Тригонометрические функции и полярные координаты: итоги и задачи

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел о тригонометрических функциях и полярных координатах. Он собирает в одну дедуктивную цепь то, что доказано в шести его уроках: измерение углов длиной дуги, определение синуса и косинуса на единичной окружности и его следствия, изучение этих функций и обратных к ним, решение всех треугольников и полярные координаты с их кривыми. Он объясняет, как эта цепь опирается на курс «Алгебра и геометрия I», от деления с остатком до конических сечений и векторов, и как она готовит аналитическую тригонометрию очередного раздела. В итоговой проверке он повторяет умения входной проверки из введения, добавляет два вопроса о причинах результатов и завершается десятью задачами повышенной трудности, более трудными, чем задачи уроков, которые сочетают несколько уроков и в каждом случае требуют собственной идеи.

Цели обучения

Восстановить цепь определений и теорем раздела, от радиана до полярного уравнения конических сечений, указывая, от какого результата зависит каждый из них.
Связать результаты раздела с результатами курса I и с задачами, которые аналитическая тригонометрия оставляет открытыми.
Решать задачи, сочетающие измерение дуг, симметрии и графики тригонометрических функций, обратные к ним функции, решение треугольников и полярные координаты.

Чего достиг раздел

От углов к функциям

Раздел исходит из немногих принимаемых фактов, которые стоит перечислить точно. Первые два требуют математического анализа: факты о длинах и площадях (всякая дуга имеет длину, а всякая область, ограниченная отрезками и дугами, имеет площадь; обе величины аддитивны, не меняются при перемещении фигур и растут вместе с ними; дуги, на которые опирается один и тот же центральный угол, пропорциональны радиусам, а круг радиуса $r$ имеет площадь $\pi r^2$ ) и аксиома обхода по длине дуги: для каждого действительного числа $s$ существует единственная точка $P(s)$ единичной окружности, в которую приходят, обходя её из $(1, 0)$ на длину $\abs{s}$ в направлении, которое указывает знак $s$ ; этот обход обладает сцеплением (продвижение на $t$ от $P(s)$ приводит в $P(s + t)$ ), имеет период $2\pi$ , достигает всех точек и на первом пол-обороте, который заканчивается в $P(\pi) = (-1, 0)$ , проходит верхнюю полуокружность со строго убывающей абсциссой. Остальные взяты из элементарной геометрии, которую курс не развивает: сумма $\pi$ углов треугольника, равенство углов при основании равнобедренного треугольника, сложение смежных углов и положение центра окружности относительно вписанного угла, признаки подобия, теорема Пифагора, сохранение длин при отражениях, которые меняют направление вращения на противоположное, и при повороте на пол-оборота, который его сохраняет, и сравнение углов, под которыми хорда видна из точек внутри и вне круга. Вместе с ними принимается и значение $\pi$ , десятичная запись которого начинается с 3,14159, так что $3 < \pi < 4$ , а также его иррациональность. Ещё два факта, тоже требующие математического анализа, принимаются в уроке о тригонометрических функциях и их графиках, и используют их лишь некоторые задачи, но никогда теоремы цепи: непрерывность тригонометрических функций и обратных к ним, благодаря которой к ним применяется теорема о промежуточном значении (она не принимается заново, а цитируется из курса I), и строгая выпуклость вверх синуса на каждом промежутке $\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}$ ; а последняя решённая задача урока о тригонометрических отношениях по той же причине принимает, что площади вписанных правильных многоугольников сколь угодно близко подходят к площади круга. На этой основе урок об углах и их измерении определил число $\pi$ как половину длины единичной окружности, а радианную меру как длину пройденной дуги со знаком; отразив первый пол-оборота относительно оси $x$ , он доказал, что на втором обход проходит нижнюю полуокружность со строго возрастающей абсциссой; из той же основы вытекли перевод градусов в радианы и обратно, формулы $s = r\theta$ и $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ , теорема о вписанном угле, который равен половине дуги, на которую он опирается, и теорема о приведении к первому обороту, согласно которой всякое действительное число единственным образом записывается в виде $\theta_0 + 2k\pi$ , где $\theta_0$ принадлежит $\ico{0}{2\pi}$ . Поскольку из аксиомы следует, что один оборот не проходит дважды через одну и ту же точку, два числа определяют одну и ту же точку $P(\theta)$ тогда и только тогда, когда они отличаются на целое кратное $2\pi$ .

Урок о тригонометрических отношениях и единичной окружности дал два определения синуса, косинуса и тангенса: как отношения сторон прямоугольного треугольника, которые подобие делает независимыми от треугольника, и как координаты $P(\theta)$ , пригодные для всякого действительного числа; он доказал, что для острых углов они совпадают. Из второго определения были выведены основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , табличные значения для $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$ , а также симметрии окружности, которые дают чётность, периодичность и соотношения для углов, дополняющих друг друга до развёрнутого, и для дополнительных углов. Отсюда следует метод угла приведения, который сводит вычисление тригонометрических отношений любого угла к вычислению для острого угла.

В уроке о тригонометрических функциях и их графиках эти отношения превратились в функции действительной переменной. Лемма о периодах, доказанная с помощью свойства Архимеда, и расположение максимумов показали, что $2\pi$ есть наименьший период синуса и косинуса, а расположение нулей показало, что $\pi$ есть наименьший период тангенса; графики строились развёртыванием окружности, а сравнение площадей двух треугольников и сектора дало неравенство $\sin x < x < \tan x$ при $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , из которого следуют оценка $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ и вертикальные асимптоты тангенса. Синусоиды $a \sin(b(x - c)) + d$ , полученные из синуса преобразованиями из раздела курса I об алгебраических функциях, моделируют всякое периодическое явление простой формы.

Обращение и измерение треугольников

Однако периодическая функция не инъективна. Урок об обратных тригонометрических функциях прочёл в аксиоме обхода, что косинус строго убывает на $\icc{0}{\pi}$ , потому что это и есть условие пол-оборота, записанное в координатах; из этого и из симметрии дополнительных углов он доказал, что синус строго возрастает на $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ , а из обоих фактов, что тангенс возрастает на $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; на этих промежутках он определил арксинус, арккосинус и арктангенс и отличил равенство $\sin(\arcsin x) = x$ , верное всегда, от равенства $\arcsin(\sin x) = x$ , верного лишь на промежутке главных значений. Вместе с симметриями обратные функции позволили решить простейшие уравнения на полном обороте.

Тем самым всё было готово для урока о решении треугольников. Если поместить вершину в начало координат, то вершина, противолежащая стороне, имеет координаты $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ ; отсюда получаются, в таком порядке, площадь $\frac{1}{2} bc \sin A$ , теорема синусов и, с помощью теоремы о вписанном угле, её связь с радиусом описанной окружности, теорема косинусов, обобщающая теорему Пифагора, и формула Герона. Поскольку косинус определяет угол треугольника, а синус нет, случай двух сторон и угла, противолежащего одной из них, допускает ни одного, одно или два решения, и теорема о неоднозначном случае подсчитывает их через корни квадратного уравнения. Наконец, теорема косинусов и раскрытие квадрата нормы разности дали меру угла между двумя векторами через скалярное произведение.

Вторая система координат

Урок о полярных координатах и кривых в полярных координатах обратил точку зрения: вместо того чтобы вычислять декартовы координаты точки по её расстоянию до начала координат и её углу, он назвал точку этими двумя числами. Допуская отрицательные радиусы, он описал все представления точки, доказал формулы перехода с арктангенсом, исправленным в зависимости от четверти, и получил из теоремы косинусов расстояние между двумя точками в полярных координатах. Признаки симметрии и таблицы значений позволили построить кардиоиды, розы, спирали и улитки, а теорема о фокусе и директрисе превратилась в уравнение $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ , в котором читаются тип, вершины и фокальная хорда, перпендикулярная оси, каждого конического сечения.

Рисунок ниже соединяет три участка в одну цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с предыдущими звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и средства, к которым цепь обращается снова и снова, и каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются, и пунктирной со звеном, где она устанавливается, кроме тех, что взяты из курса I или принимаются без доказательства: они изображены кольцами. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

AОбход по длине дуги. Для каждого действительного числа $s$ существует единственная точка $P(s)$ единичной окружности, в которую приходят, обходя её из $(1, 0)$ на длину $\abs{s}$ , против часовой стрелки, если $s > 0$ , и по часовой стрелке, если $s < 0$ . Продвижение от $P(s)$ на длину $t$ против часовой стрелки приводит в $P(s + t)$ , а по часовой стрелке, в $P(s - t)$ ; выполняется $P(s + 2\pi) = P(s)$ ; всякая точка окружности есть $P(s)$ для некоторого $s$ ; $P(\pi) = (-1, 0)$ , и абсцисса точки $P(s)$ строго убывает при неотрицательной ординате, когда $s$ возрастает от $0$ до $\pi$ . Принимается без доказательства, потому что опирается на длину дуги и на свойство промежуточного значения; второй пол-оборота выводится из первого с помощью отражений. В этом разделе принимается без доказательства.
BДлины и площади. Всякая дуга имеет длину, а всякая область, ограниченная отрезками и дугами, имеет площадь; конгруэнтные фигуры имеют одинаковую меру, меры аддитивны, площадь области, содержащей другую, не меньше её и больше, если разность содержит круг; дуги, на которые опирается один и тот же центральный угол, пропорциональны радиусам, а круг радиуса $r$ имеет площадь $\pi r^2$ . Принимается без доказательства, потому что длины и площади криволинейных фигур определяются через пределы. В этом разделе принимается без доказательства.
CОтражения и повороты. Отражение относительно прямой сохраняет расстояния и длины дуг и меняет направление вращения на противоположное; поворот на пол-оборота вокруг начала координат сохраняет их и сохраняет направление. Принимается из элементарной геометрии. В этом разделе принимается без доказательства.
DЭлементарная геометрия. Три угла треугольника в сумме дают $\pi$ ; углы при основании равнобедренного треугольника равны; луч, проходящий внутри угла, делит его на два угла, сумма которых равна данному; если центр лежит внутри вписанного угла, то диаметр, выходящий из вершины, делит угол на два и пересекает дугу, на которую угол опирается, а если вне, то одна из сторон лежит между этим диаметром и другой стороной; признаки подобия треугольников и теорема Пифагора; наконец, точка вне круга видит хорду под углом, меньшим вписанного угла с той же стороны, а точка внутри круга, под большим. Принимаются из элементарной геометрии. В этом разделе принимается без доказательства.
EСвойство Архимеда. Для любых двух положительных действительных чисел $p$ и $q$ некоторое натуральное кратное числа $q$ превосходит $p$ ; из него следуют плотность рациональных чисел и существование наименьшего целого числа, большего данного действительного. Доказано в курсе I, в разделе о числовых множествах. В этом разделе принимается без доказательства.
FФункции и многочлены. Строго монотонная функция инъективна, график обратной к ней функции есть отражение её графика относительно прямой $y = x$ , преобразования сдвигают и растягивают графики, а таблицы знаков и формулы Виета управляют знаками дробей и корнями многочленов. Доказано в курсе I, в разделе об алгебраических функциях и многочленах. В этом разделе принимается без доказательства.
GАналитическая геометрия. Формула расстояния, уравнение окружности, угловой коэффициент прямой, векторы со скалярным произведением и характеристика конических сечений через фокус и директрису. Доказано в курсе I, в разделе об аналитической геометрии на плоскости. В этом разделе принимается без доказательства.
HСимметрии. Синус нечётен, а косинус чётен; $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ , $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ , $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ , $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ и $\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ , и оба периодичны с периодом $2\pi$ . Устанавливается в: 10. Симметрии и периодичность.

Участок 1 От углов к функциям
- Измерять углы длиной дуги, которую они проходят, связывать вписанный угол с дугой, на которую он опирается, и приводить всякое действительное число к первому обороту.
- Определить синус и косинус на единичной окружности и доказать, что они согласуются с отношениями в прямоугольном треугольнике.
- Вывести основное тригонометрическое тождество, табличные значения и симметрии, а с ними метод угла приведения.
- Изучить синус, косинус и тангенс как функции: их наименьшие периоды, их графики, неравенство $\sin x < x < \tan x$ и синусоиды.
1. Радианная мера. При $\pi$ , равном половине длины единичной окружности, радианная мера ориентированного угла есть длина со знаком дуги, которую он проходит; всякое действительное число есть мера некоторого угла, и угол в $g$ градусов равен $\frac{\pi g}{180}$ радиан.
  Опирается на: A (Обход по длине дуги), B (Длины и площади). Доказывается в уроке: Углы и их измерение: градусы и радианы.
2. Дуга и сектор. В окружности радиуса $r$ центральный угол в $\theta$ радиан, где $0 < \theta \leq 2\pi$ , опирается на дугу длины $s = r\theta$ и задаёт сектор площади $\frac{1}{2} r^2 \theta$ .
  Использует: 1. Радианная мера. Опирается на: B (Длины и площади), E (Свойство Архимеда). Доказывается в уроке: Углы и их измерение: градусы и радианы.
3. Вписанный угол. Вписанный угол в окружности радиуса $r$ , опирающийся на дугу длины $s$ , равен $\frac{s}{2r}$ ; поэтому вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны или дополняют друг друга до развёрнутого в зависимости от того, лежат ли их вершины на одной дуге или на разных, а вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
  Использует: 2. Дуга и сектор. Опирается на: B (Длины и площади), D (Элементарная геометрия). Доказывается в уроке: Углы и их измерение: градусы и радианы.
4. Приведение к первому обороту. Всякое действительное число $\theta$ единственным образом записывается в виде $\theta_0 + 2k\pi$ , где $k$ целое, а $\theta_0$ принадлежит $\ico{0}{2\pi}$ ; поскольку один оборот не повторяет точек, два угла имеют общую конечную сторону тогда и только тогда, когда их разность есть целое кратное $2\pi$ .
  Использует: 1. Радианная мера. Опирается на: A (Обход по длине дуги), E (Свойство Архимеда), C (Отражения и повороты). Доказывается в уроке: Углы и их измерение: градусы и радианы.
5. Тригонометрические отношения острого угла. В прямоугольных треугольниках с острым углом $\alpha$ отношения сторон зависят только от $\alpha$ , а синус и косинус угла $\alpha$ лежат строго между $0$ и $1$ .
  Опирается на: D (Элементарная геометрия). Доказывается в уроке: Тригонометрические отношения и единичная окружность.
6. Синус и косинус действительного числа. Для всякого действительного числа $\theta$ косинус и синус числа $\theta$ суть абсцисса и ордината точки $P(\theta)$ единичной окружности, а тангенс есть их отношение $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ , когда косинус не обращается в нуль; их знаки в каждой четверти выводятся из свойства пол-оборота и его отражения, второго пол-оборота, а знаки произвольного угла совпадают со знаками его приведения к первому обороту.
  Использует: 1. Радианная мера, 4. Приведение к первому обороту. Опирается на: A (Обход по длине дуги), C (Отражения и повороты). Доказывается в уроке: Тригонометрические отношения и единичная окружность.
7. Согласованность определений. Если $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ , то синус, косинус и тангенс, определённые на единичной окружности, совпадают с определёнными в прямоугольном треугольнике с острым углом величины $\theta$ .
  Использует: 5. Тригонометрические отношения острого угла, 6. Синус и косинус действительного числа. Опирается на: A (Обход по длине дуги), C (Отражения и повороты), G (Аналитическая геометрия). Доказывается в уроке: Тригонометрические отношения и единичная окружность.
8. Основное тригонометрическое тождество. Для всякого действительного числа $\theta$ выполняется $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , а из него следует $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ , когда $\cos \theta \neq 0$ .
  Использует: 6. Синус и косинус действительного числа. Опирается на: G (Аналитическая геометрия). Доказывается в уроке: Тригонометрические отношения и единичная окружность.
9. Табличные значения. Синус и косинус $\frac{\pi}{4}$ равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; синус $\frac{\pi}{6}$ и косинус $\frac{\pi}{3}$ равны $\frac{1}{2}$ , а косинус $\frac{\pi}{6}$ и синус $\frac{\pi}{3}$ равны $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
  Использует: 1. Радианная мера, 6. Синус и косинус действительного числа. Опирается на: G (Аналитическая геометрия), D (Элементарная геометрия), C (Отражения и повороты). Доказывается в уроке: Тригонометрические отношения и единичная окружность.
10. Симметрии и периодичность. Синус нечётен, а косинус чётен; угол и угол, дополняющий его до развёрнутого, имеют равные синусы и противоположные косинусы, у $\theta$ и $\pi + \theta$ синусы и косинусы противоположны, синус угла равен косинусу дополнительного к нему угла, и оба периодичны с периодом $2\pi$ ; поэтому синус и косинус угла с точностью до знака его четверти совпадают с синусом и косинусом его угла приведения.
  Использует: 4. Приведение к первому обороту, 6. Синус и косинус действительного числа. Опирается на: A (Обход по длине дуги), C (Отражения и повороты), F (Функции и многочлены). Доказывается в уроке: Тригонометрические отношения и единичная окружность.
11. Свойства синуса и косинуса. Множество значений синуса и косинуса есть $\icc{-1}{1}$ ; синус обращается в нуль ровно в числах $k\pi$ и равен $1$ ровно в числах $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ , а косинус равен $1$ ровно в числах $2k\pi$ , где $k$ целое.
  Использует: 4. Приведение к первому обороту, 6. Синус и косинус действительного числа, 8. Основное тригонометрическое тождество. Опирается на: A (Обход по длине дуги), H (Симметрии). Доказывается в уроке: Тригонометрические функции и их графики.
12. Наименьший период. Если $q$ есть наименьший период функции, то её периоды суть ровно числа $kq$ , где $k$ натуральное; и $2\pi$ есть наименьший период синуса и косинуса.
  Использует: 11. Свойства синуса и косинуса. Опирается на: E (Свойство Архимеда). Доказывается в уроке: Тригонометрические функции и их графики.
13. Синус, дуга и тангенс. Если $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , то выполняется $\sin x < x < \tan x$ ; отсюда следует, что $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ для всякого действительного числа $x$ , причём равенство только при $x = 0$ .
  Использует: 2. Дуга и сектор, 6. Синус и косинус действительного числа, 11. Свойства синуса и косинуса. Опирается на: B (Длины и площади), G (Аналитическая геометрия), H (Симметрии). Доказывается в уроке: Тригонометрические функции и их графики.
14. Свойства тангенса. Тангенс нечётен, имеет наименьший период $\pi$ , обращается в нуль ровно в числах $k\pi$ , его множество значений есть $\mathbb{R}$ , а прямые $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ являются вертикальными асимптотами его графика.
  Использует: 8. Основное тригонометрическое тождество, 11. Свойства синуса и косинуса, 13. Синус, дуга и тангенс. Опирается на: A (Обход по длине дуги), F (Функции и многочлены), H (Симметрии). Доказывается в уроке: Тригонометрические функции и их графики.
15. Синусоиды. Синусоида $y = a \sin(b(x - c)) + d$ , где $a > 0$ и $b > 0$ , получается из синуса преобразованиями; её множество значений есть $\icc{d - a}{d + a}$ , а наименьший период равен $\frac{2\pi}{b}$ .
  Использует: 11. Свойства синуса и косинуса, 12. Наименьший период. Опирается на: F (Функции и многочлены). Доказывается в уроке: Тригонометрические функции и их графики.
Участок 2 Обращение и измерение треугольников
- Вывести из аксиомы обхода строгую монотонность косинуса и синуса, а из неё монотонность тангенса на их промежутках главных значений, и определить обратные к ним функции.
- Отличать равенство $\sin(\arcsin x) = x$ , верное всегда, от равенства $\arcsin(\sin x) = x$ и решать простейшие уравнения на полном обороте.
- Вывести из координат вершины площадь треугольника, теорему синусов, теорему косинусов и формулу Герона.
- Подсчитывать решения в неоднозначном случае и измерять угол между двумя векторами с помощью скалярного произведения.
1. Монотонность и биективные сужения. По свойству пол-оборота из аксиомы обхода косинус строго убывает на $\icc{0}{\pi}$ ; отсюда и из симметрий синус строго возрастает на $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ , а тангенс на $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; суженные на эти промежутки, они являются биекциями на $\icc{-1}{1}$ , $\icc{-1}{1}$ и $\mathbb{R}$ .
  Использует: 4. Приведение к первому обороту, 6. Синус и косинус действительного числа, 14. Свойства тангенса. Опирается на: A (Обход по длине дуги), F (Функции и многочлены), H (Симметрии). Доказывается в уроке: Обратные тригонометрические функции.
2. Обратные функции. Арксинус, арккосинус и арктангенс, обратные к этим сужениям, удовлетворяют равенству $\sin(\arcsin x) = x$ на $\icc{-1}{1}$ , тогда как $\arcsin(\sin x) = x$ только на $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; кроме того, $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ и $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ .
  Использует: 8. Основное тригонометрическое тождество, 16. Монотонность и биективные сужения. Опирается на: F (Функции и многочлены), H (Симметрии). Доказывается в уроке: Обратные тригонометрические функции.
3. Простейшие уравнения. Если $-1 < c < 1$ и $\alpha = \arcsin c$ , то уравнение $\sin x = c$ имеет на $\ico{0}{2\pi}$ ровно два решения: $\pi - \alpha$ и, в зависимости от знака $\alpha$ , само $\alpha$ или $2\pi + \alpha$ ; уравнение $\cos x = c$ имеет там решения $\arccos c$ и $2\pi - \arccos c$ .
  Использует: 16. Монотонность и биективные сужения, 17. Обратные функции. Опирается на: H (Симметрии). Доказывается в уроке: Обратные тригонометрические функции.
4. Площадь треугольника. Если вершина $A$ находится в начале координат, а вершина $B$ на положительной полуоси абсцисс, то вершина $C$ имеет координаты $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ , а площадь треугольника равна $\frac{1}{2} bc \sin A$ .
  Использует: 6. Синус и косинус действительного числа. Опирается на: G (Аналитическая геометрия), H (Симметрии). Доказывается в уроке: Решение треугольников: теоремы синусов и косинусов.
5. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и общее отношение $\frac{a}{\sin A}$ равно диаметру $2R$ описанной окружности.
  Использует: 7. Согласованность определений, 3. Вписанный угол, 19. Площадь треугольника. Опирается на: D (Элементарная геометрия), H (Симметрии). Доказывается в уроке: Решение треугольников: теоремы синусов и косинусов.
6. Теорема косинусов. Во всяком треугольнике выполняется $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ , что сводится к теореме Пифагора, когда угол $A$ прямой.
  Использует: 8. Основное тригонометрическое тождество, 19. Площадь треугольника. Опирается на: G (Аналитическая геометрия). Доказывается в уроке: Решение треугольников: теоремы синусов и косинусов.
7. Формула Герона. Площадь треугольника со сторонами $a$ , $b$ и $c$ и полупериметром $s$ равна $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ .
  Использует: 8. Основное тригонометрическое тождество, 19. Площадь треугольника, 21. Теорема косинусов. Опирается на: F (Функции и многочлены). Доказывается в уроке: Решение треугольников: теоремы синусов и косинусов.
8. Неоднозначный случай. Если даны угол $A$ , прилежащая сторона $c$ и противолежащая сторона $a$ , то возможные треугольники соответствуют положительным корням уравнения $b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0$ , и их нет, один или два в зависимости от того, как $a$ сравнивается с $c \sin A$ и с $c$ .
  Использует: 6. Синус и косинус действительного числа, 8. Основное тригонометрическое тождество, 21. Теорема косинусов. Опирается на: F (Функции и многочлены). Доказывается в уроке: Решение треугольников: теоремы синусов и косинусов.
9. Угол между векторами. Если $\theta$ есть угол между ненулевыми векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ , то выполняется $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ .
  Использует: 21. Теорема косинусов. Опирается на: G (Аналитическая геометрия). Доказывается в уроке: Решение треугольников: теоремы синусов и косинусов.
Участок 3 Вторая система координат
- Описывать все полярные представления точки, допуская отрицательные радиусы.
- Переходить от декартовых координат к полярным с арктангенсом, исправленным в зависимости от четверти.
- Вычислять расстояния в полярных координатах и строить кривые в полярных координатах с помощью признаков симметрии.
- Записывать конические сечения с фокусом в полюсе и читать в их уравнении тип, вершины и фокальную хорду, перпендикулярную оси.
1. Представления точки. Пары $(r_1, \theta_1)$ и $(r_2, \theta_2)$ представляют одну и ту же точку, отличную от полюса, тогда и только тогда, когда $r_2 = r_1$ и $\theta_2 - \theta_1$ есть чётное кратное $\pi$ или же $r_2 = -r_1$ и $\theta_2 - \theta_1$ есть нечётное кратное $\pi$ .
  Использует: 4. Приведение к первому обороту, 6. Синус и косинус действительного числа, 8. Основное тригонометрическое тождество. Опирается на: H (Симметрии). Доказывается в уроке: Полярные координаты и кривые в полярных координатах.
2. От декартовых координат к полярным. Всякая точка $(x, y)$ , отличная от полюса, имеет единственное представление с $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ и $\theta$ из $\ioc{-\pi}{\pi}$ ; если $x \neq 0$ , то её угол равен $\arctan \frac{y}{x}$ , к которому прибавляется или из которого вычитается $\pi$ , когда $x < 0$ .
  Использует: 25. Представления точки, 17. Обратные функции. Опирается на: A (Обход по длине дуги), G (Аналитическая геометрия), H (Симметрии). Доказывается в уроке: Полярные координаты и кривые в полярных координатах.
3. Расстояние в полярных координатах. Расстояние $d$ между точками $(r_1, \theta_1)$ и $(r_2, \theta_2)$ удовлетворяет равенству $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$ при любых знаках радиусов.
  Использует: 4. Приведение к первому обороту, 21. Теорема косинусов, 25. Представления точки. Опирается на: H (Симметрии). Доказывается в уроке: Полярные координаты и кривые в полярных координатах.
4. Признаки симметрии. Если уравнение кривой в полярных координатах переходит в равносильное при замене $\theta$ на $-\theta$ , $\theta$ на $\pi - \theta$ или $r$ на $-r$ , то кривая симметрична соответственно относительно полярной оси, прямой $\theta = \frac{\pi}{2}$ или полюса.
  Использует: 6. Синус и косинус действительного числа. Опирается на: H (Симметрии). Доказывается в уроке: Полярные координаты и кривые в полярных координатах.
5. Полярное уравнение конических сечений. Если $e > 0$ и $d > 0$ , то точки, расстояние которых до полюса равно умноженному на $e$ расстоянию до прямой $x = d$ , образуют график $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ .
  Использует: 25. Представления точки. Опирается на: G (Аналитическая геометрия), H (Симметрии). Доказывается в уроке: Полярные координаты и кривые в полярных координатах.
6. Элементы полярного конического сечения. В коническом сечении $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ полярная ось является фокальной осью, одна вершина находится на расстоянии $\frac{ed}{1 + e}$ от полюса, а фокальная хорда, перпендикулярная оси, равна $2ed$ ; если $e < 1$ , то большая полуось равна $\frac{ed}{1 - e^2}$ .
  Использует: 28. Признаки симметрии, 29. Полярное уравнение конических сечений. Опирается на: G (Аналитическая геометрия). Доказывается в уроке: Полярные координаты и кривые в полярных координатах.

К аналитической тригонометрии. Цепь останавливается перед синусом и косинусом суммы углов: симметрии дают их лишь тогда, когда одно из слагаемых кратно $\frac{\pi}{2}$ . Очередной раздел выводит формулы сложения и вычитания и с их помощью доказывает тождества, решает тригонометрические уравнения в общем виде и классифицирует уравнения второй степени с помощью поворота осей.

Раздел внутри курса

Раздел, первый в курсе II, опирается на курс I в точно указанных местах. Приведение к первому обороту есть деление с остатком из урока курса I о делимости, перенесённое на действительные числа с помощью свойства Архимеда из урока курса I о десятичной записи рациональных чисел, а площадь сектора была распространена на все углы с помощью плотности рациональных чисел из урока курса I о числовой прямой. Обратные функции применили теоремы об обратной функции и о преобразованиях из урока курса I о действиях с функциями, а асимптоты изучались с помощью таблиц знаков. Единичная окружность, угловые коэффициенты, векторы, скалярное произведение и конические сечения пришли из раздела курса I об аналитической геометрии на плоскости, урок которого о конических сечениях дал теорему о фокусе и директрисе. Наконец, урок курса I о гиперболических функциях предвосхитил аналогию, которую этот раздел завершает: синус и косинус описывают окружность $x^2 + y^2 = 1$ так же, как гиперболические синус и косинус описывают гиперболу $x^2 - y^2 = 1$ .

Остаётся, однако, вопрос без ответа, который проходит через весь раздел: как вычислить синус и косинус суммы углов по синусам и косинусам слагаемых? Симметрии отвечают на него лишь тогда, когда одно из слагаемых кратно $\frac{\pi}{2}$ ; значения для $\frac{\pi}{12}$ или $\frac{\pi}{10}$ требуют особых геометрических построений; а произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме, анонсированное в уроке о полярных координатах, зависит от ответа на него. Очередной раздел, который начинается с введения в аналитическую тригонометрию, отвечает на этот вопрос формулами сложения и вычитания и с их помощью доказывает тождества, решает тригонометрические уравнения в общем виде и классифицирует уравнения второй степени с помощью поворота осей.

Далее в этом уроке

Итоговая проверка
Задачи повышенной трудности
Монета, катящаяся вокруг другой
Ремень на двух шкивах
Синус восемнадцати градусов
Сумма модулей
Оценки Архимеда
Зигзаг и прямая
Угол, вдвое больший другого
Вписанный четырёхугольник
Фокальные хорды эллипса
Лемниската