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Topos Uranos
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Fórmulas de suma y diferencia, ángulo doble y ángulo mitad

Resumen

Esta clase demuestra las fórmulas que expresan el seno, el coseno y la tangente de una suma o de una diferencia de ángulos mediante las razones de cada ángulo. La primera, la del coseno de una diferencia, se obtiene calculando de dos maneras la longitud de una cuerda de la circunferencia unitaria: con la fórmula de la distancia en coordenadas cartesianas y con la de la distancia en coordenadas polares, que muestra que la cuerda depende solo de la diferencia de los ángulos. De ella se deducen, con la paridad y con las simetrías de los ángulos complementarios, las demás fórmulas de suma y diferencia, y de estas, las del ángulo doble, las de reducción de potencias, las del ángulo mitad, con el signo fijado por el cuadrante, y las del ángulo triple. Con ellas se calculan valores exactos, como los de π12\frac{\pi}{12} y π5\frac{\pi}{5}. Por último, la sustitución t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} expresa el seno y el coseno como fracciones racionales en tt, da una parametrización racional de la circunferencia unitaria y, con ella, la fórmula que genera todas las ternas pitagóricas.

Objetivos de aprendizaje

  1. Demostrar la fórmula del coseno de una diferencia mediante la longitud de una cuerda de la circunferencia unitaria, y deducir de ella las del seno y la tangente de una suma o diferencia, con sus condiciones de validez.
  2. Deducir las fórmulas del ángulo doble, de reducción de potencias, del ángulo mitad y del ángulo triple, y elegir el signo de una raíz cuadrada según el cuadrante del ángulo.
  3. Calcular valores exactos de las razones trigonométricas de ángulos no notables, como π12\frac{\pi}{12}, 5π12\frac{5\pi}{12} y π5\frac{\pi}{5}, reduciéndolos a ecuaciones polinómicas cuando sea necesario.
  4. Expresar el seno y el coseno mediante la tangente del ángulo mitad, obtener la parametrización racional de la circunferencia unitaria y generar con ella todas las ternas pitagóricas.

El coseno de una diferencia

Las simetrías demostradas en la clase sobre las razones trigonométricas y la circunferencia unitaria, como cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta o sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta, relacionan las razones de un ángulo con las de otro que se obtiene sumándole o restándole un ángulo cuadrantal. Ahora bien, esas igualdades son casos particulares de un problema general: calcular las razones de α+β\alpha + \beta y de α−β\alpha - \beta a partir de las de α\alpha y de β\beta, cualesquiera que sean estos números. Conviene advertir desde el principio que las razones no se reparten sobre la suma: sin⁡(π6+π3)=sin⁡π2=1\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1, mientras que sin⁡π6+sin⁡π3=1+32\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, que es mayor que 11. La fórmula correcta mezcla senos y cosenos, y la clave para obtenerla es una cuerda de la circunferencia unitaria.

Como en el axioma del recorrido por longitud de arco de la clase sobre los ángulos y su medida, P(θ)P(\theta) designa el punto de la circunferencia unitaria que se alcanza recorriendo desde (1,0)(1, 0) un arco de longitud ∣θ∣\abs{\theta}, en sentido antihorario si θ>0\theta > 0 y horario si θ<0\theta < 0; por la definición de la clase citada, P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right).

TeoremaCoseno de una diferencia

Para todos los números reales α\alpha y β\beta se cumple cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.

La distancia entre P(α)P(\alpha) y P(β)P(\beta) se calcula primero con sus coordenadas cartesianas y después con sus coordenadas polares, que son (1,α)(1, \alpha) y (1,β)(1, \beta); al igualar los dos resultados se obtiene la fórmula.

Demostración

  1. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = \left( \resaltar{\cos \alpha - \cos \beta} \right)^2 + \left( \resaltar{\sin \alpha - \sin \beta} \right)^2

    Sea dd la distancia entre P(α)P(\alpha) y P(β)P(\beta). Por la fórmula de la distancia de la clase del curso I sobre la ecuación de la recta, su cuadrado es la suma de los cuadrados de las diferencias de las coordenadas.

  2. d2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2cos⁡αcos⁡β−2sin⁡αsin⁡β=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)d^2 = \left( \resaltar{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} \right) + \left( \resaltar{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta} \right) - 2 \cos \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta = \dato{c}{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)}

    Desarrollamos los dos cuadrados y agrupamos el seno y el coseno de cada ángulo; por la identidad pitagórica, cada grupo vale 11.

  3. d2=1+1−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \resaltar{\cos(\alpha - \beta)} = \dato{p}{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}

    Por el teorema de la distancia en coordenadas polares, de la clase sobre las coordenadas polares, aplicado con r1=r2=1r_1 = r_2 = 1, la misma distancia depende solo de la diferencia de los ángulos. Geométricamente, el giro de ángulo −β-\beta alrededor del origen lleva P(β)P(\beta) a (1,0)(1, 0) y P(α)P(\alpha) a P(α−β)P(\alpha - \beta), y conserva las distancias: las dos cuerdas de la figura son iguales.

  4. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)↔cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\resaltar{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)} = \resaltar{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)} \leftrightarrow \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

    Igualamos las dos expresiones de d2d^2, restamos 22 y dividimos entre −2-2.

La demostración no exige ninguna condición sobre α\alpha y β\beta: el teorema de la distancia en coordenadas polares vale para ángulos cualesquiera, y si P(α)=P(β)P(\alpha) = P(\beta) ambas expresiones de d2d^2 son nulas. Tampoco hay círculo vicioso: ese teorema se demostró con el teorema del coseno, que a su vez se obtuvo colocando el triángulo en un sistema de coordenadas, sin usar fórmulas de suma de ángulos. El camino puede recorrerse también al revés: si los lados bb y cc de un triángulo salen del origen con inclinaciones β\beta y α\alpha, el cuadrado de la distancia entre sus extremos es b2+c2−2bc(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right), y quien dispone de la fórmula del coseno de una diferencia obtiene de ello el teorema del coseno de la clase sobre la resolución de triángulos.