三角函数与极坐标：总结与挑战

摘要

这一课结束关于三角函数与极坐标的单元。它把本单元六课中证明的内容汇集成一条演绎链：用弧长度量角，在单位圆上定义正弦和余弦及其推论，研究这些函数及其反函数，解一切三角形，以及极坐标及其曲线。它说明这条链怎样依靠课程代数与几何 I，从带余除法直到圆锥曲线和向量，又怎样为随后单元的解析三角学作准备。它在结业测评中重复导言里入门测评的技能，增加两道关于结果之理由的题，最后是十道挑战题，难度高于各课的题目，它们综合多课内容，每一道都要求自己的想法。

学习目标

重建本单元的定义与定理之链，从弧度直到圆锥曲线的极坐标方程，并指出每个结果依赖于哪个结果。
把本单元的结果与课程 I 的结果以及解析三角学留下的问题联系起来。
解决综合运用弧的度量、三角函数的对称性与图像、反三角函数、解三角形和极坐标的问题。

本单元的收获

从角到函数

本单元从少数几个承认的事实出发，值得把它们准确地列举出来。前两个需要微积分：关于长度和面积的事实（每条弧都有长度，每个由线段和弧围成的区域都有面积；二者都具有可加性，在移动图形时不变，并随图形增大而增大；同一圆心角所对的弧与半径成比例，半径为 $r$ 的圆盘面积为 $\pi r^2$ ），以及按弧长行进公理：对每个实数 $s$ ，单位圆上有唯一的点 $P(s)$ ，从 $(1, 0)$ 出发沿圆行进长度 $\abs{s}$ 、方向由 $s$ 的符号指明，即到达该点；这种行进可以接续（前进 $t$ ，从 $P(s)$ 出发，就到达 $P(s + t)$ ），周期为 $2\pi$ ，能到达所有的点，并且在止于 $P(\pi) = (-1, 0)$ 的第一个半周中，以严格减小的横坐标经过上半圆。其余的事实来自课程不予展开的初等几何：三角形内角之和 $\pi$ ，等腰三角形两底角相等，邻角相加，圆心相对于圆周角的位置，相似判定，勾股定理，反射保持长度并使旋转方向反向，旋转半周保持长度且保持旋转方向，以及从圆内和圆外的点看一条弦的视角的比较。与它们一起承认的还有 $\pi$ 的值，其小数表示以 3.14159 开头，因此 $3 < \pi < 4$ ，以及它的无理性。另外两个同样需要微积分的事实，在关于三角函数及其图像的课中承认，只有部分问题用到它们，链中的定理从不使用：三角函数及其反函数的连续性（借此可对它们应用介值定理，该定理不再重新承认，而是引自课程 I），以及正弦在每个区间 $\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}$ 上的严格上凸性；另外，关于三角比的课的最后一道例题出于同样的理由承认：内接正多边形的面积可以任意接近圆盘的面积。在此基础上，关于角及其度量的课把数 $\pi$ 定义为单位圆周长的一半，把弧度数定义为所经过的弧的带符号长度；把第一个半周关于 $x$ 轴反射，证明了在第二个半周中行进以严格增大的横坐标经过下半圆；由同一基础还得到了度与弧度的换算、公式 $s = r\theta$ 与 $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ 、圆周角定理（圆周角等于它所对弧的一半），以及化到第一周的定理：每个实数都能唯一地写成 $\theta_0 + 2k\pi$ ，其中 $\theta_0$ 属于 $\ico{0}{2\pi}$ 。由于公理蕴含一周不会两次经过同一点，两个数确定同一点 $P(\theta)$ ，当且仅当它们相差 $2\pi$ 的整数倍。

关于三角比与单位圆的课给出了正弦、余弦和正切的两种定义：作为直角三角形边的比（相似使它们与三角形无关），以及作为 $P(\theta)$ 的坐标（对一切实数都适用）；它证明了二者在锐角上一致。由第二种定义推出了平方关系 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ 、 $\frac{\pi}{6}$ 、 $\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{\pi}{3}$ 的特殊角的值，以及圆的对称性，后者给出奇偶性、周期性以及与补角和余角的关系。由此得到参考角法，它把任意角的三角比的计算化为锐角的三角比的计算。

在关于三角函数及其图像的课中，这些比变成了实变量的函数。用阿基米德性质证明的周期引理和最大值的位置表明 $2\pi$ 是正弦和余弦的最小正周期，零点的位置则表明 $\pi$ 是正切的最小正周期；图像是通过展开圆周构造的，而比较两个三角形和一个扇形的面积得到不等式 $\sin x < x < \tan x$ （当 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时），由此推出估计式 $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ 以及正切的垂直渐近线。正弦型曲线 $a \sin(b(x - c)) + d$ 由正弦经课程 I 中关于代数函数的单元的变换得到，它们为一切形式简单的周期现象建立模型。

求逆与三角形的度量

然而，周期函数不是单射。关于反三角函数的课从行进公理中读出余弦在 $\icc{0}{\pi}$ 上严格减小，因为这正是用坐标写出的半周条款；由此并由余角的对称性，它证明了正弦在 $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ 上严格增大，又由二者证明了正切在 $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ 上增大；它在这些区间上定义了反正弦、反余弦和反正切，并把等式 $\sin(\arcsin x) = x$ （总是成立）与等式 $\arcsin(\sin x) = x$ （只在主值区间上成立）区分开来。借助对称性，反函数在完整的一周内解出了最简方程。

这样，一切都为关于解三角形的课准备好了。把一个顶点放在原点，与一边相对的顶点的坐标为 $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ ；由此依次得到面积 $\frac{1}{2} bc \sin A$ 、正弦定理以及（借助圆周角定理）它与外接圆半径的关系、推广勾股定理的余弦定理，以及海伦公式。由于余弦能确定三角形的角而正弦不能，已知两边及其中一边的对角的情形有零个、一个或两个解，歧义情形的定理通过一个二次方程的根来计数这些解。最后，余弦定理和差的范数平方的展开给出了用数量积表示的两向量夹角的大小。

第二种坐标系

关于极坐标与极坐标曲线的课转换了视角：它不再由一点到原点的距离和它的角计算该点的笛卡儿坐标，而是用这两个数来命名该点。允许负的极径，它描述了一点的全部表示，证明了转换公式（反正切按象限修正），并由余弦定理得到了极坐标中两点间的距离。对称性判别和数值表使人能画出心形线、玫瑰线、螺线和蜗线，而焦点准线定理化成了方程 $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ ，从中可以读出每条圆锥曲线的类型、顶点和通径。

下图把三段汇成一条链。中间一列的每个节点是一个定义或一个定理，按逻辑顺序编号，并用弧线连到其证明所用到的前面的环节；四周浮动的是支柱，即这条链一再求助的原理和工具，每个支柱用实线连到依靠它的环节，并用虚线连到确立它的那个环节，只有来自课程 I 的或不加证明而承认的支柱例外，它们画成圆环。点击一个支柱，会突出显示所有用到它的环节；每个环节都链接到证明它的那一课。

链的支柱

A按弧长行进. 对每个实数 $s$ ，单位圆上有唯一的点 $P(s)$ ，从 $(1, 0)$ 出发沿圆行进长度 $\abs{s}$ 即到达该点：若 $s > 0$ 则按逆时针方向，若 $s < 0$ 则按顺时针方向。从 $P(s)$ 出发按逆时针方向前进长度 $t$ 到达 $P(s + t)$ ，按顺时针方向则到达 $P(s - t)$ ； $P(s + 2\pi) = P(s)$ 成立；圆上每一点都是 $P(s)$ （对某个 $s$ ）； $P(\pi) = (-1, 0)$ ，并且 $P(s)$ 的横坐标严格减小、纵坐标非负，这发生在 $s$ 从 $0$ 增大到 $\pi$ 时。该公理不加证明而承认，因为它依赖于弧长和介值性质；第二个半周由第一个半周借助反射推出。本单元中不加证明而采用。
B长度与面积. 每条弧都有长度，每个由线段和弧围成的区域都有面积；全等的图形有相同的度量，度量具有可加性，包含另一区域的区域面积不更小，若差集包含一个圆盘则更大；同一圆心角所对的弧与半径成比例，半径为 $r$ 的圆盘面积为 $\pi r^2$ 。不加证明而承认，因为长度和曲边面积要借助极限来定义。本单元中不加证明而采用。
C反射与旋转. 关于一条直线的反射保持距离和弧长，并使旋转方向反向；绕原点旋转半周保持距离和弧长，也保持旋转方向。从初等几何中承认。本单元中不加证明而采用。
D初等几何. 三角形三个内角之和为 $\pi$ ；等腰三角形的两个底角相等；穿过一个角内部的射线把它分成两个角，其和等于原角；若圆心在圆周角内部，则从顶点出发的直径把该角一分为二并与所对的弧相交，若圆心在外部，则一边位于该直径与另一边之间；三角形的相似判定和勾股定理；圆外一点看一条弦的视角小于同侧的圆周角，圆内一点的视角则大于它。从初等几何中承认。本单元中不加证明而采用。
E阿基米德性质. 给定两个正实数 $p$ 和 $q$ ， $q$ 的某个自然数倍大于 $p$ ；由它推出有理数的稠密性，以及大于给定实数的最小整数的存在。在课程 I 关于数集的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
F函数与多项式. 严格单调函数是单射，其反函数的图像是它自身图像关于直线 $y = x$ 的反射，变换平移和伸缩图像，符号表和韦达定理决定商的符号与多项式的根。在课程 I 关于代数函数与多项式的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
G解析几何. 距离公式、圆的方程、直线的斜率、带数量积的向量，以及用焦点和准线对圆锥曲线的刻画。在课程 I 关于平面解析几何的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
H对称性. 正弦是奇函数，余弦是偶函数； $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ 、 $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ 、 $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ 、 $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ 和 $\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ ，并且二者都是周期为 $2\pi$ 的周期函数。确立于: 10. 对称性与周期性.

第 1 段从角到函数
- 用角所经过的弧的长度度量角，把圆周角与它所对的弧联系起来，并把任一实数化到第一周。
- 在单位圆上定义正弦和余弦，并证明它们与直角三角形中的三角比一致。
- 推出平方关系、特殊角的值和对称性，并由此得到参考角法。
- 把正弦、余弦和正切作为函数来研究：它们的最小正周期、图像、不等式 $\sin x < x < \tan x$ 以及正弦型曲线。
1. 弧度数. 取 $\pi$ 等于单位圆周长的一半，有向角的弧度数是它所经过的弧的带符号长度；每个实数都是某个角的度量， $g$ 度的角等于 $\frac{\pi g}{180}$ 弧度。
  依据: A (按弧长行进), B (长度与面积). 证明于: 角及其度量：角度制与弧度制.
2. 弧与扇形. 在半径为 $r$ 的圆中， $\theta$ 弧度的圆心角（其中 $0 < \theta \leq 2\pi$ ）所对的弧长为 $s = r\theta$ ，所对扇形的面积为 $\frac{1}{2} r^2 \theta$ 。
  使用: 1. 弧度数. 依据: B (长度与面积), E (阿基米德性质). 证明于: 角及其度量：角度制与弧度制.
3. 圆周角. 在半径为 $r$ 的圆中，所对弧长为 $s$ 的圆周角等于 $\frac{s}{2r}$ ；因此，同一条弦上的圆周角相等或互补，取决于它们的顶点在同一条弧上还是在不同的弧上；半圆上的圆周角是直角。
  使用: 2. 弧与扇形. 依据: B (长度与面积), D (初等几何). 证明于: 角及其度量：角度制与弧度制.
4. 化到第一周. 每个实数 $\theta$ 都能唯一地写成 $\theta_0 + 2k\pi$ ，其中 $k$ 为整数， $\theta_0$ 属于 $\ico{0}{2\pi}$ ；由于一周不重复经过点，两个角终边相同当且仅当它们的差是 $2\pi$ 的整数倍。
  使用: 1. 弧度数. 依据: A (按弧长行进), E (阿基米德性质), C (反射与旋转). 证明于: 角及其度量：角度制与弧度制.
5. 锐角的三角比. 在含锐角 $\alpha$ 的直角三角形中，边的比只依赖于 $\alpha$ ，并且 $\alpha$ 的正弦和余弦严格介于 $0$ 与 $1$ 之间。
  依据: D (初等几何). 证明于: 三角比与单位圆.
6. 实数的正弦与余弦. 对每个实数 $\theta$ ， $\theta$ 的余弦和正弦分别是单位圆上点 $P(\theta)$ 的横坐标和纵坐标，当余弦不为零时，正切是它们的商 $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ ；它们在各象限中的符号由半周性质及其反射（第二个半周）推出，任意角的这些符号就是它化到第一周后的符号。
  使用: 1. 弧度数, 4. 化到第一周. 依据: A (按弧长行进), C (反射与旋转). 证明于: 三角比与单位圆.
7. 定义的一致性. 若 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ ，则在单位圆上定义的正弦、余弦和正切与在含大小为 $\theta$ 的锐角的直角三角形中定义的相一致。
  使用: 5. 锐角的三角比, 6. 实数的正弦与余弦. 依据: A (按弧长行进), C (反射与旋转), G (解析几何). 证明于: 三角比与单位圆.
8. 平方关系. 对每个实数 $\theta$ ，有 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ ，并由此得到 $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ （当 $\cos \theta \neq 0$ 时）。
  使用: 6. 实数的正弦与余弦. 依据: G (解析几何). 证明于: 三角比与单位圆.
9. 特殊角的值. $\frac{\pi}{4}$ 的正弦和余弦等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ； $\frac{\pi}{6}$ 的正弦和 $\frac{\pi}{3}$ 的余弦等于 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\pi}{6}$ 的余弦和 $\frac{\pi}{3}$ 的正弦等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。
  使用: 1. 弧度数, 6. 实数的正弦与余弦. 依据: G (解析几何), D (初等几何), C (反射与旋转). 证明于: 三角比与单位圆.
10. 对称性与周期性. 正弦是奇函数，余弦是偶函数；一个角与它的补角正弦相同、余弦互为相反数， $\theta$ 与 $\pi + \theta$ 的正弦和余弦都互为相反数，一个角的正弦等于其余角的余弦，并且二者都是周期为 $2\pi$ 的周期函数；因此，一个角的正弦和余弦除去其所在象限的符号外，就是它的参考角的正弦和余弦。
  使用: 4. 化到第一周, 6. 实数的正弦与余弦. 依据: A (按弧长行进), C (反射与旋转), F (函数与多项式). 证明于: 三角比与单位圆.
11. 正弦和余弦的性质. 正弦和余弦的值域为 $\icc{-1}{1}$ ；正弦的零点恰为数 $k\pi$ ，正弦取值 $1$ 的点恰为数 $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ，余弦取值 $1$ 的点恰为数 $2k\pi$ ，其中 $k$ 为整数。
  使用: 4. 化到第一周, 6. 实数的正弦与余弦, 8. 平方关系. 依据: A (按弧长行进), H (对称性). 证明于: 三角函数及其图像.
12. 最小正周期. 若 $q$ 是一个函数的最小正周期，则它的周期恰为数 $kq$ ，其中 $k$ 为自然数；并且 $2\pi$ 是正弦和余弦的最小正周期。
  使用: 11. 正弦和余弦的性质. 依据: E (阿基米德性质). 证明于: 三角函数及其图像.
13. 正弦、弧与正切. 若 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ，则 $\sin x < x < \tan x$ ；由此推出 $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ ，这里 $x$ 是任意实数，等号仅在 $x = 0$ 时成立。
  使用: 2. 弧与扇形, 6. 实数的正弦与余弦, 11. 正弦和余弦的性质. 依据: B (长度与面积), G (解析几何), H (对称性). 证明于: 三角函数及其图像.
14. 正切的性质. 正切是奇函数，最小正周期为 $\pi$ ，零点恰为数 $k\pi$ ，值域为 $\mathbb{R}$ ，直线 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 是其图像的垂直渐近线。
  使用: 8. 平方关系, 11. 正弦和余弦的性质, 13. 正弦、弧与正切. 依据: A (按弧长行进), F (函数与多项式), H (对称性). 证明于: 三角函数及其图像.
15. 正弦型曲线. 正弦型曲线 $y = a \sin(b(x - c)) + d$ （其中 $a > 0$ 且 $b > 0$ ）由正弦经变换得到；它的值域为 $\icc{d - a}{d + a}$ ，最小正周期为 $\frac{2\pi}{b}$ 。
  使用: 11. 正弦和余弦的性质, 12. 最小正周期. 依据: F (函数与多项式). 证明于: 三角函数及其图像.
第 2 段求逆与三角形的度量
- 由行进公理推出余弦和正弦在其主值区间上的严格单调性，再由此推出正切的单调性，并定义它们的反函数。
- 区分等式 $\sin(\arcsin x) = x$ （总是成立）与等式 $\arcsin(\sin x) = x$ ，并在完整的一周内解最简方程。
- 由一个顶点的坐标推出三角形的面积、正弦定理、余弦定理和海伦公式。
- 计数歧义情形的解，并用数量积度量两向量的夹角。
1. 单调性与双射限制. 由行进公理的半周性质，余弦在 $\icc{0}{\pi}$ 上严格减小；由此并由对称性，正弦在 $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ 上严格增大，正切在 $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ 上严格增大；限制在这些区间上，它们分别是到 $\icc{-1}{1}$ 、 $\icc{-1}{1}$ 和 $\mathbb{R}$ 上的双射。
  使用: 4. 化到第一周, 6. 实数的正弦与余弦, 14. 正切的性质. 依据: A (按弧长行进), F (函数与多项式), H (对称性). 证明于: 反三角函数.
2. 反函数. 反正弦、反余弦和反正切作为这些限制的反函数，满足 $\sin(\arcsin x) = x$ （在 $\icc{-1}{1}$ 上），而 $\arcsin(\sin x) = x$ 只在 $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ 上成立；此外， $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ 且 $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ 。
  使用: 8. 平方关系, 16. 单调性与双射限制. 依据: F (函数与多项式), H (对称性). 证明于: 反三角函数.
3. 最简方程. 若 $-1 < c < 1$ 且 $\alpha = \arcsin c$ ，则方程 $\sin x = c$ 在 $\ico{0}{2\pi}$ 中恰有两个解： $\pi - \alpha$ ，以及根据 $\alpha$ 的符号而定的 $\alpha$ 本身或 $2\pi + \alpha$ ；方程 $\cos x = c$ 在那里的解为 $\arccos c$ 和 $2\pi - \arccos c$ 。
  使用: 16. 单调性与双射限制, 17. 反函数. 依据: H (对称性). 证明于: 反三角函数.
4. 三角形的面积. 把顶点 $A$ 放在原点、顶点 $B$ 放在横轴的正半轴上，则顶点 $C$ 的坐标为 $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ ，三角形的面积为 $\frac{1}{2} bc \sin A$ 。
  使用: 6. 实数的正弦与余弦. 依据: G (解析几何), H (对称性). 证明于: 解三角形：正弦定理与余弦定理.
5. 正弦定理. 三角形的边与其对角的正弦成比例，公共的比 $\frac{a}{\sin A}$ 等于外接圆的直径 $2R$ 。
  使用: 7. 定义的一致性, 3. 圆周角, 19. 三角形的面积. 依据: D (初等几何), H (对称性). 证明于: 解三角形：正弦定理与余弦定理.
6. 余弦定理. 在任何三角形中都有 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ ，当角 $A$ 为直角时它化为勾股定理。
  使用: 8. 平方关系, 19. 三角形的面积. 依据: G (解析几何). 证明于: 解三角形：正弦定理与余弦定理.
7. 海伦公式. 边长为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 、半周长为 $s$ 的三角形的面积为 $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ 。
  使用: 8. 平方关系, 19. 三角形的面积, 21. 余弦定理. 依据: F (函数与多项式). 证明于: 解三角形：正弦定理与余弦定理.
8. 歧义情形. 已知角 $A$ 、邻边 $c$ 和对边 $a$ ，可能的三角形对应于 $b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0$ 的正根，根据 $a$ 与 $c \sin A$ 以及与 $c$ 的大小关系，它们有零个、一个或两个。
  使用: 6. 实数的正弦与余弦, 8. 平方关系, 21. 余弦定理. 依据: F (函数与多项式). 证明于: 解三角形：正弦定理与余弦定理.
9. 两向量的夹角. 若 $\theta$ 是非零向量 $\vec{u}$ 与 $\vec{v}$ 的夹角，则 $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ 。
  使用: 21. 余弦定理. 依据: G (解析几何). 证明于: 解三角形：正弦定理与余弦定理.
第 3 段第二种坐标系
- 允许负的极径，描述一点的全部极坐标表示。
- 用按象限修正的反正切把笛卡儿坐标化为极坐标。
- 计算极坐标中的距离，并用对称性判别画出极坐标曲线。
- 写出焦点在极点的圆锥曲线，并从其方程中读出类型、顶点和通径。
1. 点的表示. 数对 $(r_1, \theta_1)$ 与 $(r_2, \theta_2)$ 表示同一个异于极点的点，当且仅当 $r_2 = r_1$ 且 $\theta_2 - \theta_1$ 是 $\pi$ 的偶数倍，或者 $r_2 = -r_1$ 且 $\theta_2 - \theta_1$ 是 $\pi$ 的奇数倍。
  使用: 4. 化到第一周, 6. 实数的正弦与余弦, 8. 平方关系. 依据: H (对称性). 证明于: 极坐标与极坐标曲线.
2. 从笛卡儿坐标到极坐标. 每个点 $(x, y)$ （异于极点）都有唯一的表示，其中 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ 且 $\theta$ 属于 $\ioc{-\pi}{\pi}$ ；若 $x \neq 0$ ，它的角为 $\arctan \frac{y}{x}$ ，对它要加上或减去 $\pi$ （当 $x < 0$ 时）。
  使用: 25. 点的表示, 17. 反函数. 依据: A (按弧长行进), G (解析几何), H (对称性). 证明于: 极坐标与极坐标曲线.
3. 极坐标中的距离. 距离 $d$ （点 $(r_1, \theta_1)$ 与 $(r_2, \theta_2)$ 之间的）满足 $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$ ，无论极径的符号如何。
  使用: 4. 化到第一周, 21. 余弦定理, 25. 点的表示. 依据: H (对称性). 证明于: 极坐标与极坐标曲线.
4. 对称性判别. 若把 $\theta$ 换成 $-\theta$ 、把 $\theta$ 换成 $\pi - \theta$ 或把 $r$ 换成 $-r$ 时极坐标曲线的方程变为等价的方程，则该曲线分别关于极轴、直线 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 或极点对称。
  使用: 6. 实数的正弦与余弦. 依据: H (对称性). 证明于: 极坐标与极坐标曲线.
5. 圆锥曲线的极坐标方程. 若 $e > 0$ 且 $d > 0$ ，则到极点的距离是 $e$ 乘以到直线 $x = d$ 的距离的那些点，构成 $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ 的图像。
  使用: 25. 点的表示. 依据: G (解析几何), H (对称性). 证明于: 极坐标与极坐标曲线.
6. 极坐标圆锥曲线的要素. 在圆锥曲线 $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ 中，极轴是焦点轴，一个顶点到极点的距离为 $\frac{ed}{1 + e}$ ，通径长为 $2ed$ ；若 $e < 1$ ，长半轴为 $\frac{ed}{1 - e^2}$ 。
  使用: 28. 对称性判别, 29. 圆锥曲线的极坐标方程. 依据: G (解析几何). 证明于: 极坐标与极坐标曲线.

走向解析三角学. 链在角之和的正弦和余弦面前停了下来：只有当其中一个加数是 $\frac{\pi}{2}$ 的倍数时，对称性才能给出它们。随后的单元将推出和角与差角公式，并用它们证明恒等式、一般地解三角方程，并借助坐标轴的旋转对二次方程进行分类。

课程中的本单元

本单元是课程 II 的第一个单元，它在确定的几处依靠课程 I。化到第一周就是课程 I 中关于整除的那一课的带余除法，借助课程 I 中关于有理数的小数表示的那一课的阿基米德性质推广到实数；扇形的面积则借助课程 I 中关于实数轴的那一课的有理数稠密性推广到所有的角。反函数用到了课程 I 中关于函数的运算的那一课的反函数定理和变换定理，渐近线则借助符号表来研究。单位圆、斜率、向量、数量积和圆锥曲线来自课程 I 中关于平面解析几何的单元，其中关于圆锥曲线的那一课给出了焦点准线定理。最后，课程 I 中关于双曲函数的那一课预示了本单元所完成的类比：正弦和余弦描述圆 $x^2 + y^2 = 1$ ，正如双曲正弦和双曲余弦描述双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 。

然而，还有一个贯穿整个单元的问题没有回答：怎样由每个加数的正弦和余弦计算角之和的正弦和余弦？只有当其中一个加数是 $\frac{\pi}{2}$ 的倍数时，对称性才能回答它； $\frac{\pi}{12}$ 或 $\frac{\pi}{10}$ 的值需要特殊的几何构造；而在关于极坐标的课中预告过的两个复数在极坐标形式下的乘积，也依赖于这个问题。随后的单元从解析三角学导言开始，用和角与差角公式回答这个问题，并用它们证明恒等式、一般地解三角方程，并借助坐标轴的旋转对二次方程进行分类。