Ângulos e sua medida: graus e radianos

Ângulos orientados

Na geometria elementar, um ângulo é a figura formada por duas semirretas com uma origem comum, e a sua medida está entre $0^\circ$ e $180^\circ$. Para estudar as rotações, como a de uma roda, a dos ponteiros de um relógio ou a da Terra em torno do seu eixo, essa noção não basta: interessa quanto se girou e em que sentido, e uma rotação pode dar várias voltas. Por isso considera-se o ângulo como o resultado de uma rotação.

Um ângulo orientado é determinado por uma semirreta, chamada lado inicial, que gira em torno da sua origem, chamada vértice, até ocupar uma posição final, chamada lado terminal, juntamente com a rotação efetuada. O ângulo é positivo se a rotação se faz no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (sentido anti-horário), e negativo se se faz no sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário). O ângulo nulo é aquele que não gira.

Um mesmo par de lados pode corresponder a muitos ângulos orientados: o lado terminal ocupa a mesma posição se se gira um quarto de volta no sentido anti-horário, três quartos de volta no sentido horário ou um quarto de volta mais uma volta completa. Esses ângulos são distintos, porque descrevem rotações distintas, ainda que terminem no mesmo lado; a terceira seção precisa como se relacionam.

O sistema sexagesimal

A medida mais antiga dos ângulos divide a volta completa em $360$ arcos iguais, e chama grau o ângulo que abrange cada um deles: um ângulo mede $g$ graus se o seu arco é $g$ vezes o arco de um grau, de modo que a medida em graus é proporcional ao comprimento do arco. Cada grau divide-se em $60$ minutos, e cada minuto, em $60$ segundos. O sistema provém da astronomia babilônica, que contava em base sessenta, como se explica na aula do curso I sobre os sistemas de numeração posicional; o número $360$ tem a vantagem de ser divisível por $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$ e $12$, entre outros. Um ângulo reto mede $90^\circ$, um ângulo raso mede $180^\circ$ e uma volta completa, $360^\circ$; um ângulo negativo mede-se com o sinal de menos, de modo que um quarto de volta no sentido horário mede $-90^\circ$. O ângulo de 40 graus, 15 minutos e 36 segundos, que se abrevia escrevendo depois de cada número o símbolo de grau, um apóstrofo para os minutos e dois para os segundos, mede em graus o que segue, isto é, 40,26 graus:

O número $360$ é, no entanto, uma convenção: nada na geometria do círculo o distingue de outro número. As fórmulas do comprimento de um arco e da área de um setor, e mais adiante as das funções trigonométricas, simplificam-se se os ângulos forem medidos de um modo que nasce da própria circunferência.

O radiano

A ideia é medir um ângulo pelo comprimento do arco que ele abrange numa circunferência de raio $1$ centrada no seu vértice. Isso exige saber o que é o comprimento de um arco, e aí aparece uma dificuldade: um arco não é uma união de segmentos, e o seu comprimento define-se como o valor de que se aproximam os comprimentos das poligonais inscritas nele quando os seus lados se tornam cada vez mais curtos, isto é, mediante um limite. O seu estudo cabe ao curso de Cálculo II, onde se calculam comprimentos de curvas e áreas de regiões limitadas por curvas. Aqui admitem-se os fatos que seguem.

Fato admitido (comprimentos e áreas no círculo). Todo arco de circunferência tem um comprimento, e toda região limitada por segmentos e arcos tem uma área. As figuras congruentes têm o mesmo comprimento ou a mesma área; se uma figura se decompõe em duas que não se sobrepõem, a sua medida é a soma das medidas das partes; e se uma região contém outra, a sua área não é menor, e é maior se a diferença contém algum disco. Além disso, se duas circunferências têm raios $r$ e $R$, os arcos que um mesmo ângulo central abrange nelas são proporcionais aos raios, e a área de um disco de raio $r$ é $\pi r^2$.

Esse fato admite-se sem demonstração, porque os comprimentos dos arcos e as áreas das regiões curvas definem-se mediante limites e calculam-se com a integral, no curso de Cálculo II. A sua última parte supõe conhecido o número $\pi$, que se define agora: o número $\pi$ é a metade do comprimento da circunferência unitária, isto é, da circunferência de raio $1$. Pela proporcionalidade dos arcos com os raios, aplicada ao ângulo de uma volta completa, a circunferência de raio $r$ tem comprimento $2\pi r$, e o quociente entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro é sempre $\pi$. Admite-se também que $\pi$ é irracional, e que a sua representação decimal começa por 3,14159; em particular, $3 < \pi < 4$.

Para medir os ângulos é preciso, além disso, percorrer a circunferência por comprimento de arco: partir de um ponto e avançar sobre ela um comprimento dado, num sentido ou no outro, e saber a que ponto se chega. Tudo o que esta unidade diz dos ângulos e das funções trigonométricas repousa nesse percurso, de modo que convém enunciar com precisão o que se admite sobre ele. Enuncia-se no plano cartesiano, para a circunferência unitária $x^2 + y^2 = 1$ e o seu ponto $A = (1, 0)$; como os comprimentos não mudam ao mover as figuras, vale igualmente para qualquer circunferência de raio $1$ e qualquer ponto de partida.

Axioma (percurso por comprimento de arco). Para cada número real $s$ existe um único ponto $P(s)$ da circunferência unitária ao qual se chega partindo de $A = (1, 0)$ e percorrendo sobre ela um comprimento $\abs{s}$, no sentido anti-horário se $s > 0$ e no sentido horário se $s < 0$, dando tantas voltas quantas forem necessárias; para $s = 0$ tem-se $P(0) = A$. Esse percurso tem as quatro propriedades a seguir.

1. Encadeamento: se a partir do ponto $P(s)$ se percorre um comprimento $t \geq 0$ no sentido anti-horário, chega-se a $P(s + t)$; se se percorre no sentido horário, chega-se a $P(s - t)$.
2. Periodicidade: uma volta completa, em qualquer sentido, percorre o comprimento $2\pi$ da circunferência e devolve ao ponto de partida; isto é, $P(s + 2\pi) = P(s)$ para todo número real $s$.
3. Meia volta: o percurso anti-horário passa primeiro pela semicircunferência superior, da direita para a esquerda. Precisamente, $P(\pi) = (-1, 0)$, e se $0 \leq s < t \leq \pi$, os pontos $P(s)$ e $P(t)$ têm ordenada não negativa e a abscissa de $P(s)$ é maior que a de $P(t)$.
4. Recobrimento: todo ponto da circunferência unitária é $P(s)$ para algum número real $s$.

O axioma admite-se sem demonstração pela mesma razão que o fato enunciado antes dele: o comprimento de um arco define-se mediante um limite, e as suas propriedades demonstram-se no curso de Cálculo II; o recobrimento, que afirma que ao percorrer a circunferência não se salta nenhum ponto, repousa além disso na propriedade do valor intermediário das funções contínuas, que se demonstra no curso de Cálculo I. A propriedade da meia volta tem uma leitura geométrica simples. Se $(x, y)$ está na circunferência unitária, o quadrado da sua distância ao ponto $A$ é o que segue:

Daí, dizer que a abscissa decresce estritamente ao longo da semicircunferência superior equivale a dizer que a corda que une $A$ ao ponto alcançado cresce estritamente com o arco, até se converter num diâmetro ao fim de meia volta. Quando, na aula sobre as razões trigonométricas, o cosseno de $s$ for definido como a abscissa de $P(s)$, essa propriedade dirá que o cosseno é estritamente decrescente em $\icc{0}{\pi}$: essa monotonia não se deduz, mas é a própria cláusula da meia volta lida em coordenadas. Ora, deste axioma, dos fatos sobre comprimentos e áreas e do fato que se admite a seguir sobre as reflexões deduz-se tudo o mais que se usa do percurso: nesta aula, o comportamento da segunda meia volta e que uma volta não passa duas vezes pelo mesmo ponto; na aula sobre as funções trigonométricas inversas, a monotonia do seno e da tangente.

Fato admitido (reflexões e rotação de meia volta). Uma reflexão em relação a uma reta conserva as distâncias e, com elas, os comprimentos dos arcos, mas inverte o sentido de rotação: transforma um percurso anti-horário de uma circunferência centrada num ponto dessa reta num percurso horário do mesmo comprimento, e reciprocamente. A rotação de meia volta em torno de um ponto, que é a composição das reflexões em relação a duas retas perpendiculares que passam por ele, conserva as distâncias, os comprimentos e também o sentido de rotação.

Esse fato pertence à geometria elementar dos movimentos do plano, que este curso não desenvolve. Em coordenadas, a reflexão em relação ao eixo $x$ é a transformação $(x, y) \mapsto (x, -y)$; leva a circunferência unitária nela mesma, porque $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$, e deixa fixo o ponto $A = (1, 0)$. Com ela, a segunda meia volta do percurso obtém-se da primeira.

Seja um ângulo orientado com vértice no centro $O$ da circunferência unitária, e seja $A$ o ponto em que o lado inicial corta essa circunferência. Quando o lado gira, o ponto $A$ percorre um arco da circunferência, como no axioma enunciado acima. A medida em radianos do ângulo é o comprimento desse arco, com sinal positivo se a rotação é anti-horária e negativo se é horária; se a rotação dá várias voltas, cada volta completa contribui com o comprimento $2\pi$ da circunferência.

Um ângulo medido em radianos é um número real adimensional: é o quociente entre um comprimento de arco e o comprimento do raio, que vale $1$. Por isso escreve-se simplesmente $\theta = 2$ para um ângulo de dois radianos; quando se quer insistir na unidade de medida, escreve-se 2 rad. Em contrapartida, a medida em graus indica-se sempre com o seu símbolo, como em $30^\circ$. Reciprocamente, todo número real é a medida de algum ângulo orientado: pelo axioma do percurso, para cada $\theta$ o ponto $A$ pode percorrer a circunferência um comprimento $\abs{\theta}$ no sentido que indica o sinal de $\theta$, dando tantas voltas completas quantas forem necessárias, e a semirreta que vai do vértice ao ponto alcançado é o lado terminal.

A conversão entre graus e radianos

Como a volta completa mede $360^\circ$ e também $2\pi$ radianos, e como as duas medidas são proporcionais ao comprimento do arco que o ângulo abrange na circunferência unitária (a de graus pela definição do grau, e a de radianos porque é esse comprimento), as duas medidas de um ângulo são proporcionais.

Na prática, para passar de graus a radianos multiplica-se por $\frac{\pi}{180}$, e para passar de radianos a graus, por $\frac{180}{\pi}$. Assim, $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$, $-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$ e $\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$; o ângulo de $2$ radianos mede $\frac{360}{\pi}$ graus, aproximadamente 114,6 graus.

Comprimento de arco e área de um setor

Numa circunferência de raio $r$, um ângulo central $\theta$ abrange um arco, e os dois lados do ângulo, junto com esse arco, limitam um setor circular. A medida em radianos dá às suas fórmulas uma forma particularmente simples.

Se o ângulo fosse medido em graus, as fórmulas levariam o fator de conversão: o arco seria $\frac{\pi r g}{180}$ e a área do setor $\frac{\pi r^2 g}{360}$. A simplicidade de $s = r\theta$ é a razão principal para preferir o radiano. Além disso, a fórmula dá a medida de um ângulo em qualquer circunferência, não apenas na unitária: $\theta = \frac{s}{r}$ é o quociente entre o arco e o raio, e não depende do raio escolhido.

O ângulo inscrito

Um ângulo com o vértice no centro de uma circunferência chama-se ângulo central. Se $A$, $B$ e $C$ são três pontos distintos de uma circunferência, o ângulo que formam em $C$ as cordas $CA$ e $CB$ chama-se ângulo inscrito, e diz-se que abrange o arco de extremos $A$ e $B$ que não contém $C$. Pelo teorema demonstrado acima, a um arco de comprimento $s$ de uma circunferência de raio $r$ corresponde o ângulo central de $\frac{s}{r}$ radianos, ainda que esse número exceda $\pi$. Para comparar o ângulo inscrito com o central admitem-se os fatos que seguem, da geometria elementar, que este curso não demonstra porque não desenvolve a geometria sintética. Os dois primeiros medem os ângulos de um triângulo; os dois últimos são fatos de posição, que dizem como se repartem os ângulos e os arcos quando uma semirreta passa pelo interior de um ângulo.

Fato admitido (ângulos do triângulo e posições na circunferência). Admitem-se as quatro afirmações a seguir, nas quais os ângulos não orientados se medem em radianos, entre $0$ e $\pi$.

1. Soma dos ângulos: os três ângulos de um triângulo somam um ângulo raso, isto é, $\pi$ radianos.
2. Triângulo isósceles: num triângulo com dois lados iguais, os ângulos opostos a esses lados são iguais.
3. Soma de ângulos adjacentes: se uma semirreta que parte do vértice de um ângulo passa pelo seu interior, divide-o em dois ângulos cujas medidas somam a do ângulo dado.
4. Posição do centro: sejam $A$, $B$ e $C$ três pontos distintos de uma circunferência de centro $O$, e seja $D$ a outra extremidade do diâmetro que parte de $C$. Se $O$ não está nas cordas $CA$ nem $CB$, ocorre uma de duas coisas. Ou $O$ está no interior do ângulo que formam em $C$ essas cordas, e então a semirreta que vai de $C$ a $D$ passa por esse interior e $D$ está no arco de extremos $A$ e $B$ que não contém $C$. Ou $O$ está fora desse ângulo, e então um dos pontos $A$ e $B$, que se pode chamar $A$, está no arco de extremos $D$ e $B$ que não contém $C$, e a semirreta que vai de $C$ a $A$ passa pelo interior do ângulo que formam em $C$ as cordas $CD$ e $CB$.

Os pontos que não estão na circunferência veem a corda sob outros ângulos. O resultado que segue admite-se também da geometria elementar: obtém-se do teorema demonstrado acima e da proposição 21 do livro I dos Elementos de Euclides, segundo a qual um ponto interior a um triângulo vê um dos seus lados sob um ângulo maior que o vértice oposto; mas a sua demonstração exige saber onde os segmentos que partem do ponto cortam a circunferência, uma questão de posição que este curso não desenvolve. Será usado no último problema resolvido da aula sobre as funções trigonométricas inversas.

Fato admitido (ângulos desde pontos interiores e exteriores). Sejam $A$ e $B$ dois pontos de uma circunferência, e $\gamma$ a medida comum dos ângulos inscritos com extremos $A$ e $B$ cujo vértice está num dos dois arcos que estes determinam. Se $Q$ é um ponto que não está na circunferência, situado do mesmo lado da reta $AB$ que esse arco, o ângulo que formam em $Q$ os segmentos $QA$ e $QB$ é menor que $\gamma$ se $Q$ é exterior ao círculo, e maior que $\gamma$ se é interior.

Posição padrão e ângulos côngruos

No plano cartesiano, estudado na aula do curso I sobre a equação da reta e os sistemas cartesianos, cada ângulo tem uma posição privilegiada.

Um ângulo orientado está na posição padrão se o seu vértice é a origem e o seu lado inicial é o semieixo $x$ positivo. O seu lado terminal é então a semirreta que parte da origem e passa pelo ponto $P(\theta)$ do axioma do percurso, isto é, o ponto da circunferência unitária $x^2 + y^2 = 1$ ao qual se chega percorrendo, a partir de $(1, 0)$, um arco de comprimento $\abs{\theta}$ no sentido que indica o sinal de $\theta$. Dois ângulos são côngruos se, na posição padrão, têm o mesmo lado terminal.

Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido anti-horário a partir do que contém os pontos de coordenadas positivas. Um ângulo na posição padrão está no quadrante que contém o seu lado terminal; se este cai sobre um eixo, o ângulo chama-se quadrantal. As coordenadas do ponto $P(\theta)$ são o cosseno e o seno de $\theta$, que serão estudados na próxima aula, sobre as razões trigonométricas.

Uma volta completa, em qualquer sentido, devolve o lado à sua posição, pela periodicidade do percurso: o ângulo $\theta + 2\pi$ é côngruo com $\theta$, e o mesmo $\theta - 2\pi$, $\theta + 4\pi$ e, em geral, $\theta + 2k\pi$ com $k$ inteiro. Para saber onde termina um ângulo qualquer basta, então, descontar as voltas completas, como se descontam os múltiplos do divisor na aula do curso I sobre a divisibilidade e a divisão com resto. O teorema que segue é a versão real daquela divisão: o divisor é $2\pi$, o quociente é o número de voltas e o resto, o ângulo que sobra.

O número $\theta_0$ chama-se a redução de $\theta$ à primeira volta. Em graus, o mesmo raciocínio, com $360$ no lugar de $2\pi$, reduz qualquer ângulo a um entre $0^\circ$ e $360^\circ$, este excluído: por exemplo, $1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$. Com a redução reconhecem-se todos os ângulos que terminam num mesmo lado; antes é preciso saber que uma volta não passa duas vezes pelo mesmo ponto, o que se deduz do axioma do percurso.

Disso segue que os ângulos côngruos com $\theta$ são exatamente os da forma $\theta + 2k\pi$, com $k$ inteiro, e que o quadrante de um ângulo é decidido pela sua redução: está no primeiro quadrante se $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$, no segundo se $\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$, no terceiro se $\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$ e no quarto se $\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$; é quadrantal se $\theta_0$ é $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ ou $\frac{3\pi}{2}$. Assim, $-\frac{23\pi}{6}$ está no primeiro quadrante, e $1000^\circ$, cuja redução é $280^\circ$, no quarto.

Por último, todo ponto da circunferência unitária é o ponto $P(\theta)$ de algum ângulo: é a propriedade de recobrimento do axioma do percurso, que diz que ao percorrer a circunferência a partir de $(1, 0)$ se passa por todos os seus pontos. Sendo assim, pela redução à primeira volta, pela periodicidade e pelo lema dos ângulos côngruos, cada ponto da circunferência unitária é $P(\theta)$ para um único $\theta$ em $\ico{0}{2\pi}$, e os ângulos que lhe correspondem são exatamente os côngruos com esse $\theta$.

Velocidade angular e velocidade linear

Quando um corpo gira em torno de um eixo, todos os seus pontos descrevem arcos de circunferência centrados no eixo, e todos giram o mesmo ângulo no mesmo tempo. Se num tempo $t$ o corpo gira, a ritmo constante, um ângulo $\theta$, a sua velocidade angular é o quociente $\omega = \frac{\theta}{t}$, que se mede em radianos por segundo; também se expressa em rotações por minuto, e como uma rotação são $2\pi$ radianos e um minuto, $60$ segundos, uma rotação por minuto equivale a $\frac{\pi}{30}$ radianos por segundo.

Um ponto situado à distância $r$ do eixo percorre, nesse tempo, um arco de comprimento $s = r\theta$, pelo teorema do comprimento de arco. A sua velocidade linear, quociente entre a distância percorrida e o tempo, é portanto o produto do raio pela velocidade angular:

Disso segue que, num corpo que gira, a velocidade angular é a mesma para todos os pontos, enquanto a linear cresce em proporção à distância ao eixo: a borda de um disco que gira move-se mais depressa que os pontos próximos do centro. Essa relação, válida somente se os ângulos forem medidos em radianos, é o ponto de partida do estudo do movimento circular no curso de Fundamentos de Mecânica. Duas rodas unidas por uma correia ou uma corrente que não desliza, ou que engrenam entre si, têm no ponto de contato a mesma velocidade linear; portanto, $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$, e a roda menor gira mais depressa, como se verá no problema resolvido 3.

Problemas resolvidos

Os problemas medem a Terra a partir de um ângulo, calculam a área de um segmento circular, transmitem uma rotação por uma corrente, procuram o setor de maior área com um perímetro dado e contam as sobreposições dos ponteiros de um relógio. Cada um exige uma ideia própria, que convém procurar antes de ler a solução.

Eratóstenes expressou a distância em estádios, cujo valor exato se discute; com o número adotado aqui, o meridiano mede 40000 km, e não por acaso: no fim do século XVIII o metro foi definido como a décima milionésima parte do quarto de meridiano. Por outro lado, Alexandria não está exatamente ao norte de Siena, mas cerca de três graus mais a oeste, de modo que o arco que as une não é de todo um arco de meridiano.