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Topos Uranos
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Razões trigonométricas e a circunferência unitária

Resumo

Esta aula define o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo de duas maneiras. A primeira, como quocientes entre os lados de um triângulo retângulo, vale para os ângulos agudos, e demonstra-se por semelhança que não depende do triângulo escolhido. A segunda, como coordenadas do ponto em que o lado terminal do ângulo corta a circunferência unitária, vale para todo número real e coincide com a primeira nos ângulos agudos. Dela se deduzem os sinais em cada quadrante, a identidade pitagórica, os valores notáveis dos ângulos de π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4} e π3\frac{\pi}{3}, que se obtêm do meio triângulo equilátero e do meio quadrado, e as simetrias do seno e do cosseno, que se demonstram refletindo o ponto sobre a circunferência e permitem calcular as razões de qualquer ângulo por meio do seu ângulo de referência.

Objetivos de aprendizagem

  1. Definir as seis razões trigonométricas de um ângulo agudo num triângulo retângulo e demonstrar, por semelhança, que não dependem do triângulo.
  2. Definir o seno, o cosseno e as demais razões de um ângulo qualquer por meio da circunferência unitária, reconhecer a tangente como coeficiente angular do lado terminal e demonstrar que ambas as definições coincidem nos ângulos agudos.
  3. Demonstrar a identidade pitagórica, os valores notáveis e as simetrias do seno e do cosseno, e empregá-los para calcular as razões de qualquer ângulo com o método do ângulo de referência.
  4. Obter todas as razões de um ângulo a partir de uma delas e do quadrante, e aplicar as razões a problemas de alturas, distâncias e áreas.

As razões de um ângulo agudo

Num triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa, e os outros dois, catetos. Os ângulos internos de um triângulo somam um ângulo raso, que mede π\pi; este fato da geometria elementar foi admitido na aula sobre os ângulos e sua medida. Se isto é assim, os dois ângulos não retos de um triângulo retângulo somam π2\frac{\pi}{2}, e cada um deles é agudo, isto é, mede entre 00 e π2\frac{\pi}{2}. Em relação a um desses ângulos agudos, de medida α\alpha, um dos catetos é o cateto oposto, que não toca o seu vértice, e o outro é o cateto adjacente, que forma com a hipotenusa os lados do ângulo.

Seja α\alpha um ângulo agudo de um triângulo retângulo de hipotenusa cc, cujo cateto oposto a α\alpha mede aa e cujo cateto adjacente mede bb. O seno, o cosseno e a tangente de α\alpha são, respectivamente, o quociente entre o cateto oposto e a hipotenusa, entre o cateto adjacente e a hipotenusa, e entre o cateto oposto e o adjacente.
sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=ab\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

Os seus inversos chamam-se cossecante, secante e cotangente: csc⁡α=ca\csc \alpha = \frac{c}{a}, sec⁡α=cb\sec \alpha = \frac{c}{b} e cot⁡α=ba\cot \alpha = \frac{b}{a}. As seis chamam-se razões trigonométricas, porque são razões, isto é, quocientes, entre os lados de um triângulo. A definição, no entanto, levanta uma dúvida: há infinitos triângulos retângulos com um ângulo agudo de medida α\alpha, grandes e pequenos, e se cada um desse um quociente distinto, as palavras “o seno de α\alpha” não designariam número algum. O teorema seguinte dissipa a dúvida.

TeoremaAs razões não dependem do triângulo

Se dois triângulos retângulos têm um ângulo agudo da mesma medida α\alpha, o quociente entre dois lados quaisquer do primeiro é igual ao quociente entre os lados correspondentes do segundo. Em consequência, o seno, o cosseno e a tangente de α\alpha, e os seus inversos, dependem apenas de α\alpha. Além disso, 0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1 e 0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1.

Sejam dois triângulos retângulos com um ângulo agudo α\alpha, o primeiro de catetos a1a_1 e b1b_1 e hipotenusa c1c_1, e o segundo de catetos a2a_2 e b2b_2 e hipotenusa c2c_2, onde a1a_1 e a2a_2 são os catetos opostos a α\alpha. Admitem-se os critérios de semelhança de triângulos da geometria elementar, os mesmos que, na aula do curso I sobre a equação da reta, garantiram que o coeficiente angular não depende dos pontos escolhidos.

Demonstração

  1. a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}

    Os dois triângulos têm dois ângulos iguais, o reto e o de medida α\alpha; pelo critério de semelhança de dois ângulos, são semelhantes, e os seus lados correspondentes são proporcionais: existe um número k>0k > 0 tal que cada lado do segundo é kk vezes o lado correspondente do primeiro.

  2. a2c2=ka1kc1=a1c1\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}

    O quociente entre o cateto oposto e a hipotenusa é o mesmo em ambos os triângulos, porque o fator kk se simplifica.

  3. b2c2=kb1kc1=b1c1\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}

    O mesmo ocorre com o quociente entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

  4. a2b2=ka1kb1=a1b1\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}

    E com o quociente entre os dois catetos. Portanto, o seno, o cosseno e a tangente, e com eles os seus inversos, tomam o mesmo valor nos dois triângulos: dependem apenas de α\alpha.

  5. c2=a2+b2→0<ac<1,0<bc<1c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1

    Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos, e supera cada um deles: a hipotenusa é maior que cada cateto, e os dois quocientes com a hipotenusa estão entre 00 e 11.

O teorema permite calcular as razões de um ângulo com qualquer triângulo retângulo que o contenha, e escolher o mais cômodo. Em particular, o cateto oposto a um dos ângulos agudos é o cateto adjacente ao outro, e daí decorre uma relação entre as razões de dois ângulos que somam π2\frac{\pi}{2}, chamados complementares.

ExemploAs razões dos dois ângulos agudos

Num triângulo retângulo de catetos 33 e 44, seja α\alpha o ângulo oposto ao cateto 33 e β\beta o oposto ao cateto 44. Calcular as suas razões e compará-las.

Demonstração

  1. c=32+42=25=5c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}

    Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa mede 55.

  2. sin⁡α=35,cos⁡α=45,tan⁡α=34\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}

    Para α\alpha, o cateto oposto é 33 e o adjacente é 44.

  3. sin⁡β=45,cos⁡β=35,tan⁡β=43\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}

    Para β\beta, os papéis dos catetos trocam-se: o oposto é 44 e o adjacente é 33.

  4. sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α=cot⁡α\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha

    Como α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}, o seno de cada ângulo é o cosseno do outro, e a tangente de cada um é a cotangente do outro. O mesmo ocorre em todo triângulo retângulo, porque a troca dos catetos não depende das suas medidas.

Daqui provêm os nomes: o cosseno é o seno do complemento, a cotangente é a tangente do complemento e a cossecante é a secante do complemento.