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Topos Uranos
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Identidades trigonométricas fundamentais

Resumo

Esta aula abre a trigonometria analítica, que estuda as relações algébricas entre as funções trigonométricas. Define com precisão o que é uma identidade, uma igualdade que se cumpre em todo o domínio comum de seus dois membros, e reúne as identidades fundamentais: as recíprocas, as de quociente, as pitagóricas, as de paridade e as de cofunção, que se leem além disso como comprimentos de segmentos na circunferência unitária. Ensina o método para demonstrar uma identidade, transformando um membro no outro ou ambos numa mesma expressão, e mostra por que não é válido partir da identidade e elevá-la ao quadrado; uma só exceção, um contraexemplo, basta para refutar uma identidade falsa. Expressa cada função em termos de outra, com o sinal que o quadrante fixa, simplifica expressões cuidando do domínio, converte raízes algébricas em funções trigonométricas mediante substituições e, eliminando o parâmetro, reconhece no ponto (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) uma elipse e no ponto (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) uma hipérbole.

Objetivos de aprendizagem

  1. Definir com precisão uma identidade trigonométrica, determinar seu domínio comum e distingui-la de uma equação, e reunir e demonstrar as identidades fundamentais, também em sua leitura geométrica como segmentos.
  2. Demonstrar identidades transformando um membro no outro ou ambos numa expressão comum, reconhecer raciocínios inválidos e refutar uma identidade falsa com um contraexemplo.
  3. Expressar cada função trigonométrica em termos de outra, com o sinal que corresponde ao quadrante, e simplificar expressões conservando seu domínio.
  4. Empregar substituições trigonométricas para transformar expressões com raízes, e eliminar o parâmetro nas parametrizações trigonométricas da elipse e da hipérbole.

O que é uma identidade

Algumas igualdades entre funções trigonométricas se cumprem para todo número real, como sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, demonstrada na aula sobre as razões trigonométricas e a circunferência unitária; outras, como sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{2}, só para alguns valores, que na aula sobre as funções trigonométricas inversas se aprendeu a encontrar. A diferença é de natureza: a primeira afirma algo de todos os números, e a segunda formula uma pergunta. Ora, a frase «para todo número real» exige uma precisão, porque muitas expressões trigonométricas não estão definidas em todos os números.

Uma identidade trigonométrica é uma igualdade entre duas expressões construídas com funções trigonométricas que se cumpre para todos os valores da variável nos quais ambos os membros estão definidos. O conjunto desses valores é o domínio comum da identidade. Uma igualdade que se cumpre só para alguns valores do domínio comum é uma equação, e esses valores são suas soluções.

O domínio não é um detalhe. A tangente está definida onde o cosseno não se anula, e a cotangente, onde não se anula o seno; portanto, o produto de ambas está definido exatamente quando xx não é múltiplo inteiro de π2\frac{\pi}{2}, e ali vale 11:

tan⁡xcot⁡x=1,x≠kπ2\tan x \cot x = 1, \qquad x \neq \frac{k\pi}{2}

Nos múltiplos de π2\frac{\pi}{2} a identidade não afirma nada, porque seu primeiro membro não designa nenhum número. Do mesmo modo, sin⁡xtan⁡x=cos⁡x\frac{\sin x}{\tan x} = \cos x é uma identidade em seu domínio comum, que exclui os múltiplos de π2\frac{\pi}{2}; no entanto, as funções f(x)=sin⁡xtan⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\tan x} e g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x não são iguais, porque, segundo a aula do curso I sobre as operações com funções, duas funções iguais têm o mesmo domínio, e a segunda está definida, por exemplo, em x=0x = 0. Uma identidade, portanto, compara duas expressões só onde ambas têm sentido.

As identidades fundamentais

As identidades a seguir obtêm-se diretamente das definições e dos teoremas da unidade precedente; todas as demais se deduzem delas.

TeoremaIdentidades fundamentais

No domínio comum de cada igualdade cumprem-se as identidades recíprocas, as de quociente e as pitagóricas indicadas abaixo. Além disso, o seno, a tangente, a cossecante e a cotangente são funções ímpares, e o cosseno e a secante são funções pares; e cada função de π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta é sua cofunção de θ\theta, onde o seno e o cosseno, a tangente e a cotangente, a secante e a cossecante são cofunções uma da outra.

sin⁡θcsc⁡θ=1,cos⁡θsec⁡θ=1,tan⁡θcot⁡θ=1\sin \theta \csc \theta = 1, \qquad \cos \theta \sec \theta = 1, \qquad \tan \theta \cot \theta = 1
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ,1+cot⁡2θ=csc⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \qquad 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, \qquad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
sec⁡(−θ)=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \sec \theta, \qquad \csc(-\theta) = -\csc \theta, \qquad \cot(-\theta) = -\cot \theta
sec⁡(π2−θ)=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \csc \theta, \qquad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sec \theta, \qquad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta

Tudo se lê no ponto P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) da aula sobre as razões trigonométricas: as quatro funções restantes foram definidas ali como quocientes de suas coordenadas, e o teorema das simetrias do seno e do cosseno, demonstrado nela, dá os reflexos de P(θ)P(\theta) em relação ao eixo xx e à reta y=xy = x. As demais identidades obtêm-se tomando quocientes e recíprocos. A figura usa um ângulo agudo.

Demonstração

  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}

    As identidades recíprocas e as de quociente são as definições da tangente, da cotangente, da secante e da cossecante: cada uma está definida onde não se anula seu denominador, e nesse domínio o produto de uma função por sua recíproca vale 11. Na figura, o seno e o cosseno são as coordenadas de P(θ)P(\theta).

  2. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1→sin⁡2θcos⁡2θ+1=1cos⁡2θ,1+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}

    O ponto P(θ)P(\theta) está a distância 11 da origem: é a primeira identidade pitagórica, demonstrada na aula sobre as razões trigonométricas. Onde cos⁡θ≠0\cos \theta \neq 0, dividem-se seus dois membros por cos⁡2θ\cos^2 \theta, e onde sin⁡θ≠0\sin \theta \neq 0, por sin⁡2θ\sin^2 \theta; pelas identidades do passo precedente obtêm-se as outras duas.

  3. P(−θ)=(cos⁡θ,−sin⁡θ)\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}

    O reflexo de P(θ)P(\theta) em relação ao eixo xx é P(−θ)P(-\theta): pelo teorema das simetrias, o cosseno é par e o seno é ímpar. Em particular, −θ-\theta está no domínio de cada função exatamente quando θ\theta está, porque os zeros do seno e do cosseno são simétricos.

  4. sec⁡(−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=1−sin⁡θ=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=cos⁡θ−sin⁡θ=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta

    Ao tomar recíprocos e quocientes, um sinal de menos aparece nas funções cuja expressão contém o seno uma só vez: a secante é par, e a cossecante, a tangente e a cotangente são ímpares.

  5. P(π2−θ)=(sin⁡θ,cos⁡θ)\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}

    O reflexo de P(θ)P(\theta) em relação à reta y=xy = x é P(π2−θ)P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right): pelo teorema das simetrias, esse reflexo troca o seno e o cosseno.

  6. sec⁡(π2−θ)=1sin⁡θ=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta

    Ao tomar recíprocos e quocientes trocam-se também a secante e a cossecante, e a tangente e a cotangente. Os domínios se correspondem: π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta está no domínio da secante se e somente se θ\theta está no da cossecante, porque cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta, e o mesmo ocorre com as demais.

As seis funções como segmentos

Os nomes da tangente e da secante provêm da geometria: para um ângulo agudo, são comprimentos de segmentos sobre uma reta tangente e sobre uma reta secante à circunferência unitária. Essa figura clássica reúne num só desenho as seis funções e as três identidades pitagóricas.

TeoremaAs seis razões como segmentos

Sejam 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}, PP o ponto P(θ)P(\theta) da circunferência unitária, QQ o pé de sua perpendicular ao eixo xx, A=(1,0)A = (1, 0) e B=(0,1)B = (0, 1). A reta que contém o lado terminal corta a tangente vertical em AA num ponto TT, e a tangente horizontal em BB num ponto SS. Então o cosseno, o seno, a tangente, a secante, a cotangente e a cossecante de θ\theta são, respectivamente, os comprimentos dos segmentos que vão de OO a QQ, de QQ a PP, de AA a TT, de OO a TT, de BB a SS e de OO a SS; e o teorema de Pitágoras no triângulo de vértices OO, AA e TT, e no de vértices OO, BB e SS, é, respectivamente, a segunda e a terceira identidade pitagórica.

Percorre-se a figura segmento por segmento. A ferramenta é a que, na aula sobre as razões trigonométricas, deu o significado da tangente: a reta que contém o lado terminal passa pela origem e tem coeficiente angular tan⁡θ\tan \theta, de modo que sua equação é y=xtan⁡θy = x \tan \theta.

Demonstração

  1. P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),Q=(cos⁡θ,0)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)

    Por definição, as coordenadas de PP são o cosseno e o seno; o segmento horizontal que vai de OO a QQ mede a abscissa, e o vertical que vai de QQ a PP, a ordenada, ambas positivas no primeiro quadrante.

  2. T=(1,tan⁡θ)\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}

    A tangente à circunferência em AA é a reta x=1x = 1. Substituindo x=1x = 1 na equação do lado terminal, obtém-se TT: o segmento que vai de AA a TT, sobre a reta tangente, mede tan⁡θ\tan \theta.

  3. T=sec⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)

    O ponto TT é o ponto P(θ)P(\theta) multiplicado por sec⁡θ\sec \theta, porque sec⁡θcos⁡θ=1\sec \theta \cos \theta = 1. Como P(θ)P(\theta) está a distância 11 da origem, TT está a distância sec⁡θ\sec \theta: o segmento que vai de OO a TT, sobre a reta secante, mede a secante.

  4. 12+tan⁡2θ=sec⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}

    O triângulo de vértices OO, AA e TT é retângulo em AA, com catetos 11 e tan⁡θ\tan \theta e hipotenusa sec⁡θ\sec \theta. O teorema de Pitágoras nele é a segunda identidade pitagórica.

  5. S=(cot⁡θ,1)=csc⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}

    A tangente em BB é a reta y=1y = 1. Substituindo y=1y = 1 em y=xtan⁡θy = x \tan \theta, resulta x=cot⁡θx = \cot \theta; e como csc⁡θsin⁡θ=1\csc \theta \sin \theta = 1, o ponto SS é P(θ)P(\theta) multiplicado por csc⁡θ\csc \theta. Portanto, o segmento que vai de BB a SS mede a cotangente, e o que vai de OO a SS, a cossecante.

  6. 12+cot⁡2θ=csc⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}

    O triângulo de vértices OO, BB e SS é retângulo em BB, com catetos 11 e cot⁡θ\cot \theta e hipotenusa csc⁡θ\csc \theta: dele decorre a terceira identidade pitagórica. Seu ângulo em OO mede π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta, e nele a cotangente de θ\theta é o cateto oposto: é a tangente do complementar.

Na figura lê-se também que a secante e a cossecante de um ângulo agudo são maiores que 11, porque são hipotenusas de triângulos com um cateto de comprimento 11, e que a tangente é menor que a secante. A primeira identidade pitagórica é, do mesmo modo, o teorema de Pitágoras no triângulo de vértices OO, QQ e PP.