Trigonometria et coordinatae polares: synthesis et provocationes

Svmmarivm

Haec lectio partem de fvnctionibvs trigonometricis et de coordinatis polaribvs clavdit. In vnam catenam dedvctivam colligit qvae in sex eivs lectionibvs demonstrata svnt: mensvram angvlorvm per longitvdinem arcvs, definitionem sinvs et cosinvs in circvmferentia vnitaria et qvae ex ea seqvvntvr, stvdivm harvm fvnctionvm earvmqve inversarvm, solvtionem omnivm triangvlorvm et coordinatas polares cvm svis cvrvis. Explicat qvomodo haec catena cvrsvi Algebra et Geometria I innitatvr, a divisione cvm residvo vsqve ad sectiones conicas et vectores, et qvomodo trigonometriam analyticam partis qvae seqvitvr praeparet. In probatione finali facvltates probationis initialis introdvctionis repetit, dvas qvaestiones de rationibvs effectvvm addit, et decem provocationibvs finitvr, difficilioribvs qvam problemata lectionvm, qvae plvres earvm conivngvnt et in singvlis ideam propriam postvlant.

Proposita discendi

Catenam definitionvm et theorematvm partis restitvere, a radiano vsqve ad aeqvationem polarem sectionvm conicarvm, agnoscendo ex qvo effectv qvodqve pendeat.
Effectvs partis cvm effectibvs cvrsvs I et cvm qvaestionibvs qvas trigonometria analytica apertas relinqvit conferre.
Problemata solvere qvae mensvram arcvvm, symmetrias et delineationes fvnctionvm trigonometricarvm, earvm inversas, solvtionem triangvlorvm et coordinatas polares conivngvnt.

Qvae vnitas consecvta est

Ab angvlis ad fvnctiones

Pars a pavcis factis admissis proficiscitvr, qvae accvrate envmerare expedit. Dvo prima calcvlvm infinitesimalem postvlant: facta de longitvdinibvs et areis (omnis arcvs longitvdinem habet et omnis regio segmentis et arcvbvs terminata aream habet; vtraeqve additivae svnt, non mvtantvr cvm figvrae moventvr et cvm eis crescvnt; arcvs qvos idem angvlvs ad centrvm svbtendit radiis proportionales svnt, et discvs radii $r$ aream $\pi r^2$ habet), et axioma percvrsvs per longitvdinem arcvs: pro qvoqve nvmero reali $s$ est vnicvm pvnctvm $P(s)$ circvmferentiae vnitariae ad qvod pervenitvr eam percvrrendo a $(1, 0)$ per longitvdinem $\abs{s}$ , in sensv qvem signvm ipsivs $s$ indicat; hic percvrsvs conivnctionem admittit (progredi per $t$ a $P(s)$ dvcit ad $P(s + t)$ ), periodvm $2\pi$ habet, omnia pvncta attingit et, in prima dimidia conversione, qvae in $P(\pi) = (-1, 0)$ desinit, semicircvlvm svperiorem percvrrit abscissa stricte decrescente. Cetera ex geometria elementari provenivnt, qvam cvrsvs non explicat: svmma $\pi$ angvlorvm triangvli, aeqvalitas angvlorvm basis triangvli aeqvicrvri, svmma angvlorvm adiacentivm et positvs centri circvmferentiae respectv angvli inscripti, criteria similitvdinis, theorema Pythagorae, conservatio longitvdinvm per reflexiones, qvae sensvm conversionis invertvnt, et per dimidiam conversionem circa pvnctvm, qvae evm servat, et comparatio angvlorvm svb qvibvs chorda e pvnctis intra et extra circvlvm videtvr. Cvm eis admittitvr etiam valor ipsivs $\pi$ , cvivs expressio decimalis a 3,14159 incipit, ita vt $3 < \pi < 4$ , et eivs irrationalitas. Alia dvo facta, qvae et ipsa calcvlvm infinitesimalem postvlant, in lectione de fvnctionibvs trigonometricis earvmqve delineationibvs admittvntvr, et solvm qvaedam problemata eis vtvntvr, nvmqvam theoremata catenae: continvitas fvnctionvm trigonometricarvm earvmqve inversarvm, qva efficitvr vt theorema valoris intermedii eis applicetvr, qvod non itervm admittitvr sed e cvrsv I citatvr, et stricta concavitas sinvs in qvoqve intervallo $\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}$ ; et vltimvm problema solvtvm lectionis de rationibvs trigonometricis eadem de cavsa admittit areas polygonorvm regvlarivm inscriptorvm ad aream circvli qvantvmvis accedere. Hoc fvndamento posito, lectio de angvlis eorvmqve mensvra nvmervm $\pi$ definivit vt dimidivm longitvdinis circvmferentiae vnitariae et mensvram in radianis vt longitvdinem, cvm signo, arcvs percvrsi; primam dimidiam conversionem ad axem $x$ reflectendo, ostendit in altera percvrsvm per semicircvlvm inferiorem transire abscissa stricte crescente; ex eodem fvndamento secvta svnt conversio inter gradvs et radianos, formvlae $s = r\theta$ et $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ , theorema angvli inscripti, qvi dimidivm arcvs svbtensi metitvr, et theorema redvctionis ad primam conversionem, secvndvm qvod omnis nvmervs realis vno tantvm modo scribitvr vt $\theta_0 + 2k\pi$ cvm $\theta_0$ in $\ico{0}{2\pi}$ . Cvm ex axiomate seqvatvr vnam conversionem non bis per idem pvnctvm transire, dvo nvmeri idem pvnctvm $P(\theta)$ determinant exacte cvm mvltiplo integro ipsivs $2\pi$ differvnt.

Lectio de rationibvs trigonometricis et circvmferentia vnitaria dvas definitiones sinvs, cosinvs et tangentis dedit: vt qvotientes inter latera triangvli rectangvli, qvos similitvdo a triangvlo independentes reddit, et vt coordinatas pvncti $P(\theta)$ , pro omni nvmero reali validas; ostendit eas in angvlis acvtis congrvere. Ex altera definitione dedvctae svnt identitas Pythagorica $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , valores insignes ipsorvm $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{\pi}{3}$ , et symmetriae circvmferentiae, qvae paritatem, periodicitatem et relationes cvm angvlis svpplementariis et complementaribvs dant. Inde seqvitvr methodvs angvli referentiae, qvae compvtationem rationvm cvivsvis angvli ad compvtationem angvli acvti redvcit.

In lectione de fvnctionibvs trigonometricis earvmqve delineationibvs hae rationes fvnctiones variabilis realis factae svnt. Lemma de periodis, proprietate Archimedea demonstratvm, et locvs maximorvm ostendervnt $2\pi$ esse periodvm minimam sinvs et cosinvs, et locvs zerorvm, $\pi$ esse periodvm minimam tangentis; delineationes circvmferentiam evolvendo constrvctae svnt, et comparatio arearvm dvorvm triangvlorvm et sectoris inaeqvalitatem $\sin x < x < \tan x$ pro $0 < x < \frac{\pi}{2}$ dedit, ex qva seqvvntvr margo $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ et asymptoti verticales tangentis. Sinvsoides $a \sin(b(x - c)) + d$ , ex sinv per transformationes partis cvrsvs I de fvnctionibvs algebraicis obtentae, omne phaenomenon periodicvm formae simplicis repraesentant.

Inversio et mensvra triangvlorvm

Atqvi fvnctio periodica iniectiva non est. Lectio de fvnctionibvs trigonometricis inversis in axiomate percvrsvs legit cosinvm in $\icc{0}{\pi}$ stricte decrescere, qvia haec est clavsvla dimidiae conversionis coordinatis scripta; ex hoc et ex symmetria angvlorvm complementarivm ostendit sinvm in $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ stricte crescere, et ex vtroqve, tangentem in $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ crescere; in his intervallis arcvm sinvs, arcvm cosinvs et arcvm tangentis definivit, et aeqvalitatem $\sin(\arcsin x) = x$ , semper veram, ab $\arcsin(\sin x) = x$ distinxit, qvae solvm in intervallo principali vera est. Cvm symmetriis, inversae aeqvationes elementares in conversione integra solvervnt.

Qvo facto omnia parata erant ad lectionem de solvtione triangvlorvm. Vertice in origine posito, vertex lateri oppositvs coordinatas $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ habet; inde hoc ordine provenivnt area $\frac{1}{2} bc \sin A$ , theorema sinvvm et, cvm theoremate angvli inscripti, eivs relatio cvm radio circvmferentiae circvmscriptae, theorema cosinvvm, qvod theorema Pythagorae amplificat, et formvla Heronis. Cvm cosinvs angvlvm triangvli determinet, sinvs avtem non, casvs dvorvm latervm et angvli vni eorvm oppositi nvllam, vnam avt dvas solvtiones admittit, et theorema casvs ambigvi eas per radices aeqvationis qvadraticae nvmerat. Deniqve theorema cosinvvm et evolvtio qvadrati normae differentiae mensvram angvli dvorvm vectorvm per prodvctvm scalare dedervnt.

Altervm systema coordinatarvm

Lectio de coordinatis polaribvs rationem spectandi invertit: loco coordinatas Cartesianas pvncti ex eivs distantia ab origine et ex eivs angvlo compvtandi, pvnctvm his dvobvs nvmeris nominavit. Radiis negativis admissis, omnes repraesentationes pvncti descripsit, formvlas transitvs demonstravit, cvm arcv tangentis secvndvm qvadrantem correcto, et ex theoremate cosinvvm distantiam dvorvm pvnctorvm in coordinatis polaribvs obtinvit. Criteria symmetriae et tabvlae valorvm cardioides, rosas, spiras et cochleas delineare permiservnt, et theorema foci et directricis in aeqvationem $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ conversvm est, in qva genvs, vertices et latvs rectvm cvivsqve sectionis conicae legvntvr.

Pictvra qvae seqvitvr tria segmenta in vnam catenam colligit. Qvisqve nodvs colvmnae est definitio avt theorema, secvndvm ordinem logicvm nvmeratvs et arcv cvm anvlis antecedentibvs conivnctvs qvibvs eivs demonstratio vtitvr; circvm flvitant fvlcra, id est principia et instrvmenta ad qvae catena itervm atqve itervm recvrrit, qvodqve linea continva cvm anvlis qvi ei nitvntvr conivnctvm et linea pvnctata cvm anvlo in qvo stabilitvr, exceptis iis qvae ex cvrsv I provenivnt avt sine demonstratione admittvntvr, qvae vt circvli vacvi pingvntvr. Fvlcro pvlsato omnes anvli qvi eo vtvntvr illvstrantvr, et qvisqve anvlvs ad lectionem remittit in qva demonstratvr.

Fvlcra catenae

APercvrsvs per longitvdinem arcvs. Pro qvoqve nvmero reali $s$ est vnicvm pvnctvm $P(s)$ circvmferentiae vnitariae ad qvod pervenitvr eam percvrrendo a $(1, 0)$ per longitvdinem $\abs{s}$ , contra motvm horologii si $s > 0$ et secvndvm motvm horologii si $s < 0$ . Progredi a $P(s)$ per longitvdinem $t$ contra motvm horologii dvcit ad $P(s + t)$ , et secvndvm motvm horologii, ad $P(s - t)$ ; valet $P(s + 2\pi) = P(s)$ ; omne pvnctvm circvmferentiae est $P(s)$ pro aliqvo $s$ ; $P(\pi) = (-1, 0)$ , et abscissa pvncti $P(s)$ stricte decrescit, ordinata non negativa, dvm $s$ a $0$ ad $\pi$ crescit. Sine demonstratione admittitvr, qvia longitvdini arcvs et proprietati valoris intermedii innititvr; altera dimidia conversio ex prima per reflexiones dedvcitvr. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
BLongitvdines et areae. Omnis arcvs longitvdinem habet et omnis regio segmentis et arcvbvs terminata aream habet; figvrae congrventes eandem mensvram habent, mensvrae additivae svnt, area regionis qvae aliam continet non minor est, et maior est si differentia discvm continet; arcvs qvos idem angvlvs ad centrvm svbtendit radiis proportionales svnt, et discvs radii $r$ aream $\pi r^2$ habet. Sine demonstratione admittitvr, qvia longitvdines et areae cvrvae per limites definivntvr. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
CReflexiones et conversiones. Reflexio ad rectam distantias et longitvdines arcvvm servat, et sensvm conversionis invertit; dimidia conversio circa originem eas servat et sensvm servat. E geometria elementari admittitvr. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
DGeometria elementaris. Tres angvli triangvli svmmam $\pi$ efficivnt; angvli basis triangvli aeqvicrvri aeqvales svnt; semirecta qvae per interivs angvli transit evm in dvos dividit qvorvm svmma est angvlvs datvs; si centrvm intra angvlvm inscriptvm est, diameter a vertice dvcta evm in dvos dividit et arcvm svbtensvm secat, et si extra est, altervm latvs inter illam diametrvm et altervm latvs iacet; criteria similitvdinis triangvlorvm et theorema Pythagorae; et pvnctvm extra circvlvm chordam svb angvlo minore videt qvam angvlvs inscriptvs eivsdem lateris, pvnctvm vero intra, svb angvlo maiore. E geometria elementari admittvntvr. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
EProprietas Archimedea. Datis dvobvs realibvs positivis $p$ et $q$ , aliqvod mvltiplvm natvrale ipsivs $q$ svperat $p$ ; ex ea seqvvntvr densitas rationalivm et existentia minimi integri maioris qvam realis datvs. Demonstrata in cvrsv I, in parte de generibvs nvmerorvm. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
FFvnctiones et polynomia. Fvnctio stricte monotona iniectiva est, delineatio eivs inversae est reflexio svae ad rectam $y = x$ , transformationes delineationes transfervnt et dilatant, et tabvlae signorvm et relationes Vietae signa qvotientivm et radices polynomiorvm regvnt. Demonstratvm in cvrsv I, in parte de fvnctionibvs algebraicis et polynomiis. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
GGeometria analytica. Formvla distantiae, aeqvatio circvmferentiae, inclinatio rectae, vectores cvm prodvcto scalari et characterizatio sectionvm conicarvm per focvm et directricem. Demonstratvm in cvrsv I, in parte de geometria analytica plani. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
HSymmetriae. Sinvs impar est et cosinvs par; $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ , $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ , $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ , $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ et $\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ , et ambo periodici svnt periodo $2\pi$ . Constitvitvr in: 10. Symmetriae et periodicitas.

Segmentvm 1 Ab angvlis ad fvnctiones
- Angvlos per longitvdinem arcvs qvem percvrrvnt metiri, angvlvm inscriptvm cvm arcv svbtenso conferre et omnem nvmervm realem ad primam conversionem redvcere.
- Sinvm et cosinvm in circvmferentia vnitaria definire et ostendere eos cvm rationibvs triangvli rectangvli congrvere.
- Identitatem Pythagoricam, valores insignes et symmetrias dedvcere, et cvm eis methodvm angvli referentiae.
- Sinvm, cosinvm et tangentem vt fvnctiones investigare: earvm periodos minimas, earvm delineationes, inaeqvalitatem $\sin x < x < \tan x$ et sinvsoides.
1. Mensvra in radianis. Posito $\pi$ aeqvali dimidio longitvdinis circvmferentiae vnitariae, mensvra in radianis angvli orientati est longitvdo, cvm signo, arcvs qvem percvrrit; omnis nvmervs realis mensvra alicvivs angvli est, et angvlvs $g$ gradvvm $\frac{\pi g}{180}$ radianos metitvr.
  Nititvr: A (Percvrsvs per longitvdinem arcvs), B (Longitvdines et areae). Demonstratvr in: Angvli eorvmqve mensvra: gradvs et radiani.
2. Arcvs et sector. In circvmferentia radii $r$ , angvlvs ad centrvm $\theta$ radianorvm, cvm $0 < \theta \leq 2\pi$ , arcvm longitvdinis $s = r\theta$ et sectorem areae $\frac{1}{2} r^2 \theta$ svbtendit.
  Vtitvr: 1. Mensvra in radianis. Nititvr: B (Longitvdines et areae), E (Proprietas Archimedea). Demonstratvr in: Angvli eorvmqve mensvra: gradvs et radiani.
3. Angvlvs inscriptvs. Angvlvs inscriptvs in circvmferentia radii $r$ cvivs arcvs svbtensvs longitvdinem $s$ habet $\frac{s}{2r}$ metitvr; itaqve angvli inscripti in eadem chorda aeqvales avt svpplementarii svnt provt eorvm vertices in eodem arcv avt in arcvbvs diversis iacent, et angvlvs semicircvlo inscriptvs rectvs est.
  Vtitvr: 2. Arcvs et sector. Nititvr: B (Longitvdines et areae), D (Geometria elementaris). Demonstratvr in: Angvli eorvmqve mensvra: gradvs et radiani.
4. Redvctio ad primam conversionem. Omnis nvmervs realis $\theta$ vno tantvm modo scribitvr vt $\theta_0 + 2k\pi$ , cvm $k$ integro et $\theta_0$ in $\ico{0}{2\pi}$ ; cvm vna conversio pvncta non iteret, dvo angvli coterminales svnt si et solvm si eorvm differentia est mvltiplvm integrvm ipsivs $2\pi$ .
  Vtitvr: 1. Mensvra in radianis. Nititvr: A (Percvrsvs per longitvdinem arcvs), E (Proprietas Archimedea), C (Reflexiones et conversiones). Demonstratvr in: Angvli eorvmqve mensvra: gradvs et radiani.
5. Rationes angvli acvti. In triangvlis rectangvlis cvm angvlo acvto $\alpha$ , qvotientes inter latera solvm ab $\alpha$ pendent, et sinvs et cosinvs ipsivs $\alpha$ stricte inter $0$ et $1$ iacent.
  Nititvr: D (Geometria elementaris). Demonstratvr in: Rationes trigonometricae et circvmferentia vnitaria.
6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis. Pro omni nvmero reali $\theta$ , cosinvs et sinvs ipsivs $\theta$ svnt abscissa et ordinata pvncti $P(\theta)$ circvmferentiae vnitariae, et tangens est eorvm qvotiens $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ cvm cosinvs non evanescit; eorvm signa in qvoqve qvadrante ex proprietate dimidiae conversionis et ex eivs reflexione, altera dimidia conversione, dedvcvntvr, et signa cvivsvis angvli svnt signa eivs redvctionis ad primam conversionem.
  Vtitvr: 1. Mensvra in radianis, 4. Redvctio ad primam conversionem. Nititvr: A (Percvrsvs per longitvdinem arcvs), C (Reflexiones et conversiones). Demonstratvr in: Rationes trigonometricae et circvmferentia vnitaria.
7. Concordantia definitionvm. Si $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ , sinvs, cosinvs et tangens in circvmferentia vnitaria definiti congrvvnt cvm iis qvi in triangvlo rectangvlo cvm angvlo acvto mensvrae $\theta$ definivntvr.
  Vtitvr: 5. Rationes angvli acvti, 6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis. Nititvr: A (Percvrsvs per longitvdinem arcvs), C (Reflexiones et conversiones), G (Geometria analytica). Demonstratvr in: Rationes trigonometricae et circvmferentia vnitaria.
8. Identitas Pythagorica. Pro omni nvmero reali $\theta$ valet $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , et ex ea $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ cvm $\cos \theta \neq 0$ .
  Vtitvr: 6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis. Nititvr: G (Geometria analytica). Demonstratvr in: Rationes trigonometricae et circvmferentia vnitaria.
9. Valores insignes. Sinvs et cosinvs ipsivs $\frac{\pi}{4}$ valent $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; sinvs ipsivs $\frac{\pi}{6}$ et cosinvs ipsivs $\frac{\pi}{3}$ valent $\frac{1}{2}$ , et cosinvs ipsivs $\frac{\pi}{6}$ et sinvs ipsivs $\frac{\pi}{3}$ valent $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
  Vtitvr: 1. Mensvra in radianis, 6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis. Nititvr: G (Geometria analytica), D (Geometria elementaris), C (Reflexiones et conversiones). Demonstratvr in: Rationes trigonometricae et circvmferentia vnitaria.
10. Symmetriae et periodicitas. Sinvs impar est et cosinvs par; angvlvs et eivs svpplementarivs evndem sinvm et cosinvs oppositos habent, $\theta$ et $\pi + \theta$ sinvs et cosinvs oppositos habent, sinvs angvli est cosinvs eivs complementaris, et ambo periodici svnt periodo $2\pi$ ; itaqve sinvs et cosinvs angvli svnt, signo eivs qvadrantis excepto, sinvs et cosinvs eivs angvli referentiae.
  Vtitvr: 4. Redvctio ad primam conversionem, 6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis. Nititvr: A (Percvrsvs per longitvdinem arcvs), C (Reflexiones et conversiones), F (Fvnctiones et polynomia). Demonstratvr in: Rationes trigonometricae et circvmferentia vnitaria.
11. Proprietates sinvs et cosinvs. Sinvs et cosinvs copiam imaginvm $\icc{-1}{1}$ habent; sinvs exacte in nvmeris $k\pi$ evanescit et valorem $1$ exacte in nvmeris $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ habet, et cosinvs valorem $1$ exacte in nvmeris $2k\pi$ habet, cvm $k$ integro.
  Vtitvr: 4. Redvctio ad primam conversionem, 6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis, 8. Identitas Pythagorica. Nititvr: A (Percvrsvs per longitvdinem arcvs), H (Symmetriae). Demonstratvr in: Fvnctiones trigonometricae earvmqve delineationes.
12. Periodvs minima. Si $q$ est periodvs minima fvnctionis, eivs periodi svnt exacte nvmeri $kq$ , cvm $k$ natvrali; et $2\pi$ est periodvs minima sinvs et cosinvs.
  Vtitvr: 11. Proprietates sinvs et cosinvs. Nititvr: E (Proprietas Archimedea). Demonstratvr in: Fvnctiones trigonometricae earvmqve delineationes.
13. Sinvs, arcvs et tangens. Si $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , valet $\sin x < x < \tan x$ ; inde seqvitvr $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ pro omni nvmero reali $x$ , aeqvalitate solvm in $x = 0$ .
  Vtitvr: 2. Arcvs et sector, 6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis, 11. Proprietates sinvs et cosinvs. Nititvr: B (Longitvdines et areae), G (Geometria analytica), H (Symmetriae). Demonstratvr in: Fvnctiones trigonometricae earvmqve delineationes.
14. Proprietates tangentis. Tangens impar est, periodvm minimam $\pi$ habet, exacte in nvmeris $k\pi$ evanescit, eivs copia imaginvm est $\mathbb{R}$ , et rectae $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ svnt asymptoti verticales eivs delineationis.
  Vtitvr: 8. Identitas Pythagorica, 11. Proprietates sinvs et cosinvs, 13. Sinvs, arcvs et tangens. Nititvr: A (Percvrsvs per longitvdinem arcvs), F (Fvnctiones et polynomia), H (Symmetriae). Demonstratvr in: Fvnctiones trigonometricae earvmqve delineationes.
15. Sinvsoides. Sinvsoides $y = a \sin(b(x - c)) + d$ , cvm $a > 0$ et $b > 0$ , ex sinv per transformationes obtinetvr; eivs copia imaginvm est $\icc{d - a}{d + a}$ et eivs periodvs minima est $\frac{2\pi}{b}$ .
  Vtitvr: 11. Proprietates sinvs et cosinvs, 12. Periodvs minima. Nititvr: F (Fvnctiones et polynomia). Demonstratvr in: Fvnctiones trigonometricae earvmqve delineationes.
Segmentvm 2 Inversio et mensvra triangvlorvm
- Ex axiomate percvrsvs strictam monotoniam cosinvs et sinvs, et ex ea monotoniam tangentis, in intervallis principalibvs dedvcere, et eorvm fvnctiones inversas definire.
- Aeqvalitatem $\sin(\arcsin x) = x$ , semper veram, ab $\arcsin(\sin x) = x$ distingvere, et aeqvationes elementares in conversione integra solvere.
- Ex coordinatis vertices aream triangvli, theorema sinvvm, theorema cosinvvm et formvlam Heronis dedvcere.
- Solvtiones casvs ambigvi nvmerare et angvlvm dvorvm vectorvm per prodvctvm scalare metiri.
1. Monotonia et restrictiones biiectivae. Per proprietatem dimidiae conversionis axiomatis percvrsvs, cosinvs in $\icc{0}{\pi}$ stricte decrescit; ex hoc et ex symmetriis, sinvs in $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ stricte crescit et tangens in $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; ad haec intervalla restricti, biiectiones svnt in $\icc{-1}{1}$ , $\icc{-1}{1}$ et $\mathbb{R}$ .
  Vtitvr: 4. Redvctio ad primam conversionem, 6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis, 14. Proprietates tangentis. Nititvr: A (Percvrsvs per longitvdinem arcvs), F (Fvnctiones et polynomia), H (Symmetriae). Demonstratvr in: Fvnctiones trigonometricae inversae.
2. Fvnctiones inversae. Arcvs sinvs, arcvs cosinvs et arcvs tangentis, inversae harvm restrictionvm, $\sin(\arcsin x) = x$ in $\icc{-1}{1}$ praestant, cvm $\arcsin(\sin x) = x$ solvm in $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ valeat; praeterea $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ et $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ .
  Vtitvr: 8. Identitas Pythagorica, 16. Monotonia et restrictiones biiectivae. Nititvr: F (Fvnctiones et polynomia), H (Symmetriae). Demonstratvr in: Fvnctiones trigonometricae inversae.
3. Aeqvationes elementares. Si $-1 < c < 1$ et $\alpha = \arcsin c$ , aeqvatio $\sin x = c$ in $\ico{0}{2\pi}$ exacte dvas solvtiones habet, $\pi - \alpha$ et, pro signo ipsivs $\alpha$ , avt ipsvm $\alpha$ avt $2\pi + \alpha$ ; aeqvatio $\cos x = c$ ibi solvtiones $\arccos c$ et $2\pi - \arccos c$ habet.
  Vtitvr: 16. Monotonia et restrictiones biiectivae, 17. Fvnctiones inversae. Nititvr: H (Symmetriae). Demonstratvr in: Fvnctiones trigonometricae inversae.
4. Area triangvli. Vertice $A$ in origine et vertice $B$ in semiaxe positivo abscissarvm positis, vertex $C$ coordinatas $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ habet, et area triangvli est $\frac{1}{2} bc \sin A$ .
  Vtitvr: 6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis. Nititvr: G (Geometria analytica), H (Symmetriae). Demonstratvr in: Solvtio triangvlorvm: theoremata sinvvm et cosinvvm.
5. Theorema sinvvm. Latera triangvli sinibvs angvlorvm oppositorvm proportionalia svnt, et qvotiens commvnis $\frac{a}{\sin A}$ est diameter $2R$ circvmferentiae circvmscriptae.
  Vtitvr: 7. Concordantia definitionvm, 3. Angvlvs inscriptvs, 19. Area triangvli. Nititvr: D (Geometria elementaris), H (Symmetriae). Demonstratvr in: Solvtio triangvlorvm: theoremata sinvvm et cosinvvm.
6. Theorema cosinvvm. In omni triangvlo valet $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ , qvod ad theorema Pythagorae redit cvm angvlvs $A$ rectvs est.
  Vtitvr: 8. Identitas Pythagorica, 19. Area triangvli. Nititvr: G (Geometria analytica). Demonstratvr in: Solvtio triangvlorvm: theoremata sinvvm et cosinvvm.
7. Formvla Heronis. Area triangvli latervm $a$ , $b$ et $c$ et semiperimetri $s$ est $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ .
  Vtitvr: 8. Identitas Pythagorica, 19. Area triangvli, 21. Theorema cosinvvm. Nititvr: F (Fvnctiones et polynomia). Demonstratvr in: Solvtio triangvlorvm: theoremata sinvvm et cosinvvm.
8. Casvs ambigvvs. Datis angvlo $A$ , latere adiacente $c$ et latere opposito $a$ , triangvla possibilia radicibvs positivis aeqvationis $b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0$ respondent, et svnt nvlla, vnvm avt dvo provt $a$ cvm $c \sin A$ et cvm $c$ comparatvr.
  Vtitvr: 6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis, 8. Identitas Pythagorica, 21. Theorema cosinvvm. Nititvr: F (Fvnctiones et polynomia). Demonstratvr in: Solvtio triangvlorvm: theoremata sinvvm et cosinvvm.
9. Angvlvs vectorvm. Si $\theta$ est angvlvs vectorvm non nvllorvm $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , valet $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ .
  Vtitvr: 21. Theorema cosinvvm. Nititvr: G (Geometria analytica). Demonstratvr in: Solvtio triangvlorvm: theoremata sinvvm et cosinvvm.
Segmentvm 3 Altervm systema coordinatarvm
- Omnes repraesentationes polares pvncti describere, radiis negativis admissis.
- A coordinatis Cartesianis ad polares transire cvm arcv tangentis secvndvm qvadrantem correcto.
- Distantias in coordinatis polaribvs compvtare et cvrvas polares cvm criteriis symmetriae delineare.
- Sectiones conicas qvarvm focvs in polo est scribere et in earvm aeqvatione genvs, vertices et latvs rectvm legere.
1. Repraesentationes pvncti. Paria $(r_1, \theta_1)$ et $(r_2, \theta_2)$ idem pvnctvm a polo diversvm repraesentant si et solvm si $r_2 = r_1$ et $\theta_2 - \theta_1$ est mvltiplvm par ipsivs $\pi$ , avt $r_2 = -r_1$ et $\theta_2 - \theta_1$ est mvltiplvm impar ipsivs $\pi$ .
  Vtitvr: 4. Redvctio ad primam conversionem, 6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis, 8. Identitas Pythagorica. Nititvr: H (Symmetriae). Demonstratvr in: Coordinatae polares et cvrvae polares.
2. A Cartesianis ad polares. Omne pvnctvm $(x, y)$ a polo diversvm vnicam repraesentationem habet cvm $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ et $\theta$ in $\ioc{-\pi}{\pi}$ ; si $x \neq 0$ , eivs angvlvs est $\arctan \frac{y}{x}$ , cvi additvr avt a qvo svbtrahitvr $\pi$ cvm $x < 0$ .
  Vtitvr: 25. Repraesentationes pvncti, 17. Fvnctiones inversae. Nititvr: A (Percvrsvs per longitvdinem arcvs), G (Geometria analytica), H (Symmetriae). Demonstratvr in: Coordinatae polares et cvrvae polares.
3. Distantia in coordinatis polaribvs. Distantia $d$ inter pvncta $(r_1, \theta_1)$ et $(r_2, \theta_2)$ praestat $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$ , qvaecvmqve sint signa radiorvm.
  Vtitvr: 4. Redvctio ad primam conversionem, 21. Theorema cosinvvm, 25. Repraesentationes pvncti. Nititvr: H (Symmetriae). Demonstratvr in: Coordinatae polares et cvrvae polares.
4. Criteria symmetriae. Si aeqvatio cvrvae polaris in aeqvivalentem convertitvr cvm $\theta$ per $-\theta$ , $\theta$ per $\pi - \theta$ avt $r$ per $-r$ svbstitvitvr, cvrva symmetrica est respective ad axem polarem, ad rectam $\theta = \frac{\pi}{2}$ avt ad polvm.
  Vtitvr: 6. Sinvs et cosinvs nvmeri realis. Nititvr: H (Symmetriae). Demonstratvr in: Coordinatae polares et cvrvae polares.
5. Aeqvatio polaris sectionvm conicarvm. Si $e > 0$ et $d > 0$ , pvncta qvorvm distantia a polo est $e$ vicibvs distantia a recta $x = d$ delineationem aeqvationis $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ efficivnt.
  Vtitvr: 25. Repraesentationes pvncti. Nititvr: G (Geometria analytica), H (Symmetriae). Demonstratvr in: Coordinatae polares et cvrvae polares.
6. Elementa sectionis conicae polaris. In sectione conica $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ , axis polaris est axis focalis, vertex distat $\frac{ed}{1 + e}$ a polo et latvs rectvm $2ed$ metitvr; si $e < 1$ , semiaxis maior est $\frac{ed}{1 - e^2}$ .
  Vtitvr: 28. Criteria symmetriae, 29. Aeqvatio polaris sectionvm conicarvm. Nititvr: G (Geometria analytica). Demonstratvr in: Coordinatae polares et cvrvae polares.

Ad trigonometriam analyticam. Catena ante sinvm et cosinvm svmmae angvlorvm consistit: symmetriae eos dant solvm cvm alter addendorvm est mvltiplvm ipsivs $\frac{\pi}{2}$ . Pars qvae seqvitvr formvlas additionis et svbtractionis dedvcit, et cvm eis identitates demonstrat, aeqvationes trigonometricas generaliter solvit et aeqvationes secvndi gradvs per rotationem axivm classificat.

Vnitas in cvrsv

Pars, prima cvrsvs II, cvrsvi I in locis certis innititvr. Redvctio ad primam conversionem est divisio cvm residvo lectionis cvrsvs I de divisibilitate, ad nvmeros reales translata cvm proprietate Archimedea lectionis cvrsvs I de expressione decimali nvmerorvm rationalivm, et area sectoris ad omnes angvlos extensa est cvm densitate rationalivm lectionis cvrsvs I de recta reali. Inversae theoremata fvnctionis inversae et transformationvm lectionis cvrsvs I de operationibvs fvnctionvm adhibvervnt, et asymptoti cvm tabvlis signorvm investigatae svnt. Circvmferentia vnitaria, inclinationes, vectores, prodvctvm scalare et sectiones conicae ex parte cvrsvs I de geometria analytica plani provenivnt, cvivs lectio de sectionibvs conicis theorema foci et directricis dedit. Et lectio cvrsvs I de fvnctionibvs hyperbolicis analogiam praecepit qvam haec pars complet: sinvs et cosinvs circvmferentiam $x^2 + y^2 = 1$ describvnt sicvt sinvs et cosinvs hyperbolici hyperbolam $x^2 - y^2 = 1$ describvnt.

Manet tamen qvaestio nondvm solvta, qvae totam partem percvrrit: qvomodo sinvs et cosinvs svmmae angvlorvm ex sinibvs et cosinibvs singvlorvm addendorvm compvtantvr? Symmetriae eam solvvnt solvm cvm alter addendorvm est mvltiplvm ipsivs $\frac{\pi}{2}$ ; valores in $\frac{\pi}{12}$ avt in $\frac{\pi}{10}$ constrvctiones geometricas pecvliares postvlant; et prodvctvm dvorvm nvmerorvm complexorvm in forma polari, in lectione de coordinatis polaribvs nvntiatvm, ab ea pendet. Pars qvae seqvitvr, qvae ab introdvctione in trigonometriam analyticam incipit, hvic qvaestioni formvlis additionis et svbtractionis respondet, et cvm eis identitates demonstrat, aeqvationes trigonometricas generaliter solvit et aeqvationes secvndi gradvs per rotationem axivm classificat.