Trigonometria e coordenadas polares: síntese e desafios

Resumo

Esta aula fecha a unidade sobre as funções trigonométricas e as coordenadas polares. Reúne numa só cadeia dedutiva o que foi demonstrado em suas seis aulas: a medida dos ângulos pelo comprimento do arco, a definição do seno e do cosseno na circunferência unitária e suas consequências, o estudo dessas funções e de suas inversas, a resolução de todos os triângulos e as coordenadas polares com suas curvas. Explica como essa cadeia se apoia no curso Álgebra e Geometria I, desde a divisão com resto até as cônicas e os vetores, e como prepara a trigonometria analítica da próxima unidade. Repete numa avaliação de saída as habilidades da avaliação de entrada da introdução, acrescenta duas perguntas sobre as razões dos resultados e termina com dez desafios, de dificuldade superior à dos problemas das aulas, que combinam várias delas e exigem em cada caso uma ideia própria.

Objetivos de aprendizagem

Reconstruir a cadeia de definições e teoremas da unidade, desde o radiano até a equação polar das cônicas, identificando de que resultado depende cada um.
Relacionar os resultados da unidade com os do curso I e com os problemas que a trigonometria analítica deixa em aberto.
Resolver problemas que combinam a medida de arcos, as simetrias e os gráficos das funções trigonométricas, suas inversas, a resolução de triângulos e as coordenadas polares.

O que a unidade alcançou

Dos ângulos às funções

A unidade começa com alguns poucos fatos admitidos, que convém enumerar com exatidão. Os dois primeiros exigem o cálculo infinitesimal: os fatos sobre comprimentos e áreas (todo arco tem comprimento e toda região limitada por segmentos e arcos tem área; ambos são aditivos, não mudam quando as figuras são movidas e crescem com elas; os arcos correspondentes a um mesmo ângulo central são proporcionais aos raios, e o disco de raio $r$ tem área $\pi r^2$ ), e o axioma do percurso por comprimento de arco: para cada número real $s$ há um único ponto $P(s)$ da circunferência unitária ao qual se chega percorrendo-a a partir de $(1, 0)$ um comprimento $\abs{s}$ , no sentido que indica o sinal de $s$ ; esse percurso admite encadeamento (avançar $t$ a partir de $P(s)$ leva a $P(s + t)$ ), tem período $2\pi$ , alcança todos os pontos e, na primeira meia volta, que termina em $P(\pi) = (-1, 0)$ , percorre a semicircunferência superior com abscissa estritamente decrescente. Os demais provêm da geometria elementar, que o curso não desenvolve: a soma $\pi$ dos ângulos de um triângulo, a igualdade dos ângulos da base de um triângulo isósceles, a soma de ângulos adjacentes e a posição do centro de uma circunferência em relação a um ângulo inscrito, os critérios de semelhança, o teorema de Pitágoras, a conservação dos comprimentos pelas reflexões, que invertem o sentido de giro, e pela rotação de meia volta, que o conserva, e a comparação dos ângulos sob os quais se vê uma corda de pontos interiores e exteriores ao círculo. Com eles se admite também o valor de $\pi$ , cuja representação decimal começa por 3,14159, de modo que $3 < \pi < 4$ , e sua irracionalidade. Outros dois fatos, que também exigem o cálculo infinitesimal, são admitidos na aula sobre as funções trigonométricas e seus gráficos, e só alguns problemas os usam, nunca os teoremas da cadeia: a continuidade das funções trigonométricas e de suas inversas, graças à qual se lhes aplica o teorema do valor intermediário, que não se admite de novo, mas se cita do curso I, e a concavidade estrita do seno em cada intervalo $\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}$ ; e o último problema resolvido da aula sobre as razões trigonométricas admite, pela mesma razão, que as áreas dos polígonos regulares inscritos se aproximam da do círculo tanto quanto se queira. Sobre essa base, a aula sobre os ângulos e sua medida definiu o número $\pi$ como a metade do comprimento da circunferência unitária e a medida em radianos como o comprimento do arco percorrido, com sinal; refletindo a primeira meia volta em relação ao eixo $x$ , demonstrou que na segunda o percurso passa pela semicircunferência inferior com abscissa estritamente crescente; dessa mesma base seguiram-se a conversão entre graus e radianos, as fórmulas $s = r\theta$ e $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ , o teorema do ângulo inscrito, que mede a metade do arco correspondente, e o teorema de redução à primeira volta, segundo o qual todo número real se escreve de um único modo como $\theta_0 + 2k\pi$ com $\theta_0$ em $\ico{0}{2\pi}$ . Como o axioma implica que uma volta não passa duas vezes pelo mesmo ponto, dois números determinam o mesmo ponto $P(\theta)$ exatamente quando diferem por um múltiplo inteiro de $2\pi$ .

A aula sobre as razões trigonométricas e a circunferência unitária deu duas definições do seno, do cosseno e da tangente: como quocientes entre os lados de um triângulo retângulo, que a semelhança torna independentes do triângulo, e como coordenadas de $P(\theta)$ , válidas para todo número real; demonstrou que coincidem nos ângulos agudos. Da segunda definição deduziram-se a identidade pitagórica $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , os valores notáveis de $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{\pi}{3}$ , e as simetrias da circunferência, que dão a paridade, a periodicidade e as relações com os ângulos suplementares e complementares. Daí se segue o método do ângulo de referência, que reduz o cálculo das razões de qualquer ângulo ao de um ângulo agudo.

Na aula sobre as funções trigonométricas e seus gráficos, essas razões converteram-se em funções de uma variável real. O lema dos períodos, demonstrado com a propriedade arquimediana, e a localização dos máximos provaram que $2\pi$ é o período mínimo do seno e do cosseno, e a dos zeros, que $\pi$ é o da tangente; os gráficos foram construídos desenrolando a circunferência, e a comparação das áreas de dois triângulos e de um setor deu a desigualdade $\sin x < x < \tan x$ para $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , da qual se seguem a cota $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ e as assíntotas verticais da tangente. As senoides $a \sin(b(x - c)) + d$ , obtidas do seno pelas transformações da unidade do curso I sobre as funções algébricas, modelam todo fenômeno periódico de forma simples.

A inversão e a medida dos triângulos

Ora, uma função periódica não é injetora. A aula sobre as funções trigonométricas inversas leu no axioma do percurso que o cosseno decresce estritamente em $\icc{0}{\pi}$ , porque essa é a cláusula da meia volta escrita em coordenadas; disso e da simetria dos ângulos complementares demonstrou que o seno cresce estritamente em $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ , e de ambos, que a tangente cresce em $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; definiu nesses intervalos o arco-seno, o arco-cosseno e o arco-tangente, e distinguiu a igualdade $\sin(\arcsin x) = x$ , sempre verdadeira, de $\arcsin(\sin x) = x$ , verdadeira só no intervalo principal. Com as simetrias, as inversas resolveram as equações elementares numa volta completa.

Com isso ficou tudo pronto para a aula sobre a resolução de triângulos. Colocando um vértice na origem, o vértice oposto a um lado tem coordenadas $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ ; daí saem, nesta ordem, a área $\frac{1}{2} bc \sin A$ , a lei dos senos e, com o teorema do ângulo inscrito, sua relação com o raio da circunferência circunscrita, a lei dos cossenos, que estende o teorema de Pitágoras, e a fórmula de Herão. Como o cosseno determina um ângulo de um triângulo e o seno não, o caso de dois lados e o ângulo oposto a um deles admite nenhuma, uma ou duas soluções, e o teorema do caso ambíguo as conta mediante as raízes de uma equação quadrática. Por fim, a lei dos cossenos e o desenvolvimento do quadrado da norma de uma diferença deram a medida do ângulo entre dois vetores mediante o produto escalar.

Um segundo sistema de coordenadas

A aula sobre as coordenadas polares inverteu o ponto de vista: em vez de calcular as coordenadas cartesianas de um ponto a partir de sua distância à origem e de seu ângulo, nomeou o ponto por esses dois números. Admitindo raios negativos, descreveu todas as representações de um ponto, demonstrou as fórmulas de conversão, com o arco-tangente corrigido segundo o quadrante, e obteve da lei dos cossenos a distância entre dois pontos em coordenadas polares. Os critérios de simetria e as tabelas de valores permitiram traçar cardioides, rosáceas, espirais e caracóis, e o teorema do foco e da diretriz transformou-se na equação $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ , na qual se leem o tipo, os vértices e o lado reto de cada cônica.

A figura abaixo reúne os três trechos numa só cadeia. Cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos precedentes que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes, cada um unido por um traço contínuo aos elos que nele se apoiam e por um traço pontilhado ao elo onde se estabelece, exceto os que provêm do curso I ou se admitem sem demonstração, que são desenhados como anéis. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

APercurso por comprimento de arco. Para cada número real $s$ há um único ponto $P(s)$ da circunferência unitária ao qual se chega percorrendo-a a partir de $(1, 0)$ um comprimento $\abs{s}$ , no sentido anti-horário se $s > 0$ e no horário se $s < 0$ . Avançar a partir de $P(s)$ um comprimento $t$ no sentido anti-horário leva a $P(s + t)$ , e no sentido horário, a $P(s - t)$ ; vale $P(s + 2\pi) = P(s)$ ; todo ponto da circunferência é $P(s)$ para algum $s$ ; $P(\pi) = (-1, 0)$ , e a abscissa de $P(s)$ decresce estritamente, com ordenada não negativa, quando $s$ cresce de $0$ a $\pi$ . Admite-se sem demonstração, porque se baseia no comprimento de arco e na propriedade do valor intermediário; a segunda meia volta deduz-se da primeira com as reflexões. Admitido sem demonstração nesta unidade.
BComprimentos e áreas. Todo arco tem comprimento e toda região limitada por segmentos e arcos tem área; as figuras congruentes têm a mesma medida, as medidas são aditivas, a área de uma região que contém outra não é menor, e é maior se a diferença contém um disco; os arcos correspondentes a um mesmo ângulo central são proporcionais aos raios, e o disco de raio $r$ tem área $\pi r^2$ . Admite-se sem demonstração, porque os comprimentos e as áreas curvas se definem mediante limites. Admitido sem demonstração nesta unidade.
CReflexões e rotações. Uma reflexão em relação a uma reta conserva as distâncias e os comprimentos dos arcos, e inverte o sentido de giro; a rotação de meia volta em torno da origem os conserva e conserva o sentido. Admite-se da geometria elementar. Admitido sem demonstração nesta unidade.
DGeometria elementar. Os três ângulos de um triângulo somam $\pi$ ; os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; uma semirreta que passa pelo interior de um ângulo o divide em dois que somam o ângulo dado; se o centro está dentro de um ângulo inscrito, o diâmetro que sai do vértice o divide em dois e corta o arco correspondente, e se está fora, um dos lados fica entre esse diâmetro e o outro lado; os critérios de semelhança de triângulos e o teorema de Pitágoras; e um ponto exterior ao círculo vê uma corda sob um ângulo menor que o inscrito do mesmo lado, e um interior, sob um ângulo maior. Admitem-se da geometria elementar. Admitido sem demonstração nesta unidade.
EPropriedade arquimediana. Dados dois reais positivos $p$ e $q$ , algum múltiplo natural de $q$ supera $p$ ; dela se seguem a densidade dos racionais e a existência do menor inteiro maior que um real dado. Demonstrada no curso I, na unidade sobre os conjuntos numéricos. Admitido sem demonstração nesta unidade.
FFunções e polinômios. Uma função estritamente monótona é injetora, o gráfico de sua inversa é o reflexo do seu em relação à reta $y = x$ , as transformações transladam e dilatam os gráficos, e as tabelas de sinais e as relações de Girard (de Viète) governam os sinais dos quocientes e as raízes dos polinômios. Demonstrado no curso I, na unidade sobre as funções algébricas e os polinômios. Admitido sem demonstração nesta unidade.
GGeometria analítica. A fórmula da distância, a equação da circunferência, a declividade de uma reta, os vetores com o produto escalar e a caracterização das cônicas pelo foco e pela diretriz. Demonstrado no curso I, na unidade sobre a geometria analítica do plano. Admitido sem demonstração nesta unidade.
HSimetrias. O seno é ímpar e o cosseno par; $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ , $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ , $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ , $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ e $\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ , e ambos são periódicos de período $2\pi$ . Estabelecido em: 10. Simetrias e periodicidade.

Trecho 1 Dos ângulos às funções
- Medir os ângulos pelo comprimento do arco que percorrem, relacionar o ângulo inscrito com o arco correspondente e reduzir todo número real à primeira volta.
- Definir o seno e o cosseno na circunferência unitária e demonstrar que concordam com as razões do triângulo retângulo.
- Deduzir a identidade pitagórica, os valores notáveis e as simetrias, e com elas o método do ângulo de referência.
- Estudar o seno, o cosseno e a tangente como funções: seus períodos mínimos, seus gráficos, a desigualdade $\sin x < x < \tan x$ e as senoides.
1. Medida em radianos. Com $\pi$ igual à metade do comprimento da circunferência unitária, a medida em radianos de um ângulo orientado é o comprimento, com sinal, do arco que percorre; todo número real é a medida de um ângulo, e um ângulo de $g$ graus mede $\frac{\pi g}{180}$ radianos.
  Apoia-se em: A (Percurso por comprimento de arco), B (Comprimentos e áreas). Demonstrado em: Ângulos e sua medida: graus e radianos.
2. Arco e setor. Numa circunferência de raio $r$ , um ângulo central de $\theta$ radianos, com $0 < \theta \leq 2\pi$ , corresponde a um arco de comprimento $s = r\theta$ e a um setor de área $\frac{1}{2} r^2 \theta$ .
  Usa: 1. Medida em radianos. Apoia-se em: B (Comprimentos e áreas), E (Propriedade arquimediana). Demonstrado em: Ângulos e sua medida: graus e radianos.
3. Ângulo inscrito. Um ângulo inscrito numa circunferência de raio $r$ cujo arco correspondente tem comprimento $s$ mede $\frac{s}{2r}$ ; portanto, os ângulos inscritos numa mesma corda são iguais ou suplementares conforme seus vértices estejam no mesmo arco ou em arcos distintos, e o inscrito numa semicircunferência é reto.
  Usa: 2. Arco e setor. Apoia-se em: B (Comprimentos e áreas), D (Geometria elementar). Demonstrado em: Ângulos e sua medida: graus e radianos.
4. Redução à primeira volta. Todo número real $\theta$ se escreve de um único modo como $\theta_0 + 2k\pi$ , com $k$ inteiro e $\theta_0$ em $\ico{0}{2\pi}$ ; como uma volta não repete pontos, dois ângulos são côngruos se e somente se sua diferença é um múltiplo inteiro de $2\pi$ .
  Usa: 1. Medida em radianos. Apoia-se em: A (Percurso por comprimento de arco), E (Propriedade arquimediana), C (Reflexões e rotações). Demonstrado em: Ângulos e sua medida: graus e radianos.
5. Razões de um ângulo agudo. Nos triângulos retângulos com um ângulo agudo $\alpha$ , os quocientes entre os lados dependem só de $\alpha$ , e o seno e o cosseno de $\alpha$ estão estritamente entre $0$ e $1$ .
  Apoia-se em: D (Geometria elementar). Demonstrado em: Razões trigonométricas e a circunferência unitária.
6. Seno e cosseno de um número real. Para todo número real $\theta$ , o cosseno e o seno de $\theta$ são a abscissa e a ordenada do ponto $P(\theta)$ da circunferência unitária, e a tangente é seu quociente $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ quando o cosseno não se anula; seus sinais em cada quadrante deduzem-se da propriedade da meia volta e de seu reflexo, a segunda meia volta, e os de um ângulo qualquer são os de sua redução à primeira volta.
  Usa: 1. Medida em radianos, 4. Redução à primeira volta. Apoia-se em: A (Percurso por comprimento de arco), C (Reflexões e rotações). Demonstrado em: Razões trigonométricas e a circunferência unitária.
7. Concordância das definições. Se $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ , o seno, o cosseno e a tangente definidos na circunferência unitária coincidem com os definidos num triângulo retângulo com um ângulo agudo de medida $\theta$ .
  Usa: 5. Razões de um ângulo agudo, 6. Seno e cosseno de um número real. Apoia-se em: A (Percurso por comprimento de arco), C (Reflexões e rotações), G (Geometria analítica). Demonstrado em: Razões trigonométricas e a circunferência unitária.
8. Identidade pitagórica. Para todo número real $\theta$ vale $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , e dela $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ quando $\cos \theta \neq 0$ .
  Usa: 6. Seno e cosseno de um número real. Apoia-se em: G (Geometria analítica). Demonstrado em: Razões trigonométricas e a circunferência unitária.
9. Valores notáveis. O seno e o cosseno de $\frac{\pi}{4}$ valem $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; o seno de $\frac{\pi}{6}$ e o cosseno de $\frac{\pi}{3}$ valem $\frac{1}{2}$ , e o cosseno de $\frac{\pi}{6}$ e o seno de $\frac{\pi}{3}$ valem $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
  Usa: 1. Medida em radianos, 6. Seno e cosseno de um número real. Apoia-se em: G (Geometria analítica), D (Geometria elementar), C (Reflexões e rotações). Demonstrado em: Razões trigonométricas e a circunferência unitária.
10. Simetrias e periodicidade. O seno é ímpar e o cosseno par; um ângulo e seu suplementar têm o mesmo seno e cossenos opostos, $\theta$ e $\pi + \theta$ têm senos e cossenos opostos, o seno de um ângulo é o cosseno de seu complementar, e ambos são periódicos de período $2\pi$ ; portanto, o seno e o cosseno de um ângulo são, a menos do sinal de seu quadrante, os de seu ângulo de referência.
  Usa: 4. Redução à primeira volta, 6. Seno e cosseno de um número real. Apoia-se em: A (Percurso por comprimento de arco), C (Reflexões e rotações), F (Funções e polinômios). Demonstrado em: Razões trigonométricas e a circunferência unitária.
11. Propriedades do seno e do cosseno. O seno e o cosseno têm por conjunto imagem $\icc{-1}{1}$ ; o seno se anula exatamente nos números $k\pi$ e vale $1$ exatamente nos números $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ , e o cosseno vale $1$ exatamente nos números $2k\pi$ , com $k$ inteiro.
  Usa: 4. Redução à primeira volta, 6. Seno e cosseno de um número real, 8. Identidade pitagórica. Apoia-se em: A (Percurso por comprimento de arco), H (Simetrias). Demonstrado em: As funções trigonométricas e seus gráficos.
12. Período mínimo. Se $q$ é o período mínimo de uma função, seus períodos são exatamente os números $kq$ , com $k$ natural; e $2\pi$ é o período mínimo do seno e do cosseno.
  Usa: 11. Propriedades do seno e do cosseno. Apoia-se em: E (Propriedade arquimediana). Demonstrado em: As funções trigonométricas e seus gráficos.
13. Seno, arco e tangente. Se $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , vale $\sin x < x < \tan x$ ; daí se segue que $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ para todo número real $x$ , com igualdade só em $x = 0$ .
  Usa: 2. Arco e setor, 6. Seno e cosseno de um número real, 11. Propriedades do seno e do cosseno. Apoia-se em: B (Comprimentos e áreas), G (Geometria analítica), H (Simetrias). Demonstrado em: As funções trigonométricas e seus gráficos.
14. Propriedades da tangente. A tangente é ímpar, tem período mínimo $\pi$ , anula-se exatamente nos números $k\pi$ , seu conjunto imagem é $\mathbb{R}$ , e as retas $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ são assíntotas verticais de seu gráfico.
  Usa: 8. Identidade pitagórica, 11. Propriedades do seno e do cosseno, 13. Seno, arco e tangente. Apoia-se em: A (Percurso por comprimento de arco), F (Funções e polinômios), H (Simetrias). Demonstrado em: As funções trigonométricas e seus gráficos.
15. Senoides. A senoide $y = a \sin(b(x - c)) + d$ , com $a > 0$ e $b > 0$ , obtém-se do seno mediante transformações; seu conjunto imagem é $\icc{d - a}{d + a}$ e seu período mínimo é $\frac{2\pi}{b}$ .
  Usa: 11. Propriedades do seno e do cosseno, 12. Período mínimo. Apoia-se em: F (Funções e polinômios). Demonstrado em: As funções trigonométricas e seus gráficos.
Trecho 2 A inversão e a medida dos triângulos
- Deduzir do axioma do percurso a monotonia estrita do cosseno e do seno, e dela a da tangente, em seus intervalos principais, e definir suas funções inversas.
- Distinguir a igualdade $\sin(\arcsin x) = x$ , sempre verdadeira, de $\arcsin(\sin x) = x$ , e resolver as equações elementares numa volta completa.
- Deduzir das coordenadas de um vértice a área do triângulo, a lei dos senos, a lei dos cossenos e a fórmula de Herão.
- Contar as soluções do caso ambíguo e medir o ângulo entre dois vetores com o produto escalar.
1. Monotonia e restrições bijetoras. Pela propriedade da meia volta do axioma do percurso, o cosseno decresce estritamente em $\icc{0}{\pi}$ ; disso e das simetrias, o seno cresce estritamente em $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ e a tangente em $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; restritos a esses intervalos, são bijeções sobre $\icc{-1}{1}$ , $\icc{-1}{1}$ e $\mathbb{R}$ .
  Usa: 4. Redução à primeira volta, 6. Seno e cosseno de um número real, 14. Propriedades da tangente. Apoia-se em: A (Percurso por comprimento de arco), F (Funções e polinômios), H (Simetrias). Demonstrado em: As funções trigonométricas inversas.
2. Funções inversas. O arco-seno, o arco-cosseno e o arco-tangente, inversas dessas restrições, cumprem $\sin(\arcsin x) = x$ em $\icc{-1}{1}$ , enquanto $\arcsin(\sin x) = x$ só em $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; além disso, $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ e $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ .
  Usa: 8. Identidade pitagórica, 16. Monotonia e restrições bijetoras. Apoia-se em: F (Funções e polinômios), H (Simetrias). Demonstrado em: As funções trigonométricas inversas.
3. Equações elementares. Se $-1 < c < 1$ e $\alpha = \arcsin c$ , a equação $\sin x = c$ tem em $\ico{0}{2\pi}$ exatamente duas soluções, $\pi - \alpha$ e, conforme o sinal de $\alpha$ , o próprio $\alpha$ ou $2\pi + \alpha$ ; a equação $\cos x = c$ tem ali as soluções $\arccos c$ e $2\pi - \arccos c$ .
  Usa: 16. Monotonia e restrições bijetoras, 17. Funções inversas. Apoia-se em: H (Simetrias). Demonstrado em: As funções trigonométricas inversas.
4. Área do triângulo. Com o vértice $A$ na origem e o vértice $B$ sobre o semieixo positivo das abscissas, o vértice $C$ tem coordenadas $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ , e a área do triângulo é $\frac{1}{2} bc \sin A$ .
  Usa: 6. Seno e cosseno de um número real. Apoia-se em: G (Geometria analítica), H (Simetrias). Demonstrado em: Resolução de triângulos: leis dos senos e dos cossenos.
5. Lei dos senos. Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, e o quociente comum $\frac{a}{\sin A}$ é o diâmetro $2R$ da circunferência circunscrita.
  Usa: 7. Concordância das definições, 3. Ângulo inscrito, 19. Área do triângulo. Apoia-se em: D (Geometria elementar), H (Simetrias). Demonstrado em: Resolução de triângulos: leis dos senos e dos cossenos.
6. Lei dos cossenos. Em todo triângulo vale $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ , que se reduz ao teorema de Pitágoras quando o ângulo $A$ é reto.
  Usa: 8. Identidade pitagórica, 19. Área do triângulo. Apoia-se em: G (Geometria analítica). Demonstrado em: Resolução de triângulos: leis dos senos e dos cossenos.
7. Fórmula de Herão. A área de um triângulo de lados $a$ , $b$ e $c$ e semiperímetro $s$ é $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ .
  Usa: 8. Identidade pitagórica, 19. Área do triângulo, 21. Lei dos cossenos. Apoia-se em: F (Funções e polinômios). Demonstrado em: Resolução de triângulos: leis dos senos e dos cossenos.
8. Caso ambíguo. Dados um ângulo $A$ , o lado adjacente $c$ e o lado oposto $a$ , os triângulos possíveis correspondem às raízes positivas de $b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0$ , e são nenhum, um ou dois conforme o modo como $a$ se compara com $c \sin A$ e com $c$ .
  Usa: 6. Seno e cosseno de um número real, 8. Identidade pitagórica, 21. Lei dos cossenos. Apoia-se em: F (Funções e polinômios). Demonstrado em: Resolução de triângulos: leis dos senos e dos cossenos.
9. Ângulo entre vetores. Se $\theta$ é o ângulo entre os vetores não nulos $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , vale $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ .
  Usa: 21. Lei dos cossenos. Apoia-se em: G (Geometria analítica). Demonstrado em: Resolução de triângulos: leis dos senos e dos cossenos.
Trecho 3 Um segundo sistema de coordenadas
- Descrever todas as representações polares de um ponto, admitindo raios negativos.
- Passar das coordenadas cartesianas às polares com o arco-tangente corrigido segundo o quadrante.
- Calcular distâncias em coordenadas polares e traçar curvas polares com os critérios de simetria.
- Escrever as cônicas com um foco no polo e ler em sua equação o tipo, os vértices e o lado reto.
1. Representações de um ponto. Os pares $(r_1, \theta_1)$ e $(r_2, \theta_2)$ representam o mesmo ponto distinto do polo se e somente se $r_2 = r_1$ e $\theta_2 - \theta_1$ é um múltiplo par de $\pi$ , ou então $r_2 = -r_1$ e $\theta_2 - \theta_1$ é um múltiplo ímpar de $\pi$ .
  Usa: 4. Redução à primeira volta, 6. Seno e cosseno de um número real, 8. Identidade pitagórica. Apoia-se em: H (Simetrias). Demonstrado em: Coordenadas polares e curvas polares.
2. De cartesianas a polares. Todo ponto $(x, y)$ distinto do polo tem uma única representação com $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ e $\theta$ em $\ioc{-\pi}{\pi}$ ; se $x \neq 0$ , seu ângulo é $\arctan \frac{y}{x}$ , ao qual se soma ou do qual se subtrai $\pi$ quando $x < 0$ .
  Usa: 25. Representações de um ponto, 17. Funções inversas. Apoia-se em: A (Percurso por comprimento de arco), G (Geometria analítica), H (Simetrias). Demonstrado em: Coordenadas polares e curvas polares.
3. Distância em coordenadas polares. A distância $d$ entre os pontos $(r_1, \theta_1)$ e $(r_2, \theta_2)$ cumpre $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$ , quaisquer que sejam os sinais dos raios.
  Usa: 4. Redução à primeira volta, 21. Lei dos cossenos, 25. Representações de um ponto. Apoia-se em: H (Simetrias). Demonstrado em: Coordenadas polares e curvas polares.
4. Critérios de simetria. Se a equação de uma curva polar se converte numa equivalente ao substituir $\theta$ por $-\theta$ , $\theta$ por $\pi - \theta$ ou $r$ por $-r$ , a curva é simétrica, respectivamente, em relação ao eixo polar, à reta $\theta = \frac{\pi}{2}$ ou ao polo.
  Usa: 6. Seno e cosseno de um número real. Apoia-se em: H (Simetrias). Demonstrado em: Coordenadas polares e curvas polares.
5. Equação polar das cônicas. Se $e > 0$ e $d > 0$ , os pontos cuja distância ao polo é $e$ vezes sua distância à reta $x = d$ formam o gráfico de $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ .
  Usa: 25. Representações de um ponto. Apoia-se em: G (Geometria analítica), H (Simetrias). Demonstrado em: Coordenadas polares e curvas polares.
6. Elementos da cônica polar. Na cônica $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ , o eixo polar é o eixo focal, um vértice está a distância $\frac{ed}{1 + e}$ do polo e o lado reto mede $2ed$ ; se $e < 1$ , o semieixo maior é $\frac{ed}{1 - e^2}$ .
  Usa: 28. Critérios de simetria, 29. Equação polar das cônicas. Apoia-se em: G (Geometria analítica). Demonstrado em: Coordenadas polares e curvas polares.

Rumo à trigonometria analítica. A cadeia detém-se diante do seno e do cosseno de uma soma de ângulos: as simetrias os dão só quando uma das parcelas é um múltiplo de $\frac{\pi}{2}$ . A próxima unidade deduz as fórmulas de adição e subtração, e com elas demonstra identidades, resolve em geral as equações trigonométricas e classifica as equações do segundo grau mediante a rotação de eixos.

A unidade dentro do curso

A unidade, primeira do curso II, apoia-se no curso I em pontos precisos. A redução à primeira volta é a divisão com resto da aula do curso I sobre a divisibilidade, levada aos números reais com a propriedade arquimediana da aula do curso I sobre a representação decimal dos números racionais, e a área do setor foi estendida a todos os ângulos com a densidade dos racionais da aula do curso I sobre a reta real. As inversas aplicaram os teoremas da função inversa e das transformações da aula do curso I sobre as operações com funções, e as assíntotas foram estudadas com as tabelas de sinais. A circunferência unitária, as declividades, os vetores, o produto escalar e as cônicas provêm da unidade do curso I sobre a geometria analítica do plano, cuja aula sobre as seções cônicas deu o teorema do foco e da diretriz. E a aula do curso I sobre as funções hiperbólicas antecipou a analogia que esta unidade completa: o seno e o cosseno descrevem a circunferência $x^2 + y^2 = 1$ como o seno e o cosseno hiperbólicos descrevem a hipérbole $x^2 - y^2 = 1$ .

Fica, no entanto, uma pergunta ainda não respondida, que atravessa toda a unidade: como se calculam o seno e o cosseno de uma soma de ângulos a partir dos de cada parcela? As simetrias a resolvem só quando uma das parcelas é um múltiplo de $\frac{\pi}{2}$ ; os valores de $\frac{\pi}{12}$ ou de $\frac{\pi}{10}$ exigem construções geométricas especiais; e o produto de dois números complexos na forma polar, anunciado na aula sobre as coordenadas polares, depende dela. A próxima unidade, que começa com a introdução à trigonometria analítica, responde a essa pergunta com as fórmulas de adição e subtração, e com elas demonstra identidades, resolve em geral as equações trigonométricas e classifica as equações do segundo grau mediante a rotação de eixos.