Funções trigonométricas e coordenadas polares: introdução

Resumo

Esta aula abre o curso de Álgebra e Geometria II e sua primeira unidade, dedicada às funções trigonométricas e às coordenadas polares. Propõe uma avaliação de entrada, que mede o ponto de partida nas seis aulas da unidade e naquilo que ela dá por sabido do curso I. Reúne o que o curso I deixa estabelecido e apresenta as seis aulas da unidade na ordem em que se estudam, desde a medida dos ângulos até as curvas polares e as cônicas com um foco no polo, e explica o que cada uma demonstra e por que importa. Reconstrói depois o contexto histórico: a astronomia grega, que precisava medir o inacessível e tabulou as cordas dos arcos; a metade da corda do arco duplo, que os astrônomos da Índia puseram no centro do cálculo e que, através das traduções árabes e latinas, recebeu o nome de seno; a trigonometria como disciplina independente, e sua transformação, no século XVIII, no estudo de funções de uma variável real. Formula o problema que lhe deu origem, o de calcular distâncias a partir de ângulos, com o triângulo de Aristarco de Samos, e termina indicando onde se usam estas ideias no restante do curso, em outros cursos do site e na ciência e na técnica.

Objetivos de aprendizagem

Descrever o conteúdo da unidade, situando cada uma de suas aulas em uma sequência que vai da medida dos ângulos às curvas polares.
Explicar a origem astronômica e geodésica da trigonometria e das coordenadas polares, e reconhecer suas etapas principais, desde a tabela de cordas até as funções de uma variável real.
Expressar a corda de um arco mediante o seno do arco metade, e formular o problema de Aristarco como o cálculo de um quociente de distâncias a partir de um ângulo.
Identificar os lugares do curso, de outros cursos e da ciência e da técnica em que se empregam as funções trigonométricas e as coordenadas polares.

Avaliação de entrada

Antes de percorrer a unidade, convém medir o ponto de partida, sem nota alguma. As dez primeiras perguntas tratam das seis aulas de conteúdo da unidade: duas para as funções inversas e duas para a resolução de triângulos, que são as aulas em que o restante do curso mais se apoia; duas para as funções trigonométricas e seus gráficos, uma delas um problema em contexto que é preciso equacionar; duas para as coordenadas polares, uma delas sobre a equação polar das cônicas; e uma para cada uma das outras duas aulas. As mesmas habilidades voltam a ser medidas no final, na aula de síntese. As seis últimas verificam o que o curso supõe sabido do curso I: a completude dos números reais, a inversa de uma função, a reta tangente a uma circunferência e o produto escalar, a excentricidade de uma elipse, a exponencial e o logaritmo por meio do cosseno hiperbólico, e o quociente de dois números complexos na forma algébrica. Quem errar alguma delas saberá a que aula do curso I convém voltar antes de começar, e quem errar alguma das dez primeiras, em que aula da unidade se deter.

Os conteúdos da unidade

Com esta unidade começa o curso de Álgebra e Geometria II, que supõe concluído o curso Álgebra e Geometria I. Deste traz cinco coisas que aqui se empregam sem voltar a demonstrá-las. A primeira são os números reais como corpo ordenado completo, com a propriedade arquimediana e a densidade dos racionais, que permitirão reduzir todo ângulo à primeira volta e estender a todos os ângulos o que se prova para os racionais. A segunda é o estudo das funções: domínio, conjunto imagem, composição, inversa de uma função bijetora e transformações de gráficos, com os quadros de sinais e a fatoração de polinômios. A terceira é a geometria analítica do plano: a distância, a reta na forma cartesiana e paramétrica, os vetores com o produto escalar, a circunferência e as cônicas com seu foco e sua diretriz. A quarta são as funções exponencial, logarítmica e hiperbólicas, cuja parametrização da hipérbole antecipa a da circunferência. A quinta são os números complexos na forma algébrica, representados como pontos do plano, que esta unidade prepara para serem escritos com um módulo e um ângulo.

Ora, nenhuma dessas ferramentas responde a uma pergunta muito antiga: dado um ângulo, que quociente guardam os lados de um triângulo retângulo que o contém? Esta unidade responde a ela, e da resposta nascem seis funções de uma variável real, suas inversas, a resolução de todos os triângulos e um segundo modo de nomear os pontos do plano. As aulas sucedem-se assim.

Os ângulos e sua medida define os ângulos orientados, que medem rotações com seu sentido e podem exceder a volta, enuncia o axioma do percurso da circunferência por comprimento de arco, no qual repousa toda a unidade, e define com ele a medida em radianos como comprimento do arco da circunferência unitária; demonstra as fórmulas do arco e do setor, o teorema do ângulo inscrito e a redução de todo ângulo à primeira volta, que é a divisão com resto dos números reais por $2\pi$ . Importa porque o radiano é a medida que torna simples todas as fórmulas posteriores.
As razões trigonométricas e a circunferência unitária define o seno, o cosseno e a tangente primeiro no triângulo retângulo, demonstrando por semelhança que não dependem do triângulo, e depois para todo número real, como coordenadas de um ponto da circunferência unitária; demonstra a identidade pitagórica, os valores notáveis e as simetrias. É o momento decisivo da unidade: converte uma razão geométrica em uma quantidade definida para qualquer ângulo.
As funções trigonométricas e seus gráficos estuda o seno, o cosseno e a tangente como funções, demonstra seus períodos mínimos, constrói seus gráficos e prova, comparando áreas, a desigualdade $\sin x < x < \tan x$ . Com as senoides, fornece o modelo de todos os fenômenos periódicos.
As funções trigonométricas inversas deduz do axioma do percurso que o cosseno e o seno são estritamente monótonos em certos intervalos, restringe a eles as funções, define o arco-seno, o arco-cosseno e o arco-tangente, e resolve as equações elementares em uma volta. Permite percorrer o caminho inverso: de uma razão conhecida ao ângulo que a produz.
A resolução de triângulos demonstra a área em função de dois lados e do ângulo compreendido, a lei dos senos, a lei dos cossenos e a fórmula de Herão, e discute o caso ambíguo. Estende a trigonometria do triângulo retângulo a todos os triângulos e mede, com o produto escalar, o ângulo entre dois vetores.
As coordenadas polares e as curvas polares nomeia cada ponto por sua distância ao polo e por um ângulo, deduz as fórmulas de conversão para as coordenadas cartesianas, traça cardioides, rosáceas, espirais e caracóis, e obtém a equação polar das cônicas com um foco no polo. Prepara a forma polar dos números complexos e a descrição das órbitas.

A unidade termina com a aula de síntese e desafios, que reúne o que foi demonstrado, mede com uma avaliação de saída o que se alcançou em relação à avaliação de entrada desta aula e propõe dez problemas de maior dificuldade.

Contexto histórico

A trigonometria não nasceu como um capítulo da álgebra, mas como uma técnica da astronomia. Para predizer a posição dos astros e medir distâncias que não podem ser percorridas, os astrônomos precisavam passar de ângulos, que se observam, a comprimentos, que se calculam; e a geometria grega, que sabia construir figuras com régua e compasso, não oferecia meio algum para calcular, dado um ângulo arbitrário, a razão entre dois lados de um triângulo.

A tabela de cordas

A astronomia grega herdou da babilônica a divisão da circunferência em $360$ graus e o cálculo em base sessenta. Por volta do século III antes da nossa era, Aristarco de Samos estimou com argumentos geométricos a razão entre as distâncias do Sol e da Lua, e Eratóstenes mediu a circunferência da Terra a partir de um ângulo, como se verá na aula sobre os ângulos e sua medida. A Hiparco de Niceia, no século II antes da nossa era, atribui-se a primeira tabela de cordas: para cada ângulo central, o comprimento da corda que ele subtende em uma circunferência de raio fixo. A tabela que se conserva é a de Cláudio Ptolomeu, que no Almagesto, no século II da nossa era, deu as cordas dos arcos de meio em meio grau em uma circunferência de raio $60$ . Menelau de Alexandria, por volta do ano 100, havia estendido o cálculo aos triângulos traçados sobre a esfera celeste.

A corda e o seno são a mesma informação escrita de duas maneiras. A proposição abaixo o precisa, e mostra por que a passagem de uma ao outro foi algo mais que uma mudança de nome: o seno é a metade da corda do arco duplo, e é o cateto de um triângulo retângulo.

ProposiçãoA corda e o seno

Na circunferência de raio $1$ e centro $O$ , seja $C(\theta)$ o comprimento da corda que une as extremidades $A$ e $B$ de um arco de ângulo central $\theta$ , com $0 < \theta < \pi$ . Então $C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ .

Demonstração

$C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1$
A corda é o lado oposto ao ângulo $\theta$ no triângulo de vértices $O$ , $A$ e $B$ , cujos outros dois lados são raios.
$\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}$
O triângulo é isósceles; a perpendicular traçada de $O$ à corda a corta em seu ponto médio $M$ e divide o ângulo central em dois ângulos iguais, porque os triângulos de vértices $O$ , $M$ , $A$ e $O$ , $M$ , $B$ são retângulos em $M$ , têm iguais os ângulos em $A$ e em $B$ , por ser isósceles o triângulo, e compartilham o lado $OM$ : pelo critério de semelhança de dois ângulos, são semelhantes com razão $1$ .
$\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}$
No triângulo retângulo de vértices $O$ , $M$ e $B$ , a hipotenusa mede $1$ e o cateto oposto ao ângulo $\frac{\theta}{2}$ é a metade da corda; pela definição do seno, esse cateto é $\sin \frac{\theta}{2}$ .
$\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}$
Lida ao contrário, com $\theta = 2\alpha$ , a igualdade diz que o seno de um ângulo é a metade da corda do ângulo duplo; na circunferência de raio $60$ de Ptolomeu todos os comprimentos se multiplicam por $60$ .

Do meio arco ao seno

Os astrônomos da Índia, como Aryabhata por volta do ano 500, tabularam diretamente a metade da corda do arco duplo, à qual chamaram jya, e com isso puseram no centro do cálculo um cateto de um triângulo retângulo em vez de uma corda. A palavra passou ao árabe como jiba, que na escrita sem vogais se confundiu com jaib, «dobra» ou «seio» de uma vestimenta, e os tradutores latinos do século XII a verteram como sinus, de onde procede o nome atual. Os astrônomos do mundo islâmico, entre os séculos IX e XI, entre eles al-Battani e Abu al-Wafa, acrescentaram as tabelas da tangente e da cotangente, que provinham do estudo das sombras dos relógios de sol; no século XIII, Nasir al-Din al-Tusi expôs a trigonometria como uma disciplina independente da astronomia.

A trigonometria como disciplina

Na Europa, Regiomontano redigiu por volta de 1464 um tratado sobre os triângulos de toda espécie, impresso em 1533, que reunia a resolução de triângulos planos e esféricos; a palavra trigonometria, «medida dos triângulos», aparece no título de uma obra de Bartholomaeus Pitiscus de 1595. A lei dos cossenos tem uma história mais longa: Euclides, no livro II dos Elementos, já havia corrigido o teorema de Pitágoras para os triângulos acutângulos e obtusângulos mediante o dobro de um retângulo, formado por um lado e pela projeção do outro sobre ele, que hoje se escreve $2bc \cos A$ a menos do sinal, e no século XV al-Kashi deu-lhe uma forma apta para o cálculo. A fórmula de Herão, por sua vez, figura na Métrica de Herão de Alexandria, no século I.

Das razões às funções

Durante séculos, o seno de um ângulo foi um comprimento em uma circunferência de raio convencionado, sessenta ou vários milhões, conforme a tabela. O cálculo infinitesimal do século XVII mostrou que as fórmulas se simplificam se o raio é $1$ e os ângulos se medem pelo comprimento de seu arco, e Leonhard Euler, em sua Introductio in analysin infinitorum de 1748, tratou o seno e o cosseno como funções de uma variável real, definidas na circunferência unitária, que é o ponto de vista desta unidade; o nome de radiano para a unidade de medida correspondente foi cunhado na segunda metade do século XIX. No começo do século XIX, Joseph Fourier sustentou, em sua teoria analítica do calor publicada em 1822, que uma função periódica muito geral pode ser escrita como soma de senos e cossenos, e as funções trigonométricas passaram a ser a linguagem de todos os fenômenos periódicos.

As coordenadas polares

A ideia de descrever um ponto por sua distância a um centro e por um ângulo é tão antiga quanto a astronomia, e Arquimedes, no século III antes da nossa era, definiu sua espiral precisamente assim: um ponto que se afasta com velocidade constante de um centro enquanto a semirreta que o leva gira com velocidade constante. Como sistema de coordenadas, no entanto, aparece no século XVII: Bonaventura Cavalieri e Grégoire de Saint-Vincent as usaram para estudar espirais, Isaac Newton as incluiu entre os sistemas com que descrevia curvas, e Jakob Bernoulli as empregou em seus trabalhos do fim desse século; Euler as sistematizou no século XVIII. Entretanto, Johannes Kepler havia publicado em 1609 que a órbita de Marte é uma elipse com o Sol em um de seus focos, e a equação polar das cônicas com um foco no polo, que fecha esta unidade, é a forma natural dessa lei.

O problema que lhes deu origem

O problema comum a todos estes desenvolvimentos pode ser enunciado assim: conhecidos alguns ângulos e alguns comprimentos de uma figura, calcular os demais. Sua forma mais simples é o triângulo retângulo. Por semelhança, o quociente entre dois lados depende só do ângulo agudo $\alpha$ , e é portanto uma função de $\alpha$ ; mas essa função não é algébrica, não se obtém de $\alpha$ com somas, produtos nem raízes, e por isso foi preciso tabulá-la. O exemplo abaixo, a primeira tentativa conhecida de medir o sistema solar, mostra o problema em estado puro.

ExemploO triângulo de Aristarco

Quando a Lua se vê exatamente em quarto, a metade iluminada de seu disco se vê de perfil, e o Sol, a Lua e a Terra formam um triângulo retângulo na Lua. Aristarco mediu, da Terra, o ângulo $\alpha$ entre as direções da Lua e do Sol, e obteve $87^\circ$ . Sejam $T$ , $L$ e $S$ a Terra, a Lua e o Sol.

Demonstração

${\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2$
O triângulo de vértices $T$ , $L$ e $S$ é retângulo em $L$ : a distância da Terra ao Sol é a hipotenusa.
$\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}$
O cateto adjacente ao ângulo $\alpha$ é a distância à Lua; pela definição do cosseno, o quociente entre a distância ao Sol e a distância à Lua depende só de $\alpha$ .
$\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20$
Sem tabelas de cossenos, Aristarco limitou o quociente com argumentos geométricos e concluiu que o Sol está entre $18$ e $20$ vezes mais longe que a Lua. A secante de $87^\circ$ vale aproximadamente 19,1, dentro de suas cotas.
$\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty$
O método era correto, mas o dado não: o ângulo verdadeiro difere do reto em menos de um sexto de grau, e o quociente verdadeiro gira em torno de $390$ . Quando $\alpha$ se aproxima de um reto, o Sol se afasta sem limite ao longo da reta que passa pela Lua, e um erro minúsculo no ângulo produz um erro enorme na distância.

Como o Sol e a Lua têm quase o mesmo tamanho aparente, como mostram os eclipses totais do Sol, o raciocínio de Aristarco dava também a razão entre seus diâmetros, e com ela a conclusão de que o Sol é muito maior que a Terra. O exemplo contém em germe toda a unidade: uma razão entre lados que depende de um ângulo, a necessidade de conhecer essa dependência com precisão, e a observação de que certas funções crescem sem cota perto de valores isolados do ângulo, que é a assíntota vertical da secante estudada na aula sobre as funções trigonométricas e seus gráficos.

O mesmo problema se apresenta de outras duas maneiras, que dão origem às demais aulas da unidade. A primeira é inversa: conhece-se a razão e procura-se o ângulo, como quando se mede a declividade de um caminho e se quer saber sua inclinação; responder a ela exige inverter funções que não são injetoras, e essa é a tarefa das funções trigonométricas inversas. A segunda é a de descrever o que gira: um planeta em torno do Sol, uma roda, uma onda que se repete. Para isso convém nomear os pontos por sua distância a um centro e por sua direção, e não por suas distâncias a dois eixos, e expressar o movimento periódico com funções que se repetem; assim nascem as coordenadas polares e as senoides.

Relevância

No restante deste curso, a unidade 2, que começa na aula sobre as identidades trigonométricas fundamentais, demonstra as fórmulas do seno e do cosseno de uma soma, resolve em geral as equações trigonométricas e, mediante a rotação de eixos, classifica todas as equações do segundo grau em duas variáveis. A unidade 3, dedicada aos números complexos na forma polar, escreve cada número complexo com seu módulo e seu ângulo, como na aula sobre a forma polar dos números complexos, e reduz as potências e as raízes a multiplicar módulos e somar ângulos; a unidade 4 representa as rotações do plano mediante matrizes cujos coeficientes são senos e cossenos, na aula sobre as matrizes como transformações do plano; e a unidade 5, sobre a geometria analítica do espaço, mede o ângulo entre dois vetores do espaço por seu cosseno, na aula sobre os vetores no espaço e o produto escalar, e o emprega para calcular ângulos entre retas e planos.

Em outros cursos do site, a desigualdade $\sin x < x < \tan x$ é o ponto de partida do cálculo da derivada do seno no curso de Cálculo I, e os comprimentos de arcos, as áreas limitadas por curvas polares e as substituições trigonométricas se estudam no curso de Cálculo II. O curso de Fundamentos de Mecânica decompõe forças e velocidades em componentes mediante o seno e o cosseno, e estuda o movimento circular com a relação entre a velocidade angular e a linear. No curso de Programação em C++ I, as bibliotecas matemáticas da linguagem oferecem, além do seno, do cosseno e do arco-tangente, uma função de dois argumentos que devolve o ângulo polar de um ponto entre $-\pi$ e $\pi$ , com a mesma correção segundo o quadrante que se demonstra nesta unidade.

Fora da matemática, a trigonometria é a ferramenta da topografia, da navegação e da geodésia, que medem o terreno por triangulação; as coordenadas polares são as dos radares e dos sistemas que localizam um objeto por sua distância e seu rumo; e as senoides são a linguagem da acústica, da corrente alternada, das telecomunicações e do tratamento de sinais e imagens, que decompõem todo sinal em oscilações simples seguindo a ideia de Fourier.

Funções trigonométricas e coordenadas polares: introdução

Resumo

Objetivos de aprendizagem

Avaliação de entrada

Os conteúdos da unidade

Contexto histórico

A tabela de cordas

Do meio arco ao seno

A trigonometria como disciplina

Das razões às funções

As coordenadas polares

O problema que lhes deu origem

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