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Topos Uranos
Deutsch

Grundlegende trigonometrische Identitäten

Zusammenfassung

Diese Lektion eröffnet die analytische Trigonometrie, die die algebraischen Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen untersucht. Sie definiert genau, was eine Identität ist, eine Gleichheit, die auf der ganzen gemeinsamen Definitionsmenge ihrer beiden Seiten gilt, und stellt die grundlegenden Identitäten zusammen: die Kehrwertidentitäten, die Quotientenidentitäten, die pythagoreischen Identitäten, die Paritätsidentitäten und die Kofunktionsidentitäten, die sich außerdem als Längen von Strecken am Einheitskreis lesen lassen. Sie lehrt das Verfahren, eine Identität zu beweisen, indem man eine Seite in die andere oder beide in denselben Ausdruck umformt, und zeigt, warum es nicht zulässig ist, von der Identität auszugehen und sie zu quadrieren; eine einzige Ausnahme, ein Gegenbeispiel, genügt, um eine falsche Identität zu widerlegen. Sie drückt jede Funktion durch eine andere aus, mit dem Vorzeichen, das der Quadrant festlegt, vereinfacht Ausdrücke unter Beachtung der Definitionsmenge, verwandelt algebraische Wurzeln durch Substitutionen in trigonometrische Funktionen und erkennt, indem sie den Parameter eliminiert, im Punkt (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) eine Ellipse und im Punkt (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) eine Hyperbel.

Lernziele

  1. Eine trigonometrische Identität genau definieren, ihre gemeinsame Definitionsmenge bestimmen und sie von einer Gleichung unterscheiden, und die grundlegenden Identitäten zusammenstellen und beweisen, auch in ihrer geometrischen Deutung als Strecken.
  2. Identitäten beweisen, indem man eine Seite in die andere oder beide in einen gemeinsamen Ausdruck umformt, ungültige Schlüsse erkennen und eine falsche Identität mit einem Gegenbeispiel widerlegen.
  3. Jede trigonometrische Funktion durch eine andere ausdrücken, mit dem Vorzeichen, das dem Quadranten entspricht, und Ausdrücke unter Erhaltung ihrer Definitionsmenge vereinfachen.
  4. Trigonometrische Substitutionen einsetzen, um Ausdrücke mit Wurzeln umzuformen, und den Parameter in den trigonometrischen Parametrisierungen der Ellipse und der Hyperbel eliminieren.

Was eine Identität ist

Manche Gleichheiten zwischen trigonometrischen Funktionen gelten für jede reelle Zahl, wie sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, bewiesen in der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse und den Einheitskreis; andere, wie sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{2}, nur für einige Werte, die man in der Lektion über die Arkusfunktionen zu finden gelernt hat. Der Unterschied ist grundsätzlicher Art: Die erste sagt etwas über alle Zahlen aus, die zweite stellt eine Frage. Nun verlangt die Wendung „für jede reelle Zahl“ eine Präzisierung, denn viele trigonometrische Ausdrücke sind nicht für alle Zahlen definiert.

Eine trigonometrische Identität ist eine Gleichheit zwischen zwei aus trigonometrischen Funktionen gebildeten Ausdrücken, die für alle Werte der Variablen gilt, an denen beide Seiten definiert sind. Die Menge dieser Werte ist die gemeinsame Definitionsmenge der Identität. Eine Gleichheit, die nur für einige Werte der gemeinsamen Definitionsmenge gilt, ist eine Gleichung, und diese Werte sind ihre Lösungen.

Die Definitionsmenge ist keine Nebensache. Der Tangens ist dort definiert, wo der Kosinus nicht verschwindet, und der Kotangens dort, wo der Sinus nicht verschwindet; folglich ist das Produkt der beiden genau dann definiert, wenn xx kein ganzzahliges Vielfaches von π2\frac{\pi}{2} ist, und dort hat es den Wert 11:

tan⁡xcot⁡x=1,x≠kπ2\tan x \cot x = 1, \qquad x \neq \frac{k\pi}{2}

In den Vielfachen von π2\frac{\pi}{2} sagt die Identität nichts aus, weil ihre linke Seite keine Zahl bezeichnet. Ebenso ist sin⁡xtan⁡x=cos⁡x\frac{\sin x}{\tan x} = \cos x eine Identität auf ihrer gemeinsamen Definitionsmenge, die die Vielfachen von π2\frac{\pi}{2} ausschließt; dennoch sind die Funktionen f(x)=sin⁡xtan⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\tan x} und g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x nicht gleich, denn nach der Lektion von Kurs I über die Funktionsverknüpfung haben zwei gleiche Funktionen dieselbe Definitionsmenge, und die zweite ist zum Beispiel bei x=0x = 0 definiert. Eine Identität vergleicht also zwei Ausdrücke nur dort, wo beide einen Sinn haben.

Die grundlegenden Identitäten

Die folgenden Identitäten ergeben sich unmittelbar aus den Definitionen und den Sätzen der vorangehenden Einheit; alle übrigen lassen sich aus ihnen herleiten.

SatzGrundlegende Identitäten

Auf der gemeinsamen Definitionsmenge jeder Gleichheit gelten die folgenden Kehrwertidentitäten, Quotientenidentitäten und pythagoreischen Identitäten. Außerdem sind Sinus, Tangens, Kosekans und Kotangens ungerade Funktionen und Kosinus und Sekans gerade Funktionen; und jede Funktion von π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta ist ihre Kofunktion von θ\theta, wobei Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens, Sekans und Kosekans jeweils Kofunktionen voneinander sind.

sin⁡θcsc⁡θ=1,cos⁡θsec⁡θ=1,tan⁡θcot⁡θ=1\sin \theta \csc \theta = 1, \qquad \cos \theta \sec \theta = 1, \qquad \tan \theta \cot \theta = 1
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ,1+cot⁡2θ=csc⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \qquad 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, \qquad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
sec⁡(−θ)=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \sec \theta, \qquad \csc(-\theta) = -\csc \theta, \qquad \cot(-\theta) = -\cot \theta
sec⁡(π2−θ)=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \csc \theta, \qquad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sec \theta, \qquad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta

Alles lässt sich am Punkt P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse ablesen: Die vier übrigen Funktionen wurden dort als Quotienten seiner Koordinaten definiert, und der dort bewiesene Satz über die Symmetrien von Sinus und Kosinus liefert die Spiegelbilder von P(θ)P(\theta) an der xx-Achse und an der Geraden y=xy = x. Die übrigen Identitäten erhält man, indem man Quotienten und Kehrwerte bildet. Die Abbildung verwendet einen spitzen Winkel.

Beweis

  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}

    Die Kehrwertidentitäten und die Quotientenidentitäten sind die Definitionen von Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans: Jede dieser Funktionen ist dort definiert, wo ihr Nenner nicht verschwindet, und auf dieser Menge hat das Produkt einer Funktion mit ihrem Kehrwert den Wert 11. In der Abbildung sind Sinus und Kosinus die Koordinaten von P(θ)P(\theta).

  2. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1→sin⁡2θcos⁡2θ+1=1cos⁡2θ,1+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}

    Der Punkt P(θ)P(\theta) hat vom Ursprung den Abstand 11: Das ist die erste pythagoreische Identität, bewiesen in der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse. Wo cos⁡θ≠0\cos \theta \neq 0, teilt man ihre beiden Seiten durch cos⁡2θ\cos^2 \theta, und wo sin⁡θ≠0\sin \theta \neq 0, durch sin⁡2θ\sin^2 \theta; mit den Identitäten des vorangehenden Schritts erhält man die anderen beiden.

  3. P(−θ)=(cos⁡θ,−sin⁡θ)\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}

    Das Spiegelbild von P(θ)P(\theta) an der xx-Achse ist P(−θ)P(-\theta): Nach dem Satz über die Symmetrien ist der Kosinus gerade und der Sinus ungerade. Insbesondere liegt −θ-\theta genau dann in der Definitionsmenge jeder Funktion, wenn θ\theta darin liegt, weil die Nullstellen von Sinus und Kosinus symmetrisch liegen.

  4. sec⁡(−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=1−sin⁡θ=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=cos⁡θ−sin⁡θ=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta

    Bildet man Kehrwerte und Quotienten, so erscheint ein Minuszeichen bei den Funktionen, deren Ausdruck den Sinus genau einmal enthält: Der Sekans ist gerade, und Kosekans, Tangens und Kotangens sind ungerade.

  5. P(π2−θ)=(sin⁡θ,cos⁡θ)\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}

    Das Spiegelbild von P(θ)P(\theta) an der Geraden y=xy = x ist P(π2−θ)P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right): Nach dem Satz über die Symmetrien vertauscht diese Spiegelung Sinus und Kosinus.

  6. sec⁡(π2−θ)=1sin⁡θ=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta

    Bildet man Kehrwerte und Quotienten, so vertauschen sich auch Sekans und Kosekans sowie Tangens und Kotangens. Die Definitionsmengen entsprechen einander: π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta liegt genau dann in der Definitionsmenge des Sekans, wenn θ\theta in der des Kosekans liegt, weil cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta; ebenso bei den übrigen.

Die sechs Funktionen als Strecken

Die Namen Tangens und Sekans stammen aus der Geometrie: Für einen spitzen Winkel sind sie Längen von Strecken auf einer Tangente und auf einer Sekante des Einheitskreises. Diese klassische Figur vereint in einer einzigen Zeichnung die sechs Funktionen und die drei pythagoreischen Identitäten.

SatzDie sechs Verhältnisse als Strecken

Es seien 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}, PP der Punkt P(θ)P(\theta) des Einheitskreises, QQ der Fußpunkt des Lotes von diesem Punkt auf die xx-Achse, A=(1,0)A = (1, 0) und B=(0,1)B = (0, 1). Die Gerade, die den Endschenkel enthält, schneidet die vertikale Tangente in AA in einem Punkt TT und die waagerechte Tangente in BB in einem Punkt SS. Dann sind Kosinus, Sinus, Tangens, Sekans, Kotangens und Kosekans von θ\theta der Reihe nach die Längen der Strecken von OO nach QQ, von QQ nach PP, von AA nach TT, von OO nach TT, von BB nach SS und von OO nach SS; und der Satz des Pythagoras im Dreieck mit den Ecken OO, AA und TT sowie in dem mit den Ecken OO, BB und SS ist der Reihe nach die zweite und die dritte pythagoreische Identität.

Man geht die Figur Strecke für Strecke durch. Das Werkzeug ist dasjenige, das in der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse die Bedeutung des Tangens geliefert hat: Die Gerade, die den Endschenkel enthält, geht durch den Ursprung und hat die Steigung tan⁡θ\tan \theta, sodass ihre Gleichung y=xtan⁡θy = x \tan \theta lautet.

Beweis

  1. P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),Q=(cos⁡θ,0)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)

    Nach Definition sind die Koordinaten von PP der Kosinus und der Sinus; die waagerechte Strecke von OO nach QQ misst die Abszisse und die vertikale Strecke von QQ nach PP die Ordinate, beide positiv im ersten Quadranten.

  2. T=(1,tan⁡θ)\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}

    Die Tangente an den Kreis in AA ist die Gerade x=1x = 1. Setzt man x=1x = 1 in die Gleichung des Endschenkels ein, so erhält man TT: Die Strecke von AA nach TT auf der Tangente misst tan⁡θ\tan \theta.

  3. T=sec⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)

    Der Punkt TT ist der Punkt P(θ)P(\theta), multipliziert mit sec⁡θ\sec \theta, weil sec⁡θcos⁡θ=1\sec \theta \cos \theta = 1. Da P(θ)P(\theta) vom Ursprung den Abstand 11 hat, hat TT den Abstand sec⁡θ\sec \theta: Die Strecke von OO nach TT auf der Sekante misst den Sekans.

  4. 12+tan⁡2θ=sec⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}

    Das Dreieck mit den Ecken OO, AA und TT ist rechtwinklig in AA, mit den Katheten 11 und tan⁡θ\tan \theta und der Hypotenuse sec⁡θ\sec \theta. Der Satz des Pythagoras in diesem Dreieck ist die zweite pythagoreische Identität.

  5. S=(cot⁡θ,1)=csc⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}

    Die Tangente in BB ist die Gerade y=1y = 1. Setzt man y=1y = 1 in y=xtan⁡θy = x \tan \theta ein, so ergibt sich x=cot⁡θx = \cot \theta; und da csc⁡θsin⁡θ=1\csc \theta \sin \theta = 1, ist der Punkt SS gleich P(θ)P(\theta), multipliziert mit csc⁡θ\csc \theta. Folglich misst die Strecke von BB nach SS den Kotangens und die von OO nach SS den Kosekans.

  6. 12+cot⁡2θ=csc⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}

    Das Dreieck mit den Ecken OO, BB und SS ist rechtwinklig in BB, mit den Katheten 11 und cot⁡θ\cot \theta und der Hypotenuse csc⁡θ\csc \theta: Aus ihm folgt die dritte pythagoreische Identität. Sein Winkel in OO misst π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta, und in diesem Dreieck ist der Kotangens von θ\theta die Gegenkathete: Er ist der Tangens des Komplementwinkels.

An der Abbildung liest man auch ab, dass Sekans und Kosekans eines spitzen Winkels größer als 11 sind, weil sie Hypotenusen von Dreiecken mit einer Kathete der Länge 11 sind, und dass der Tangens kleiner als der Sekans ist. Die erste pythagoreische Identität ist ebenso der Satz des Pythagoras im Dreieck mit den Ecken OO, QQ und PP.