Analytische Trigonometrie: Einführung

Zusammenfassung

Diese Lektion eröffnet die Einheit über analytische Trigonometrie, mit einem Eingangstest, der den Ausgangspunkt misst; die Einheit verwandelt die trigonometrischen Funktionen, die in der vorangehenden Einheit als Funktionen eines Winkels untersucht wurden, in einen algebraischen Kalkül mit eigenen Regeln: Identitäten, die für jeden Winkel gelten, Formeln, die die Verhältnisse einer Summe durch die ihrer Summanden ausdrücken, Umformungen von Summen in Produkte, Gleichungen und Ungleichungen sowie ihre Verwendung, um Winkel zwischen Geraden zu messen und die Kegelschnitte zu erkennen, deren Achsen schräg liegen. Sie stellt die sechs Lektionen der Einheit in ihrer logischen Reihenfolge vor, verfolgt die Geschichte dieser Ideen von den Sehnentafeln der griechischen Astronomie bis zur analytischen Formulierung Eulers, formuliert das Problem, aus dem sie entstanden, nämlich die Sehne eines beliebigen Bogens aus einigen wenigen bekannten Sehnen zu berechnen, und löst es in einem Beispiel mit den Werkzeugen, die die Einheit beweisen wird. Sie schließt, indem sie zeigt, wo diese Ideen im übrigen Kurs, in anderen Kursen der Website und in Wissenschaft und Technik wiederkehren.

Lernziele

Den Inhalt jeder Lektion der Einheit beschreiben und erklären, wie jede auf den vorangehenden aufbaut.
Die Sehnentafeln, den Übergang von der Sehne zum Sinus und die analytische Formulierung der trigonometrischen Funktionen in ihren historischen Zusammenhang einordnen.
Das Problem formulieren, eine Sehne aus anderen bekannten Sehnen zu berechnen, und in seiner Lösung die Formeln für die Differenz und für den halben Winkel erkennen.
Anwendungen der analytischen Trigonometrie in der Analysis, in der Mechanik, in der Programmierung und in der linearen Algebra erkennen.

Eingangstest

Bevor man die Einheit durcharbeitet, empfiehlt es sich, den Ausgangspunkt zu messen. Diese Selbstüberprüfung wird nicht benotet: Sie dient dazu, zu erkennen, wo man verweilen sollte. Die ersten neun Fragen betreffen die sechs Lektionen der Einheit, je zwei die Lektionen über die Identitäten, über die Additionstheoreme und über die Gleichungen, welche die übrigen tragen, und je eine die anderen drei; die zehnte ist ein Modellierungsproblem, das verlangt, eine Situation aus einem Sachzusammenhang mit der Doppelwinkelformel aufzustellen. Dieselben Fertigkeiten werden am Ende in der Lektion zur Synthese mit anderen Daten erneut gemessen. Die letzten drei prüfen, was die Einheit aus der vorangehenden Einheit und aus Kurs I als bekannt voraussetzt: die Werte am Einheitskreis, die Arkusfunktionen und das Skalarprodukt.