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Topos Uranos
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Identidades trigonométricas fundamentales

Resumen

Esta clase abre la trigonometría analítica, que estudia las relaciones algebraicas entre las funciones trigonométricas. Define con precisión qué es una identidad, una igualdad que se cumple en todo el dominio común de sus dos miembros, y reúne las identidades fundamentales: las recíprocas, las de cociente, las pitagóricas, las de paridad y las de cofunción, que se leen además como longitudes de segmentos en la circunferencia unitaria. Enseña el método para demostrar una identidad, transformando un miembro en el otro o ambos en una misma expresión, y muestra por qué no es válido partir de la identidad y elevarla al cuadrado; una sola excepción, un contraejemplo, basta para refutar una identidad falsa. Expresa cada función en términos de otra, con el signo que fija el cuadrante, simplifica expresiones cuidando el dominio, convierte raíces algebraicas en funciones trigonométricas mediante sustituciones y, eliminando el parámetro, reconoce en el punto (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) una elipse y en el punto (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) una hipérbola.

Objetivos de aprendizaje

  1. Definir con precisión una identidad trigonométrica, determinar su dominio común y distinguirla de una ecuación, y reunir y demostrar las identidades fundamentales, también en su lectura geométrica como segmentos.
  2. Demostrar identidades transformando un miembro en el otro o ambos en una expresión común, reconocer razonamientos inválidos y refutar una identidad falsa con un contraejemplo.
  3. Expresar cada función trigonométrica en términos de otra, con el signo que corresponde al cuadrante, y simplificar expresiones conservando su dominio.
  4. Emplear sustituciones trigonométricas para transformar expresiones con raíces, y eliminar el parámetro en las parametrizaciones trigonométricas de la elipse y de la hipérbola.

Qué es una identidad

Algunas igualdades entre funciones trigonométricas se cumplen para todo número real, como sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, demostrada en la clase sobre las razones trigonométricas y la circunferencia unitaria; otras, como sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{2}, solo para algunos valores, que en la clase sobre las funciones trigonométricas inversas se aprendió a encontrar. La diferencia es de naturaleza: la primera afirma algo de todos los números, y la segunda plantea una pregunta. Ahora bien, la frase «para todo número real» exige una precisión, porque muchas expresiones trigonométricas no están definidas en todos los números.

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre dos expresiones construidas con funciones trigonométricas que se cumple para todos los valores de la variable en los que ambos miembros están definidos. El conjunto de esos valores es el dominio común de la identidad. Una igualdad que se cumple solo para algunos valores del dominio común es una ecuación, y esos valores son sus soluciones.

El dominio no es un detalle. La tangente está definida donde el coseno no se anula, y la cotangente, donde no se anula el seno; por tanto, el producto de ambas está definido exactamente cuando xx no es múltiplo entero de π2\frac{\pi}{2}, y allí vale 11:

tan⁡xcot⁡x=1,x≠kπ2\tan x \cot x = 1, \qquad x \neq \frac{k\pi}{2}

En los múltiplos de π2\frac{\pi}{2} la identidad no afirma nada, porque su primer miembro no designa ningún número. Del mismo modo, sin⁡xtan⁡x=cos⁡x\frac{\sin x}{\tan x} = \cos x es una identidad en su dominio común, que excluye los múltiplos de π2\frac{\pi}{2}; sin embargo, las funciones f(x)=sin⁡xtan⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\tan x} y g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x no son iguales, porque según la clase del curso I sobre las operaciones con funciones dos funciones iguales tienen el mismo dominio, y la segunda está definida, por ejemplo, en x=0x = 0. Una identidad, por tanto, compara dos expresiones solo donde ambas tienen sentido.

Las identidades fundamentales

Las identidades siguientes se obtienen directamente de las definiciones y de los teoremas de la unidad anterior; todas las demás se deducen de ellas.

TeoremaIdentidades fundamentales

En el dominio común de cada igualdad se cumplen las identidades recíprocas, las de cociente y las pitagóricas siguientes. Además, el seno, la tangente, la cosecante y la cotangente son funciones impares, y el coseno y la secante son funciones pares; y cada función de π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta es su cofunción de θ\theta, donde el seno y el coseno, la tangente y la cotangente, la secante y la cosecante son cofunciones una de otra.

sin⁡θcsc⁡θ=1,cos⁡θsec⁡θ=1,tan⁡θcot⁡θ=1\sin \theta \csc \theta = 1, \qquad \cos \theta \sec \theta = 1, \qquad \tan \theta \cot \theta = 1
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ,1+cot⁡2θ=csc⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \qquad 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, \qquad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
sec⁡(−θ)=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \sec \theta, \qquad \csc(-\theta) = -\csc \theta, \qquad \cot(-\theta) = -\cot \theta
sec⁡(π2−θ)=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \csc \theta, \qquad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sec \theta, \qquad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta

Todo se lee en el punto P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) de la clase sobre las razones trigonométricas: las cuatro funciones restantes se definieron allí como cocientes de sus coordenadas, y el teorema de las simetrías del seno y del coseno, demostrado en ella, da los reflejos de P(θ)P(\theta) respecto del eje xx y de la recta y=xy = x. Las demás identidades se obtienen tomando cocientes y recíprocos. La figura usa un ángulo agudo.

Demostración

  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}

    Las identidades recíprocas y las de cociente son las definiciones de la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante: cada una está definida donde no se anula su denominador, y en ese dominio el producto de una función por su recíproca vale 11. En la figura, el seno y el coseno son las coordenadas de P(θ)P(\theta).

  2. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1→sin⁡2θcos⁡2θ+1=1cos⁡2θ,1+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}

    El punto P(θ)P(\theta) está a distancia 11 del origen: es la primera identidad pitagórica, demostrada en la clase sobre las razones trigonométricas. Donde cos⁡θ≠0\cos \theta \neq 0, se dividen sus dos miembros entre cos⁡2θ\cos^2 \theta, y donde sin⁡θ≠0\sin \theta \neq 0, entre sin⁡2θ\sin^2 \theta; por las identidades del paso anterior se obtienen las otras dos.

  3. P(−θ)=(cos⁡θ,−sin⁡θ)\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}

    El reflejo de P(θ)P(\theta) respecto del eje xx es P(−θ)P(-\theta): por el teorema de las simetrías, el coseno es par y el seno es impar. En particular, −θ-\theta está en el dominio de cada función exactamente cuando lo está θ\theta, porque los ceros del seno y del coseno son simétricos.

  4. sec⁡(−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=1−sin⁡θ=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=cos⁡θ−sin⁡θ=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta

    Al tomar recíprocos y cocientes, un signo menos aparece en las funciones cuya expresión contiene el seno una sola vez: la secante es par, y la cosecante, la tangente y la cotangente son impares.

  5. P(π2−θ)=(sin⁡θ,cos⁡θ)\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}

    El reflejo de P(θ)P(\theta) respecto de la recta y=xy = x es P(π2−θ)P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right): por el teorema de las simetrías, ese reflejo intercambia el seno y el coseno.

  6. sec⁡(π2−θ)=1sin⁡θ=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta

    Al tomar recíprocos y cocientes se intercambian también la secante y la cosecante, y la tangente y la cotangente. Los dominios se corresponden: π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta está en el dominio de la secante si y solo si θ\theta está en el de la cosecante, porque cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta, y lo mismo ocurre con las demás.

Las seis funciones como segmentos

Los nombres de la tangente y de la secante provienen de la geometría: para un ángulo agudo son longitudes de segmentos sobre una recta tangente y sobre una recta secante a la circunferencia unitaria. Esa figura clásica reúne en un solo dibujo las seis funciones y las tres identidades pitagóricas.

TeoremaLas seis razones como segmentos

Sean 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}, PP el punto P(θ)P(\theta) de la circunferencia unitaria, QQ el pie de su perpendicular al eje xx, A=(1,0)A = (1, 0) y B=(0,1)B = (0, 1). La recta que contiene al lado terminal corta a la tangente vertical en AA en un punto TT, y a la tangente horizontal en BB en un punto SS. Entonces el coseno, el seno, la tangente, la secante, la cotangente y la cosecante de θ\theta son, respectivamente, las longitudes de los segmentos que van de OO a QQ, de QQ a PP, de AA a TT, de OO a TT, de BB a SS y de OO a SS; y el teorema de Pitágoras en el triángulo de vértices OO, AA y TT, y en el de vértices OO, BB y SS, es, respectivamente, la segunda y la tercera identidad pitagórica.

Se recorre la figura segmento a segmento. La herramienta es la que en la clase sobre las razones trigonométricas dio el significado de la tangente: la recta que contiene al lado terminal pasa por el origen y tiene pendiente tan⁡θ\tan \theta, de modo que su ecuación es y=xtan⁡θy = x \tan \theta.

Demostración

  1. P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),Q=(cos⁡θ,0)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)

    Por definición, las coordenadas de PP son el coseno y el seno; el segmento horizontal que va de OO a QQ mide la abscisa, y el vertical que va de QQ a PP, la ordenada, ambas positivas en el primer cuadrante.

  2. T=(1,tan⁡θ)\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}

    La tangente a la circunferencia en AA es la recta x=1x = 1. Sustituyendo x=1x = 1 en la ecuación del lado terminal se obtiene TT: el segmento que va de AA a TT, sobre la recta tangente, mide tan⁡θ\tan \theta.

  3. T=sec⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)

    El punto TT es el punto P(θ)P(\theta) multiplicado por sec⁡θ\sec \theta, porque sec⁡θcos⁡θ=1\sec \theta \cos \theta = 1. Como P(θ)P(\theta) está a distancia 11 del origen, TT está a distancia sec⁡θ\sec \theta: el segmento que va de OO a TT, sobre la recta secante, mide la secante.

  4. 12+tan⁡2θ=sec⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}

    El triángulo de vértices OO, AA y TT es rectángulo en AA, con catetos 11 y tan⁡θ\tan \theta e hipotenusa sec⁡θ\sec \theta. El teorema de Pitágoras en él es la segunda identidad pitagórica.

  5. S=(cot⁡θ,1)=csc⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}

    La tangente en BB es la recta y=1y = 1. Sustituyendo y=1y = 1 en y=xtan⁡θy = x \tan \theta resulta x=cot⁡θx = \cot \theta; y como csc⁡θsin⁡θ=1\csc \theta \sin \theta = 1, el punto SS es P(θ)P(\theta) multiplicado por csc⁡θ\csc \theta. Por tanto, el segmento que va de BB a SS mide la cotangente, y el que va de OO a SS, la cosecante.

  6. 12+cot⁡2θ=csc⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}

    El triángulo de vértices OO, BB y SS es rectángulo en BB, con catetos 11 y cot⁡θ\cot \theta e hipotenusa csc⁡θ\csc \theta: de él se sigue la tercera identidad pitagórica. Su ángulo en OO mide π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta, y en él la cotangente de θ\theta es el cateto opuesto: es la tangente del complementario.

En la figura se lee también que la secante y la cosecante de un ángulo agudo son mayores que 11, porque son hipotenusas de triángulos con un cateto de longitud 11, y que la tangente es menor que la secante. La primera identidad pitagórica es, del mismo modo, el teorema de Pitágoras en el triángulo de vértices OO, QQ y PP.