosinus pair ; un angle et son supplémentaire ont le même sinus et des cosinus opposés, $\theta$ et $\pi + \theta$ ont des sinus et des cosinus opposés, le sinus d’un angle est le cosinus de son complémentaire, et tous deux sont périodiques de période $2\pi$ ; par conséquent, le sinus et le cosinus d’un angle sont, au signe de son quadrant près, ceux de son angle de référence.
  Utilise: 4. Réduction au premier tour, 6. Sinus et cosinus d’un nombre réel. Repose sur: A (Parcours par longueur d’arc), C (Symétries axiales et rotations), F (Fonctions et polynômes). Démontré dans: Rapports trigonométriques et cercle trigonométrique.
11. Propriétés du sinus et du cosinus. Le sinus et le cosinus ont pour ensemble image $\icc{-1}{1}$ ; le sinus s’annule exactement aux nombres $k\pi$ et vaut $1$ exactement aux nombres $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ , et le cosinus vaut $1$ exactement aux nombres $2k\pi$ , avec $k$ entier.
  Utilise: 4. Réduction au premier tour, 6. Sinus et cosinus d’un nombre réel, 8. Identité pythagoricienne. Repose sur: A (Parcours par longueur d’arc), H (Symétries). Démontré dans: Les fonctions trigonométriques et leurs courbes.
12. Plus petite période. Si $q$ est la plus petite période d’une fonction, ses périodes sont exactement les nombres $kq$ , avec $k$ entier naturel ; et $2\pi$ est la plus petite période du sinus et du cosinus.
  Utilise: 11. Propriétés du sinus et du cosinus. Repose sur: E (Propriété d’Archimède). Démontré dans: Les fonctions trigonométriques et leurs courbes.
13. Sinus, arc et tangente. Si $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , on a $\sin x < x < \tan x$ ; il en découle que $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ pour tout nombre réel $x$ , avec égalité seulement en $x = 0$ .
  Utilise: 2. Arc et secteur, 6. Sinus et cosinus d’un nombre réel, 11. Propriétés du sinus et du cosinus. Repose sur: B (Longueurs et aires), G (Géométrie analytique), H (Symétries). Démontré dans: Les fonctions trigonométriques et leurs courbes.
14. Propriétés de la tangente. La tangente est impaire, a pour plus petite période $\pi$ , s’annule exactement aux nombres $k\pi$ , son ensemble image est $\mathbb{R}$ , et les droites $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ sont des asymptotes verticales de sa courbe.
  Utilise: 8. Identité pythagoricienne, 11. Propriétés du sinus et du cosinus, 13. Sinus, arc et tangente. Repose sur: A (Parcours par longueur d’arc), F (Fonctions et polynômes), H (Symétries). Démontré dans: Les fonctions trigonométriques et leurs courbes.
15. Sinusoïdes. La sinusoïde $y = a \sin(b(x - c)) + d$ , avec $a > 0$ et $b > 0$ , s’obtient à partir du sinus par des transformations ; son ensemble image est $\icc{d - a}{d + a}$ et sa plus petite période est $\frac{2\pi}{b}$ .
  Utilise: 11. Propriétés du sinus et du cosinus, 12. Plus petite période. Repose sur: F (Fonctions et polynômes). Démontré dans: Les fonctions trigonométriques et leurs courbes.
Tronçon 2 L’inversion et la mesure des triangles
- Déduire de l’axiome du parcours la stricte monotonie du cosinus et du sinus, et de là celle de la tangente, sur leurs intervalles principaux, et définir leurs fonctions réciproques.
- Distinguer l’égalité $\sin(\arcsin x) = x$ , toujours vraie, de $\arcsin(\sin x) = x$ , et résoudre les équations élémentaires sur un tour complet.
- Déduire des coordonnées d’un sommet l’aire du triangle, la loi des sinus, la loi des cosinus et la formule de Héron.
- Compter les solutions du cas ambigu et mesurer l’angle de deux vecteurs avec le produit scalaire.
1. Monotonie et restrictions bijectives. Par la propriété du demi-tour de l’axiome du parcours, le cosinus est strictement décroissant sur $\icc{0}{\pi}$ ; de là et des symétries, le sinus est strictement croissant sur $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ et la tangente sur $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; restreints à ces intervalles, ce sont des bijections sur $\icc{-1}{1}$ , $\icc{-1}{1}$ et $\mathbb{R}$ .
  Utilise: 4. Réduction au premier tour, 6. Sinus et cosinus d’un nombre réel, 14. Propriétés de la tangente. Repose sur: A (Parcours par longueur d’arc), F (Fonctions et polynômes), H (Symétries). Démontré dans: Les fonctions trigonométriques réciproques.
2. Fonctions réciproques. L’arc sinus, l’arc cosinus et l’arc tangente, réciproques de ces restrictions, vérifient $\sin(\arcsin x) = x$ sur $\icc{-1}{1}$ , alors que $\arcsin(\sin x) = x$ seulement sur $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; de plus, $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ et $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ .
  Utilise: 8. Identité pythagoricienne, 16. Monotonie et restrictions bijectives. Repose sur: F (Fonctions et polynômes), H (Symétries). Démontré dans: Les fonctions trigonométriques réciproques.
3. Équations élémentaires. Si $-1 < c < 1$ et $\alpha = \arcsin c$ , l’équation $\sin x = c$ a dans $\ico{0}{2\pi}$ exactement deux solutions, $\pi - \alpha$ et, selon le signe de $\alpha$ , $\alpha$ lui-même ou $2\pi + \alpha$ ; l’équation $\cos x = c$ y a les solutions $\arccos c$ et $2\pi - \arccos c$ .
  Utilise: 16. Monotonie et restrictions bijectives, 17. Fonctions réciproques. Repose sur: H (Symétries). Démontré dans: Les fonctions trigonométriques réciproques.
4. Aire du triangle. Avec le sommet $A$ à l’origine et le sommet $B$ sur le demi-axe positif des abscisses, le sommet $C$ a pour coordonnées $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ , et l’aire du triangle est $\frac{1}{2} bc \sin A$ .
  Utilise: 6. Sinus et cosinus d’un nombre réel. Repose sur: G (Géométrie analytique), H (Symétries). Démontré dans: Résolution des triangles : lois des sinus et des cosinus.
5. Loi des sinus. Les côtés d’un triangle sont proportionnels aux sinus des angles opposés, et le quotient commun $\frac{a}{\sin A}$ est le diamètre $2R$ du cercle circonscrit.
  Utilise: 7. Concordance des définitions, 3. Angle inscrit, 19. Aire du triangle. Repose sur: D (Géométrie élémentaire), H (Symétries). Démontré dans: Résolution des triangles : lois des sinus et des cosinus.
6. Loi des cosinus. Dans tout triangle on a $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ , qui se réduit au théorème de Pythagore quand l’angle $A$ est droit.
  Utilise: 8. Identité pythagoricienne, 19. Aire du triangle. Repose sur: G (Géométrie analytique). Démontré dans: Résolution des triangles : lois des sinus et des cosinus.
7. Formule de Héron. L’aire d’un triangle de côtés $a$ , $b$ et $c$ et de demi-périmètre $s$ est $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ .
  Utilise: 8. Identité pythagoricienne, 19. Aire du triangle, 21. Loi des cosinus. Repose sur: F (Fonctions et polynômes). Démontré dans: Résolution des triangles : lois des sinus et des cosinus.
8. Cas ambigu. Étant donné un angle $A$ , le côté adjacent $c$ et le côté opposé $a$ , les triangles possibles correspondent aux racines strictement positives de $b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0$ , et il y en a zéro, un ou deux selon la façon dont $a$ se compare à $c \sin A$ et à $c$ .
  Utilise: 6. Sinus et cosinus d’un nombre réel, 8. Identité pythagoricienne, 21. Loi des cosinus. Repose sur: F (Fonctions et polynômes). Démontré dans: Résolution des triangles : lois des sinus et des cosinus.
9. Angle de deux vecteurs. Si $\theta$ est l’angle des vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , on a $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ .
  Utilise: 21. Loi des cosinus. Repose sur: G (Géométrie analytique). Démontré dans: Résolution des triangles : lois des sinus et des cosinus.
Tronçon 3 Un second système de coordonnées
- Décrire toutes les représentations polaires d’un point, en admettant des rayons négatifs.
- Passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires avec l’arc tangente corrigé selon le quadrant.
- Calculer des distances en coordonnées polaires et tracer des courbes polaires avec les critères de symétrie.
- Écrire les coniques dont un foyer est au pôle et lire dans leur équation le type, les sommets et le latus rectum.
1. Représentations d’un point. Les couples $(r_1, \theta_1)$ et $(r_2, \theta_2)$ représentent le même point distinct du pôle si et seulement si $r_2 = r_1$ et $\theta_2 - \theta_1$ est un multiple pair de $\pi$ , ou bien $r_2 = -r_1$ et $\theta_2 - \theta_1$ est un multiple impair de $\pi$ .
  Utilise: 4. Réduction au premier tour, 6. Sinus et cosinus d’un nombre réel, 8. Identité pythagoricienne. Repose sur: H (Symétries). Démontré dans: Coordonnées polaires et courbes polaires.
2. Des coordonnées cartésiennes aux polaires. Tout point $(x, y)$ distinct du pôle a une unique représentation avec $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ et $\theta$ dans $\ioc{-\pi}{\pi}$ ; si $x \neq 0$ , son angle est $\arctan \frac{y}{x}$ , auquel on ajoute ou duquel on retranche $\pi$ quand $x < 0$ .
  Utilise: 25. Représentations d’un point, 17. Fonctions réciproques. Repose sur: A (Parcours par longueur d’arc), G (Géométrie analytique), H (Symétries). Démontré dans: Coordonnées polaires et courbes polaires.
3. Distance en coordonnées polaires. La distance $d$ entre les points $(r_1, \theta_1)$ et $(r_2, \theta_2)$ vérifie $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$ , quels que soient les signes des rayons.
  Utilise: 4. Réduction au premier tour, 21. Loi des cosinus, 25. Représentations d’un point. Repose sur: H (Symétries). Démontré dans: Coordonnées polaires et courbes polaires.
4. Critères de symétrie. Si l’équation d’une courbe polaire devient une équation équivalente quand on remplace $\theta$ par $-\theta$ , $\theta$ par $\pi - \theta$ ou $r$ par $-r$ , la courbe est symétrique, respectivement, par rapport à l’axe polaire, à la droite $\theta = \frac{\pi}{2}$ ou au pôle.
  Utilise: 6. Sinus et cosinus d’un nombre réel. Repose sur: H (Symétries). Démontré dans: Coordonnées polaires et courbes polaires.
5. Équation polaire des coniques. Si $e > 0$ et $d > 0$ , les points dont la distance au pôle est $e$ fois leur distance à la droite $x = d$ forment la courbe de $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ .
  Utilise: 25. Représentations d’un point. Repose sur: G (Géométrie analytique), H (Symétries). Démontré dans: Coordonnées polaires et courbes polaires.
6. Éléments de la conique polaire. Dans la conique $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ , l’axe polaire est l’axe focal, un sommet est à la distance $\frac{ed}{1 + e}$ du pôle et le latus rectum mesure $2ed$ ; si $e < 1$ , le demi-grand axe est $\frac{ed}{1 - e^2}$ .
  Utilise: 28. Critères de symétrie, 29. Équation polaire des coniques. Repose sur: G (Géométrie analytique). Démontré dans: Coordonnées polaires et courbes polaires.

Vers la trigonométrie analytique. La chaîne s’arrête devant le sinus et le cosinus d’une somme d’angles : les symétries ne les donnent que lorsque l’un des termes de la somme est un multiple de $\frac{\pi}{2}$ . L’unité qui vient ensuite déduit les formules d’addition, et avec elles démontre des identités, résout en général les équations trigonométriques et classe les équations du second degré au moyen de la rotation des axes.

L’unité dans le cours

L’unité, la première du cours II, repose sur le cours I en des points précis. La réduction au premier tour est la division euclidienne de la leçon du cours I sur la divisibilité, transportée aux nombres réels avec la propriété d’Archimède de la leçon du cours I sur le développement décimal des nombres rationnels, et l’aire du secteur a été étendue à tous les angles avec la densité des rationnels de la leçon du cours I sur la droite réelle. Les réciproques ont appliqué les théorèmes de la fonction réciproque et des transformations de la leçon du cours I sur les opérations sur les fonctions, et les asymptotes ont été étudiées avec les tableaux de signes. Le cercle trigonométrique, les pentes, les vecteurs, le produit scalaire et les coniques proviennent de l’unité du cours I sur la géométrie analytique du plan, dont la leçon sur les coniques a donné le théorème du foyer et de la directrice. Et la leçon du cours I sur les fonctions hyperboliques a anticipé l’analogie que cette unité achève : le sinus et le cosinus décrivent le cercle $x^2 + y^2 = 1$ comme le sinus et le cosinus hyperboliques décrivent l’hyperbole $x^2 - y^2 = 1$ .

Il reste cependant une question sans solution, qui traverse toute l’unité : comment calcule-t-on le sinus et le cosinus d’une somme d’angles à partir de ceux de chaque terme ? Les symétries ne la résolvent que lorsque l’un des termes est un multiple de $\frac{\pi}{2}$ ; les valeurs en $\frac{\pi}{12}$ ou en $\frac{\pi}{10}$ exigent des constructions géométriques particulières ; et le produit de deux nombres complexes sous forme polaire, annoncé dans la leçon sur les coordonnées polaires, en dépend. L’unité qui vient ensuite, qui commence par l’introduction à la trigonométrie analytique, résout cette question avec les formules d’addition, et avec elles démontre des identités, résout en général les équations trigonométriques et classe les équations du second degré au moyen de la rotation des axes.