Trigonometrie, Polarkoordinaten: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über die trigonometrischen Funktionen und die Polarkoordinaten ab. Sie fasst in einer einzigen deduktiven Kette zusammen, was in ihren sechs Lektionen bewiesen wurde: die Messung der Winkel durch die Bogenlänge, die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis und ihre Folgerungen, die Untersuchung dieser Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen, die Berechnung aller Dreiecke und die Polarkoordinaten mit ihren Kurven. Sie erklärt, wie sich diese Kette auf den Kurs Algebra und Geometrie I stützt, von der Division mit Rest bis zu den Kegelschnitten und den Vektoren, und wie sie die analytische Trigonometrie der nächsten Einheit vorbereitet. In einem Abschlusstest wiederholt sie die Fertigkeiten des Eingangstests der Einführung, fügt zwei Fragen nach den Gründen der Ergebnisse hinzu und endet mit zehn Herausforderungen, schwieriger als die Aufgaben der Lektionen, die mehrere von ihnen verbinden und jeweils eine eigene Idee verlangen.

Lernziele

Die Kette der Definitionen und Sätze der Einheit rekonstruieren, vom Radiant bis zur Polargleichung der Kegelschnitte, und erkennen, von welchem Ergebnis jeder einzelne abhängt.
Die Ergebnisse der Einheit mit denen von Kurs I und mit den Problemen in Beziehung setzen, die die analytische Trigonometrie offenlässt.
Aufgaben lösen, die die Messung von Bögen, die Symmetrien und die Graphen der trigonometrischen Funktionen, ihre Umkehrfunktionen, die Dreiecksberechnung und die Polarkoordinaten verbinden.

Was die Einheit erreicht hat

Von den Winkeln zu den Funktionen

Die Einheit geht von wenigen vorausgesetzten Tatsachen aus, die man genau aufzählen sollte. Die beiden ersten erfordern die Infinitesimalrechnung: die Tatsachen über Längen und Flächeninhalte (jeder Bogen hat eine Länge und jedes von Strecken und Bögen begrenzte Gebiet einen Flächeninhalt; beide sind additiv, ändern sich nicht, wenn man die Figuren bewegt, und wachsen mit ihnen; die Bögen zu ein und demselben Mittelpunktswinkel sind proportional zu den Radien, und die Kreisscheibe vom Radius $r$ hat den Flächeninhalt $\pi r^2$ ) und das Axiom des Durchlaufens nach Bogenlänge: Zu jeder reellen Zahl $s$ gibt es genau einen Punkt $P(s)$ des Einheitskreises, den man erreicht, indem man ihn von $(1, 0)$ aus auf einer Länge $\abs{s}$ durchläuft, in der Richtung, die das Vorzeichen von $s$ angibt; dieses Durchlaufen lässt sich aneinanderfügen (ein Vorrücken um $t$ ab $P(s)$ führt zu $P(s + t)$ ), es hat die Periode $2\pi$ , erreicht alle Punkte und durchläuft in der ersten halben Drehung, die in $P(\pi) = (-1, 0)$ endet, den oberen Halbkreis mit streng fallender Abszisse. Die übrigen stammen aus der Elementargeometrie, die der Kurs nicht entwickelt: die Winkelsumme $\pi$ eines Dreiecks, die Gleichheit der Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, die Addition benachbarter Winkel und die Lage des Mittelpunkts eines Kreises in Bezug auf einen Umfangswinkel, die Ähnlichkeitssätze, der Satz des Pythagoras, die Erhaltung der Längen durch die Spiegelungen, die den Drehsinn umkehren, und durch die Halbdrehung, die ihn erhält, sowie der Vergleich der Winkel, unter denen man eine Sehne von Punkten innerhalb und außerhalb der Kreisscheibe sieht. Mit ihnen wird auch der Wert von $\pi$ angenommen, dessen Dezimaldarstellung mit 3,14159 beginnt, sodass $3 < \pi < 4$ , und seine Irrationalität. Zwei andere Tatsachen, die ebenfalls die Infinitesimalrechnung erfordern, werden in der Lektion über die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen angenommen, und nur einige Aufgaben verwenden sie, nie die Sätze der Kette: die Stetigkeit der trigonometrischen Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen, dank derer sich der Zwischenwertsatz auf sie anwenden lässt, der nicht erneut angenommen, sondern aus Kurs I zitiert wird, und die strenge Konkavität des Sinus auf jedem Intervall $\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}$ ; und die letzte gelöste Aufgabe der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse nimmt aus demselben Grund an, dass die Flächeninhalte der einbeschriebenen regelmäßigen Vielecke dem der Kreisscheibe beliebig nahe kommen. Auf dieser Grundlage definierte die Lektion über Winkel und ihre Messung die Zahl $\pi$ als die Hälfte der Länge des Einheitskreises und das Bogenmaß als die vorzeichenbehaftete Länge des durchlaufenen Bogens; durch Spiegelung der ersten halben Drehung an der $x$ -Achse bewies sie, dass das Durchlaufen in der zweiten über den unteren Halbkreis mit streng wachsender Abszisse führt; aus derselben Grundlage folgten die Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß, die Formeln $s = r\theta$ und $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ , der Umfangswinkelsatz, nach dem ein Umfangswinkel die Hälfte des zugehörigen Bogens misst, und der Satz über die Reduktion auf die erste Umdrehung, nach dem sich jede reelle Zahl auf genau eine Weise als $\theta_0 + 2k\pi$ mit $\theta_0$ in $\ico{0}{2\pi}$ schreiben lässt. Da aus dem Axiom folgt, dass eine Umdrehung nicht zweimal durch denselben Punkt geht, bestimmen zwei Zahlen genau dann denselben Punkt $P(\theta)$ , wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$ unterscheiden.

Die Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse und den Einheitskreis gab zwei Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens: als Quotienten der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die durch die Ähnlichkeit vom Dreieck unabhängig werden, und als Koordinaten von $P(\theta)$ , gültig für jede reelle Zahl; sie bewies, dass beide bei spitzen Winkeln übereinstimmen. Aus der zweiten Definition wurden der trigonometrische Pythagoras $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , die besonderen Werte bei $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ und $\frac{\pi}{3}$ sowie die Symmetrien des Kreises hergeleitet, die die Parität, die Periodizität und die Beziehungen zu den Supplement- und Komplementwinkeln liefern. Daraus folgt die Bezugswinkelmethode, die die Berechnung der Verhältnisse eines beliebigen Winkels auf die eines spitzen Winkels reduziert.

In der Lektion über die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen wurden diese Verhältnisse zu Funktionen einer reellen Variablen. Das Lemma über die Perioden, mit der archimedischen Eigenschaft bewiesen, und die Lage der Maxima zeigten, dass $2\pi$ die kleinste Periode von Sinus und Kosinus ist, und die Lage der Nullstellen, dass $\pi$ die des Tangens ist; die Graphen entstanden durch Abwickeln des Kreises, und der Vergleich der Flächeninhalte zweier Dreiecke und eines Sektors ergab die Ungleichung $\sin x < x < \tan x$ für $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , aus der die Schranke $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ und die senkrechten Asymptoten des Tangens folgen. Die Sinuskurven $a \sin(b(x - c)) + d$ , die aus dem Sinus durch die Transformationen der Einheit von Kurs I über die algebraischen Funktionen entstehen, modellieren jedes periodische Phänomen einfacher Form.

Die Umkehrung und die Berechnung der Dreiecke

Nun ist eine periodische Funktion nicht injektiv. Die Lektion über die Arkusfunktionen las aus dem Axiom des Durchlaufens ab, dass der Kosinus auf $\icc{0}{\pi}$ streng monoton fällt, weil das die Klausel der halben Drehung in Koordinaten ist; daraus und aus der Symmetrie der Komplementwinkel bewies sie, dass der Sinus auf $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ streng monoton wächst, und aus beiden, dass der Tangens auf $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ wächst; sie definierte auf diesen Intervallen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens und unterschied die Gleichung $\sin(\arcsin x) = x$ , die stets gilt, von $\arcsin(\sin x) = x$ , die nur auf dem Hauptintervall gilt. Mit den Symmetrien lösten die Umkehrfunktionen die elementaren Gleichungen in einer vollen Umdrehung.

Damit war alles bereit für die Lektion über die Dreiecksberechnung. Legt man eine Ecke in den Ursprung, so hat die einer Seite gegenüberliegende Ecke die Koordinaten $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ ; daraus ergeben sich in dieser Reihenfolge der Flächeninhalt $\frac{1}{2} bc \sin A$ , der Sinussatz und, mit dem Umfangswinkelsatz, seine Beziehung zum Radius des Umkreises, der Kosinussatz, der den Satz des Pythagoras verallgemeinert, und die heronsche Formel. Da der Kosinus einen Winkel eines Dreiecks bestimmt und der Sinus nicht, lässt der Fall zweier Seiten und des einer von ihnen gegenüberliegenden Winkels keine, eine oder zwei Lösungen zu, und der Satz über den mehrdeutigen Fall zählt sie mithilfe der Lösungen einer quadratischen Gleichung. Schließlich lieferten der Kosinussatz und die Entwicklung des Quadrats der Norm einer Differenz das Maß des Winkels zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarprodukts.

Ein zweites Koordinatensystem

Die Lektion über Polarkoordinaten kehrte den Blickwinkel um: Statt die kartesischen Koordinaten eines Punktes aus seinem Abstand zum Ursprung und seinem Winkel zu berechnen, benannte sie den Punkt durch diese beiden Zahlen. Unter Zulassung negativer Radien beschrieb sie alle Darstellungen eines Punktes, bewies die Umrechnungsformeln, mit dem je nach Quadrant korrigierten Arkustangens, und gewann aus dem Kosinussatz den Abstand zweier Punkte in Polarkoordinaten. Die Symmetriekriterien und die Wertetabellen erlaubten es, Kardioiden, Rosenkurven, Spiralen und pascalsche Schnecken zu zeichnen, und der Satz über Brennpunkt und Leitlinie verwandelte sich in die Gleichung $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ , an der man den Typ, die Scheitel und das Latus rectum jedes Kegelschnitts abliest.

Die folgende Abbildung fasst die drei Abschnitte zu einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder angewiesen ist, jede durch eine durchgezogene Linie mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen, und durch eine gepunktete mit dem Glied, in dem sie begründet wird, außer denen, die aus Kurs I stammen oder ohne Beweis angenommen werden und als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

ADurchlaufen nach Bogenlänge. Zu jeder reellen Zahl $s$ gibt es genau einen Punkt $P(s)$ des Einheitskreises, den man erreicht, indem man ihn von $(1, 0)$ aus auf einer Länge $\abs{s}$ durchläuft, gegen den Uhrzeigersinn, wenn $s > 0$ , und im Uhrzeigersinn, wenn $s < 0$ . Ein Vorrücken von $P(s)$ aus um eine Länge $t$ gegen den Uhrzeigersinn führt zu $P(s + t)$ , im Uhrzeigersinn zu $P(s - t)$ ; es gilt $P(s + 2\pi) = P(s)$ ; jeder Punkt des Kreises ist $P(s)$ für ein $s$ ; $P(\pi) = (-1, 0)$ , und die Abszisse von $P(s)$ fällt streng, bei nichtnegativer Ordinate, wenn $s$ von $0$ bis $\pi$ wächst. Es wird ohne Beweis angenommen, weil es auf der Bogenlänge und auf der Zwischenwerteigenschaft beruht; die zweite halbe Drehung wird aus der ersten mit den Spiegelungen hergeleitet. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
BLängen und Flächeninhalte. Jeder Bogen hat eine Länge und jedes von Strecken und Bögen begrenzte Gebiet einen Flächeninhalt; kongruente Figuren haben dasselbe Maß, die Maße sind additiv, der Flächeninhalt eines Gebiets, das ein anderes enthält, ist nicht kleiner, und er ist größer, wenn die Differenz eine Kreisscheibe enthält; die Bögen zu ein und demselben Mittelpunktswinkel sind proportional zu den Radien, und die Kreisscheibe vom Radius $r$ hat den Flächeninhalt $\pi r^2$ . Es wird ohne Beweis angenommen, weil Längen und krummlinig begrenzte Flächeninhalte durch Grenzwerte definiert werden. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
CSpiegelungen und Drehungen. Eine Spiegelung an einer Geraden erhält die Abstände und die Längen der Bögen und kehrt den Drehsinn um; die Halbdrehung um den Ursprung erhält sie und erhält den Drehsinn. Es wird aus der Elementargeometrie übernommen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
DElementargeometrie. Die drei Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen $\pi$ ; die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich; eine Halbgerade, die durch das Innere eines Winkels verläuft, zerlegt ihn in zwei Winkel, die zusammen den gegebenen ergeben; liegt der Mittelpunkt innerhalb eines Umfangswinkels, so zerlegt ihn der vom Scheitel ausgehende Durchmesser in zwei und schneidet den zugehörigen Bogen, und liegt er außerhalb, so liegt einer der Schenkel zwischen diesem Durchmesser und dem anderen Schenkel; die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke und der Satz des Pythagoras; und ein Punkt außerhalb der Kreisscheibe sieht eine Sehne unter einem kleineren Winkel als der Umfangswinkel auf derselben Seite, ein Punkt innerhalb unter einem größeren. Sie werden aus der Elementargeometrie übernommen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
EArchimedische Eigenschaft. Zu zwei positiven reellen Zahlen $p$ und $q$ gibt es ein natürliches Vielfaches von $q$ , das $p$ übertrifft; aus ihr folgen die Dichtheit der rationalen Zahlen und die Existenz der kleinsten ganzen Zahl, die größer als eine gegebene reelle Zahl ist. Bewiesen in Kurs I, in der Einheit über die Zahlbereiche. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
FFunktionen und Polynome. Eine streng monotone Funktion ist injektiv, der Graph ihrer Umkehrfunktion ist das Spiegelbild ihres eigenen an der Geraden $y = x$ , die Transformationen verschieben und strecken die Graphen, und die Vorzeichentabellen und die vietaschen Formeln bestimmen die Vorzeichen der Quotienten und die Nullstellen der Polynome. Bewiesen in Kurs I, in der Einheit über die algebraischen Funktionen und die Polynome. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
GAnalytische Geometrie. Die Abstandsformel, die Kreisgleichung, die Steigung einer Geraden, die Vektoren mit dem Skalarprodukt und die Charakterisierung der Kegelschnitte durch Brennpunkt und Leitlinie. Bewiesen in Kurs I, in der Einheit über die analytische Geometrie der Ebene. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
HSymmetrien. Der Sinus ist ungerade und der Kosinus gerade; $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ , $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ , $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ , $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ und $\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ , und beide sind periodisch mit der Periode $2\pi$ . Begründet in: 10. Symmetrien und Periodizität.

Abschnitt 1 Von den Winkeln zu den Funktionen
- Die Winkel durch die Länge des durchlaufenen Bogens messen, den Umfangswinkel mit dem zugehörigen Bogen in Beziehung setzen und jede reelle Zahl auf die erste Umdrehung reduzieren.
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis definieren und beweisen, dass sie mit den Verhältnissen im rechtwinkligen Dreieck übereinstimmen.
- Den trigonometrischen Pythagoras, die besonderen Werte und die Symmetrien herleiten und mit ihnen die Bezugswinkelmethode.
- Sinus, Kosinus und Tangens als Funktionen untersuchen: ihre kleinsten Perioden, ihre Graphen, die Ungleichung $\sin x < x < \tan x$ und die Sinuskurven.
1. Bogenmaß. Ist $\pi$ die Hälfte der Länge des Einheitskreises, so ist das Bogenmaß eines orientierten Winkels die vorzeichenbehaftete Länge des Bogens, den er durchläuft; jede reelle Zahl ist das Maß eines Winkels, und ein Winkel von $g$ Grad misst $\frac{\pi g}{180}$ Radiant.
  Stützt sich auf: A (Durchlaufen nach Bogenlänge), B (Längen und Flächeninhalte). Bewiesen in: Winkel und ihre Messung: Gradmaß und Bogenmaß.
2. Bogen und Sektor. In einem Kreis vom Radius $r$ gehören zu einem Mittelpunktswinkel von $\theta$ Radiant, mit $0 < \theta \leq 2\pi$ , ein Bogen der Länge $s = r\theta$ und ein Sektor mit dem Flächeninhalt $\frac{1}{2} r^2 \theta$ .
  Verwendet: 1. Bogenmaß. Stützt sich auf: B (Längen und Flächeninhalte), E (Archimedische Eigenschaft). Bewiesen in: Winkel und ihre Messung: Gradmaß und Bogenmaß.
3. Umfangswinkel. Ein Umfangswinkel in einem Kreis vom Radius $r$ , dessen zugehöriger Bogen die Länge $s$ hat, misst $\frac{s}{2r}$ ; daher sind die Umfangswinkel über derselben Sehne gleich oder supplementär, je nachdem, ob ihre Scheitel auf demselben Bogen oder auf verschiedenen Bögen liegen, und der Umfangswinkel über einem Halbkreis ist ein rechter.
  Verwendet: 2. Bogen und Sektor. Stützt sich auf: B (Längen und Flächeninhalte), D (Elementargeometrie). Bewiesen in: Winkel und ihre Messung: Gradmaß und Bogenmaß.
4. Reduktion auf die erste Umdrehung. Jede reelle Zahl $\theta$ lässt sich auf genau eine Weise als $\theta_0 + 2k\pi$ schreiben, mit ganzem $k$ und $\theta_0$ in $\ico{0}{2\pi}$ ; da eine Umdrehung keine Punkte wiederholt, haben zwei Winkel genau dann denselben Endschenkel, wenn ihre Differenz ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$ ist.
  Verwendet: 1. Bogenmaß. Stützt sich auf: A (Durchlaufen nach Bogenlänge), E (Archimedische Eigenschaft), C (Spiegelungen und Drehungen). Bewiesen in: Winkel und ihre Messung: Gradmaß und Bogenmaß.
5. Verhältnisse eines spitzen Winkels. In den rechtwinkligen Dreiecken mit einem spitzen Winkel $\alpha$ hängen die Quotienten der Seiten nur von $\alpha$ ab, und Sinus und Kosinus von $\alpha$ liegen streng zwischen $0$ und $1$ .
  Stützt sich auf: D (Elementargeometrie). Bewiesen in: Trigonometrische Verhältnisse und der Einheitskreis.
6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl. Für jede reelle Zahl $\theta$ sind Kosinus und Sinus von $\theta$ die Abszisse und die Ordinate des Punktes $P(\theta)$ des Einheitskreises, und der Tangens ist ihr Quotient $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ , wenn der Kosinus nicht verschwindet; ihre Vorzeichen in jedem Quadranten folgen aus der Eigenschaft der halben Drehung und aus ihrem Spiegelbild, der zweiten halben Drehung, und die eines beliebigen Winkels sind die seiner Reduktion auf die erste Umdrehung.
  Verwendet: 1. Bogenmaß, 4. Reduktion auf die erste Umdrehung. Stützt sich auf: A (Durchlaufen nach Bogenlänge), C (Spiegelungen und Drehungen). Bewiesen in: Trigonometrische Verhältnisse und der Einheitskreis.
7. Übereinstimmung der Definitionen. Ist $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ , so stimmen Sinus, Kosinus und Tangens, am Einheitskreis definiert, mit denen überein, die in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem spitzen Winkel vom Maß $\theta$ definiert sind.
  Verwendet: 5. Verhältnisse eines spitzen Winkels, 6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl. Stützt sich auf: A (Durchlaufen nach Bogenlänge), C (Spiegelungen und Drehungen), G (Analytische Geometrie). Bewiesen in: Trigonometrische Verhältnisse und der Einheitskreis.
8. Trigonometrischer Pythagoras. Für jede reelle Zahl $\theta$ gilt $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , und daraus folgt $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ , wenn $\cos \theta \neq 0$ .
  Verwendet: 6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl. Stützt sich auf: G (Analytische Geometrie). Bewiesen in: Trigonometrische Verhältnisse und der Einheitskreis.
9. Besondere Werte. Sinus und Kosinus von $\frac{\pi}{4}$ sind gleich $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; der Sinus von $\frac{\pi}{6}$ und der Kosinus von $\frac{\pi}{3}$ sind gleich $\frac{1}{2}$ , und der Kosinus von $\frac{\pi}{6}$ und der Sinus von $\frac{\pi}{3}$ sind gleich $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
  Verwendet: 1. Bogenmaß, 6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl. Stützt sich auf: G (Analytische Geometrie), D (Elementargeometrie), C (Spiegelungen und Drehungen). Bewiesen in: Trigonometrische Verhältnisse und der Einheitskreis.
10. Symmetrien und Periodizität. Der Sinus ist ungerade und der Kosinus gerade; ein Winkel und sein Supplementwinkel haben denselben Sinus und entgegengesetzte Kosinuswerte, $\theta$ und $\pi + \theta$ haben entgegengesetzte Sinus- und Kosinuswerte, der Sinus eines Winkels ist der Kosinus seines Komplementwinkels, und beide sind periodisch mit der Periode $2\pi$ ; daher sind Sinus und Kosinus eines Winkels bis auf das Vorzeichen seines Quadranten die seines Bezugswinkels.
  Verwendet: 4. Reduktion auf die erste Umdrehung, 6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl. Stützt sich auf: A (Durchlaufen nach Bogenlänge), C (Spiegelungen und Drehungen), F (Funktionen und Polynome). Bewiesen in: Trigonometrische Verhältnisse und der Einheitskreis.
11. Eigenschaften von Sinus und Kosinus. Sinus und Kosinus haben die Wertemenge $\icc{-1}{1}$ ; der Sinus verschwindet genau an den Stellen $k\pi$ und nimmt den Wert $1$ genau an den Stellen $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ an, und der Kosinus nimmt den Wert $1$ genau an den Stellen $2k\pi$ an, mit ganzem $k$ .
  Verwendet: 4. Reduktion auf die erste Umdrehung, 6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl, 8. Trigonometrischer Pythagoras. Stützt sich auf: A (Durchlaufen nach Bogenlänge), H (Symmetrien). Bewiesen in: Die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen.
12. Kleinste Periode. Ist $q$ die kleinste Periode einer Funktion, so sind ihre Perioden genau die Zahlen $kq$ mit natürlichem $k$ ; und $2\pi$ ist die kleinste Periode von Sinus und Kosinus.
  Verwendet: 11. Eigenschaften von Sinus und Kosinus. Stützt sich auf: E (Archimedische Eigenschaft). Bewiesen in: Die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen.
13. Sinus, Bogen und Tangens. Ist $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , so gilt $\sin x < x < \tan x$ ; daraus folgt $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ für jede reelle Zahl $x$ , mit Gleichheit nur bei $x = 0$ .
  Verwendet: 2. Bogen und Sektor, 6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl, 11. Eigenschaften von Sinus und Kosinus. Stützt sich auf: B (Längen und Flächeninhalte), G (Analytische Geometrie), H (Symmetrien). Bewiesen in: Die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen.
14. Eigenschaften des Tangens. Der Tangens ist ungerade, hat die kleinste Periode $\pi$ , verschwindet genau an den Stellen $k\pi$ , seine Wertemenge ist $\mathbb{R}$ , und die Geraden $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ sind senkrechte Asymptoten seines Graphen.
  Verwendet: 8. Trigonometrischer Pythagoras, 11. Eigenschaften von Sinus und Kosinus, 13. Sinus, Bogen und Tangens. Stützt sich auf: A (Durchlaufen nach Bogenlänge), F (Funktionen und Polynome), H (Symmetrien). Bewiesen in: Die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen.
15. Sinuskurven. Die Sinuskurve $y = a \sin(b(x - c)) + d$ mit $a > 0$ und $b > 0$ entsteht aus dem Sinus durch Transformationen; ihre Wertemenge ist $\icc{d - a}{d + a}$ und ihre kleinste Periode ist $\frac{2\pi}{b}$ .
  Verwendet: 11. Eigenschaften von Sinus und Kosinus, 12. Kleinste Periode. Stützt sich auf: F (Funktionen und Polynome). Bewiesen in: Die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen.
Abschnitt 2 Die Umkehrung und die Berechnung der Dreiecke
- Aus dem Axiom des Durchlaufens die strenge Monotonie von Kosinus und Sinus und daraus die des Tangens auf ihren Hauptintervallen herleiten und ihre Umkehrfunktionen definieren.
- Die stets gültige Gleichung $\sin(\arcsin x) = x$ von $\arcsin(\sin x) = x$ unterscheiden und die elementaren Gleichungen in einer vollen Umdrehung lösen.
- Aus den Koordinaten einer Ecke den Flächeninhalt des Dreiecks, den Sinussatz, den Kosinussatz und die heronsche Formel herleiten.
- Die Lösungen des mehrdeutigen Falls zählen und den Winkel zwischen zwei Vektoren mit dem Skalarprodukt messen.
1. Monotonie und bijektive Einschränkungen. Wegen der Eigenschaft der halben Drehung im Axiom des Durchlaufens fällt der Kosinus auf $\icc{0}{\pi}$ streng monoton; daraus und aus den Symmetrien wächst der Sinus auf $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ streng monoton und der Tangens auf $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ ; auf diese Intervalle eingeschränkt, sind sie Bijektionen auf $\icc{-1}{1}$ , $\icc{-1}{1}$ und $\mathbb{R}$ .
  Verwendet: 4. Reduktion auf die erste Umdrehung, 6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl, 14. Eigenschaften des Tangens. Stützt sich auf: A (Durchlaufen nach Bogenlänge), F (Funktionen und Polynome), H (Symmetrien). Bewiesen in: Die Arkusfunktionen.
2. Umkehrfunktionen. Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens, die Umkehrfunktionen dieser Einschränkungen, erfüllen $\sin(\arcsin x) = x$ auf $\icc{-1}{1}$ , während $\arcsin(\sin x) = x$ nur auf $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ gilt; außerdem gelten $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ und $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ .
  Verwendet: 8. Trigonometrischer Pythagoras, 16. Monotonie und bijektive Einschränkungen. Stützt sich auf: F (Funktionen und Polynome), H (Symmetrien). Bewiesen in: Die Arkusfunktionen.
3. Elementare Gleichungen. Ist $-1 < c < 1$ und $\alpha = \arcsin c$ , so hat die Gleichung $\sin x = c$ in $\ico{0}{2\pi}$ genau zwei Lösungen, $\pi - \alpha$ und, je nach dem Vorzeichen von $\alpha$ , $\alpha$ selbst oder $2\pi + \alpha$ ; die Gleichung $\cos x = c$ hat dort die Lösungen $\arccos c$ und $2\pi - \arccos c$ .
  Verwendet: 16. Monotonie und bijektive Einschränkungen, 17. Umkehrfunktionen. Stützt sich auf: H (Symmetrien). Bewiesen in: Die Arkusfunktionen.
4. Flächeninhalt des Dreiecks. Liegt die Ecke $A$ im Ursprung und die Ecke $B$ auf der positiven waagerechten Halbachse, so hat die Ecke $C$ die Koordinaten $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ , und der Flächeninhalt des Dreiecks ist $\frac{1}{2} bc \sin A$ .
  Verwendet: 6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl. Stützt sich auf: G (Analytische Geometrie), H (Symmetrien). Bewiesen in: Dreiecksberechnung: Sinussatz und Kosinussatz.
5. Sinussatz. Die Seiten eines Dreiecks sind proportional zu den Sinuswerten der gegenüberliegenden Winkel, und der gemeinsame Quotient $\frac{a}{\sin A}$ ist der Durchmesser $2R$ des Umkreises.
  Verwendet: 7. Übereinstimmung der Definitionen, 3. Umfangswinkel, 19. Flächeninhalt des Dreiecks. Stützt sich auf: D (Elementargeometrie), H (Symmetrien). Bewiesen in: Dreiecksberechnung: Sinussatz und Kosinussatz.
6. Kosinussatz. In jedem Dreieck gilt $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ , was sich auf den Satz des Pythagoras reduziert, wenn der Winkel $A$ ein rechter ist.
  Verwendet: 8. Trigonometrischer Pythagoras, 19. Flächeninhalt des Dreiecks. Stützt sich auf: G (Analytische Geometrie). Bewiesen in: Dreiecksberechnung: Sinussatz und Kosinussatz.
7. Heronsche Formel. Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten $a$ , $b$ und $c$ und dem halben Umfang $s$ ist $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ .
  Verwendet: 8. Trigonometrischer Pythagoras, 19. Flächeninhalt des Dreiecks, 21. Kosinussatz. Stützt sich auf: F (Funktionen und Polynome). Bewiesen in: Dreiecksberechnung: Sinussatz und Kosinussatz.
8. Mehrdeutiger Fall. Sind ein Winkel $A$ , die anliegende Seite $c$ und die gegenüberliegende Seite $a$ gegeben, so entsprechen die möglichen Dreiecke den positiven Lösungen von $b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0$ , und es gibt keines, eines oder zwei, je nachdem, wie sich $a$ zu $c \sin A$ und zu $c$ verhält.
  Verwendet: 6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl, 8. Trigonometrischer Pythagoras, 21. Kosinussatz. Stützt sich auf: F (Funktionen und Polynome). Bewiesen in: Dreiecksberechnung: Sinussatz und Kosinussatz.
9. Winkel zwischen Vektoren. Ist $\theta$ der Winkel zwischen den vom Nullvektor verschiedenen Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ , so gilt $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ .
  Verwendet: 21. Kosinussatz. Stützt sich auf: G (Analytische Geometrie). Bewiesen in: Dreiecksberechnung: Sinussatz und Kosinussatz.
Abschnitt 3 Ein zweites Koordinatensystem
- Alle Polardarstellungen eines Punktes beschreiben, unter Zulassung negativer Radien.
- Von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten übergehen, mit dem je nach Quadrant korrigierten Arkustangens.
- Abstände in Polarkoordinaten berechnen und Polarkurven mit den Symmetriekriterien zeichnen.
- Die Kegelschnitte mit einem Brennpunkt im Pol aufstellen und an ihrer Gleichung den Typ, die Scheitel und das Latus rectum ablesen.
1. Darstellungen eines Punktes. Die Paare $(r_1, \theta_1)$ und $(r_2, \theta_2)$ stellen genau dann denselben vom Pol verschiedenen Punkt dar, wenn $r_2 = r_1$ und $\theta_2 - \theta_1$ ein gerades Vielfaches von $\pi$ ist oder aber $r_2 = -r_1$ und $\theta_2 - \theta_1$ ein ungerades Vielfaches von $\pi$ ist.
  Verwendet: 4. Reduktion auf die erste Umdrehung, 6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl, 8. Trigonometrischer Pythagoras. Stützt sich auf: H (Symmetrien). Bewiesen in: Polarkoordinaten und Kurven in Polarkoordinaten.
2. Von kartesischen zu Polarkoordinaten. Jeder Punkt $(x, y)$ , der vom Pol verschieden ist, hat genau eine Darstellung mit $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ und $\theta$ in $\ioc{-\pi}{\pi}$ ; ist $x \neq 0$ , so ist sein Winkel $\arctan \frac{y}{x}$ , zu dem man $\pi$ addiert oder von dem man es subtrahiert, wenn $x < 0$ .
  Verwendet: 25. Darstellungen eines Punktes, 17. Umkehrfunktionen. Stützt sich auf: A (Durchlaufen nach Bogenlänge), G (Analytische Geometrie), H (Symmetrien). Bewiesen in: Polarkoordinaten und Kurven in Polarkoordinaten.
3. Abstand in Polarkoordinaten. Der Abstand $d$ der Punkte $(r_1, \theta_1)$ und $(r_2, \theta_2)$ erfüllt $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$ , welche Vorzeichen die Radien auch haben.
  Verwendet: 4. Reduktion auf die erste Umdrehung, 21. Kosinussatz, 25. Darstellungen eines Punktes. Stützt sich auf: H (Symmetrien). Bewiesen in: Polarkoordinaten und Kurven in Polarkoordinaten.
4. Symmetriekriterien. Geht die Gleichung einer Polarkurve in eine äquivalente über, wenn man $\theta$ durch $-\theta$ , $\theta$ durch $\pi - \theta$ oder $r$ durch $-r$ ersetzt, so ist die Kurve symmetrisch, und zwar bezüglich der Polarachse, der Geraden $\theta = \frac{\pi}{2}$ beziehungsweise des Pols.
  Verwendet: 6. Sinus und Kosinus einer reellen Zahl. Stützt sich auf: H (Symmetrien). Bewiesen in: Polarkoordinaten und Kurven in Polarkoordinaten.
5. Polargleichung der Kegelschnitte. Ist $e > 0$ und $d > 0$ , so bilden die Punkte, deren Abstand vom Pol das $e$ -Fache ihres Abstands von der Geraden $x = d$ ist, den Graphen von $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ .
  Verwendet: 25. Darstellungen eines Punktes. Stützt sich auf: G (Analytische Geometrie), H (Symmetrien). Bewiesen in: Polarkoordinaten und Kurven in Polarkoordinaten.
6. Bestimmungsstücke des Kegelschnitts in Polarform. Im Kegelschnitt $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ ist die Polarachse die Fokalachse, ein Scheitel liegt im Abstand $\frac{ed}{1 + e}$ vom Pol, und das Latus rectum misst $2ed$ ; ist $e < 1$ , so ist die große Halbachse $\frac{ed}{1 - e^2}$ .
  Verwendet: 28. Symmetriekriterien, 29. Polargleichung der Kegelschnitte. Stützt sich auf: G (Analytische Geometrie). Bewiesen in: Polarkoordinaten und Kurven in Polarkoordinaten.

Auf dem Weg zur analytischen Trigonometrie. Die Kette hält vor Sinus und Kosinus einer Winkelsumme an: Die Symmetrien liefern sie nur, wenn einer der Summanden ein Vielfaches von $\frac{\pi}{2}$ ist. Die nächste Einheit leitet die Additionstheoreme her, beweist mit ihnen Identitäten, löst die trigonometrischen Gleichungen allgemein und klassifiziert die Gleichungen zweiten Grades mithilfe der Drehung der Achsen.

Die Einheit im Kurs

Die Einheit, die erste von Kurs II, stützt sich an genau bestimmten Stellen auf Kurs I. Die Reduktion auf die erste Umdrehung ist die Division mit Rest aus der Lektion von Kurs I über die Teilbarkeit, übertragen auf die reellen Zahlen mit der archimedischen Eigenschaft aus der Lektion von Kurs I über die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen, und der Flächeninhalt des Sektors wurde mit der Dichtheit der rationalen Zahlen aus der Lektion von Kurs I über die Zahlengerade auf alle Winkel ausgedehnt. Die Umkehrfunktionen wandten die Sätze über die Umkehrfunktion und über die Transformationen aus der Lektion von Kurs I über die Funktionsverknüpfung an, und die Asymptoten wurden mit den Vorzeichentabellen untersucht. Der Einheitskreis, die Steigungen, die Vektoren, das Skalarprodukt und die Kegelschnitte stammen aus der Einheit von Kurs I über die analytische Geometrie der Ebene, deren Lektion über Kegelschnitte den Satz über Brennpunkt und Leitlinie lieferte. Und die Lektion von Kurs I über die Hyperbelfunktionen nahm die Analogie vorweg, die diese Einheit vervollständigt: Sinus und Kosinus beschreiben den Kreis $x^2 + y^2 = 1$ so, wie Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus die Hyperbel $x^2 - y^2 = 1$ beschreiben.

Es bleibt jedoch eine unbeantwortete Frage, die die ganze Einheit durchzieht: Wie berechnet man Sinus und Kosinus einer Winkelsumme aus denen der einzelnen Summanden? Die Symmetrien beantworten sie nur, wenn einer der Summanden ein Vielfaches von $\frac{\pi}{2}$ ist; die Werte bei $\frac{\pi}{12}$ oder bei $\frac{\pi}{10}$ erfordern besondere geometrische Konstruktionen; und das Produkt zweier komplexer Zahlen in Polarform, in der Lektion über die Polarkoordinaten angekündigt, hängt von ihr ab. Die nächste Einheit, die mit der Lektion Einführung in die analytische Trigonometrie beginnt, beantwortet diese Frage mit den Additionstheoremen, beweist mit ihnen Identitäten, löst die trigonometrischen Gleichungen allgemein und klassifiziert die Gleichungen zweiten Grades mithilfe der Drehung der Achsen.