Plano de estudos de Álgebra e Geometria II

Propósito e público

Este curso é a segunda metade de um percurso que começa em Álgebra e Geometria I: Números, Funções e Geometria do Plano. O curso I construiu, a partir dos axiomas de Peano, os sistemas numéricos até os complexos na forma algébrica, a álgebra dos polinômios, as funções reais e os seus gráficos, a geometria analítica do plano com os seus vetores e as suas cônicas, e as funções exponencial, logarítmica e hiperbólicas. O curso II toma esses objetos e os leva a três territórios novos: a trigonometria, que mede ângulos e converte as rotações num cálculo; os números complexos na forma polar, onde esse cálculo se torna multiplicação; e as matrizes, que ordenam os sistemas lineares e as transformações, e que, junto com os vetores, sustentam a geometria analítica do espaço com que o curso termina.

O seu propósito é o mesmo que o do curso I: não só ensinar a calcular, mas mostrar de onde procede cada cálculo. Cada resultado que se emprega é enunciado e demonstrado, ou é declarado expressamente admitido quando a sua demonstração pertence a outro curso; assim ocorre, por exemplo, com o teorema fundamental da álgebra ou com as propriedades do comprimento de um arco, que exigem o cálculo.

Dirige-se a quem tenha concluído o curso I, ou domine por outra via os seus conteúdos: estudantes dos últimos anos do ensino médio que preparam o seu ingresso na universidade, estudantes do primeiro ano universitário de ciências, engenharia, economia ou licenciatura em matemática, e quem queira reconstruir com rigor uma matemática que aprendeu como um conjunto de receitas. Se isto é assim, o curso supõe sabidos a completude dos números reais, o estudo de funções com as suas inversas e as suas transformações de gráficos, a reta, os vetores e o produto escalar do plano, as cônicas, a exponencial e o logaritmo, e a aritmética dos complexos na forma algébrica. Quem tiver dúvidas sobre algum destes pontos pode voltar à síntese da unidade correspondente do curso I e resolver os seus desafios antes de começar.

Ora, o curso ocupa também um lugar de passagem. É o pré-requisito de Cálculo I: Cálculo Diferencial, que deriva as funções trigonométricas a partir da desigualdade $\sin x < x < \tan x$ demonstrada na unidade 1 e que abre, por sua vez, Fundamentos de Mecânica e Cálculo II: Cálculo Integral, onde reaparecem o movimento circular, as substituições trigonométricas e as áreas em coordenadas polares.

Objetivos de aprendizagem globais

Os objetivos que se seguem descrevem o que um estudante que conclua o curso deve ser capaz de fazer. Cada um é formulado como um desempenho observável, de modo que possa ser verificado com uma tarefa concreta; cada aula declara, por sua vez, os seus próprios objetivos, e a aula de encerramento mostra, aula por aula, a qual destes sete foi atribuída cada uma. Os objetivos são numerados para que possam ser citados nela.

1. Objetivo 1. Demonstrar enunciados de trigonometria, de álgebra dos complexos e das matrizes, e de geometria analítica mediante raciocínio dedutivo explícito, empregando a demonstração direta, a contraposição, a redução ao absurdo e a indução, e distinguir em cada demonstração o deduzido do admitido.
2. Objetivo 2. Aplicar a trigonometria à medida de ângulos e de triângulos, estudar as funções trigonométricas e as suas inversas, demonstrar identidades, resolver equações e inequações trigonométricas dando a sua solução geral e descrever curvas em coordenadas polares.
3. Objetivo 3. Estudar a geometria do plano com os instrumentos do curso: calcular ângulos entre retas, eliminar mediante uma rotação de eixos o termo misto de uma equação do segundo grau e classificar a cônica que ela define, e exprimir rotações, homotetias, reflexões e projeções mediante a trigonometria, os números complexos e as matrizes.
4. Objetivo 4. Operar com números complexos na forma polar e exponencial, calcular as suas potências e as suas raízes, interpretar geometricamente as suas operações e resolver equações polinomiais no corpo dos complexos.
5. Objetivo 5. Resolver sistemas de equações lineares com matrizes, mediante o método de Gauss-Jordan, o posto, os determinantes e a matriz inversa, e reconhecer nos sistemas numéricos, nos polinômios, nas matrizes e nos restos módulo $n$ as estruturas de grupo, anel e corpo.
6. Objetivo 6. Representar pontos, vetores, retas e planos do espaço mediante coordenadas e equações, operar com os produtos escalar, vetorial e misto, e calcular com eles ângulos, distâncias, áreas e volumes, decidindo as posições relativas de retas e planos mediante sistemas lineares.
7. Objetivo 7. Modelar matematicamente situações da ciência, da técnica e da vida cotidiana com os instrumentos do curso, e comunicar por escrito as formulações, os cálculos e as demonstrações com notação correta, argumentação completa e controle da plausibilidade dos resultados.

Os objetivos 2 a 6 correspondem, no essencial, aos grandes temas do curso: o 2 às unidades 1 e 2, o 4 à unidade 3, o 5 à unidade 4 e o 6 à unidade 5, enquanto o 3 recolhe um fio que atravessa as unidades 1 a 4, a geometria do plano vista sucessivamente com senos e cossenos, com complexos e com matrizes. O primeiro e o sétimo, em contrapartida, são transversais: não pertencem a uma unidade, mas exercitam-se em todas. Daí se segue que o seu alcance não pode ser atribuído a uma aula determinada, e que convém cultivá-los ao longo do curso inteiro. Ora, ambos têm também aulas que os servem de modo principal: o primeiro, as sínteses, cujo núcleo reconstrói a cadeia dedutiva de cada unidade; o sétimo, as aulas em que a formulação de problemas é a própria matéria, a do ângulo entre retas e as suas aplicações e a dos sistemas lineares.

Conteúdos

O curso organiza-se em sete unidades. A primeira e a última enquadram o percurso; as cinco intermédias desenvolvem os conteúdos. Cada uma destas abre-se com uma aula de introdução, que apresenta as suas aulas, o contexto histórico das suas ideias, o problema que lhes deu origem e a sua relevância, e fecha-se com uma aula de síntese, que reconstrói a cadeia dedutiva da unidade, a liga ao resto do curso e ao curso I, e propõe dez desafios de dificuldade superior à dos problemas das aulas.

Unidade 0. Apresentação do curso

Consta desta aula, que fixa o propósito, os objetivos globais, os conteúdos, a dedicação e o desenho do curso.

Unidade 1. Funções trigonométricas e coordenadas polares

O seu objetivo é definir as funções trigonométricas sobre a circunferência unitária, estudar os seus gráficos e as suas inversas, resolver triângulos e descrever curvas em coordenadas polares.

1. Funções trigonométricas e coordenadas polares: introdução.
2. Ângulos e sua medida: graus e radianos.
3. Razões trigonométricas e a circunferência unitária.
4. As funções trigonométricas e seus gráficos.
5. As funções trigonométricas inversas.
6. Resolução de triângulos: leis dos senos e dos cossenos.
7. Coordenadas polares e curvas polares.
8. Trigonometria e coordenadas polares: síntese e desafios.

Unidade 2. Trigonometria analítica

O seu objetivo é converter as funções trigonométricas num cálculo algébrico, com identidades, fórmulas de adição, equações e inequações, e aplicá-lo aos ângulos entre retas e às cônicas de eixos oblíquos.

1. Trigonometria analítica: introdução.
2. Identidades trigonométricas fundamentais.
3. Fórmulas de adição e subtração, ângulo duplo e ângulo metade.
4. Transformação de somas em produtos e a forma harmônica.
5. Equações e inequações trigonométricas.
6. O ângulo entre duas retas e aplicações da trigonometria.
7. Rotação de eixos e a equação geral do segundo grau.
8. Trigonometria analítica: síntese e desafios.

Unidade 3. Números complexos na forma polar

O seu objetivo é descrever cada complexo pelo seu módulo e pelo seu argumento, de modo que o produto se leia como uma rotação com dilatação, as potências como múltiplos de um ângulo e as raízes como polígonos regulares, e resolver com isso as equações polinomiais. Retoma os complexos na forma algébrica construídos na unidade 2 do curso I.

1. Números complexos na forma polar: introdução.
2. A forma polar dos números complexos.
3. A fórmula de De Moivre e as potências de complexos.
4. Raízes n-ésimas de um complexo e raízes da unidade.
5. A exponencial complexa e a fórmula de Euler.
6. Geometria com números complexos.
7. Equações polinomiais complexas: fórmulas de Cardano e Ferrari.
8. Números complexos na forma polar: síntese e desafios.

Unidade 4. Matrizes e estruturas algébricas

O seu objetivo é fazer da tabela de coeficientes de um sistema linear um objeto com operações próprias, resolver com ela os sistemas, ler as matrizes como transformações e condensar o que é comum aos cálculos dos dois cursos nas noções de grupo, anel e corpo.

1. Matrizes e estruturas algébricas: introdução.
2. Matrizes e operações com matrizes.
3. Sistemas lineares e o método de Gauss-Jordan.
4. Determinantes: propriedades e regra de Cramer.
5. A matriz inversa.
6. As matrizes como transformações do plano.
7. Os números complexos como matrizes.
8. Estruturas algébricas: grupos, anéis e corpos.
9. Matrizes e estruturas algébricas: síntese e desafios.

Unidade 5. Geometria analítica do espaço

O seu objetivo é estender ao espaço a geometria analítica do plano estudada na unidade 4 do curso I: descrever pontos e vetores com três coordenadas, a partir de uma lista explícita de fatos admitidos da geometria euclidiana do espaço; medir comprimentos e ângulos com o produto escalar, demonstrando que o ângulo assim definido é o da geometria elementar; obter do determinante de ordem três o produto vetorial e o produto misto, com a sua leitura como área, como volume e como critério de coplanaridade; escrever retas e planos mediante equações e decidir as suas posições relativas com o posto e o teorema de Rouché-Capelli (no mundo hispânico, teorema de Rouché-Frobenius) da unidade 4; e calcular distâncias, ângulos, projeções e a perpendicular comum a duas retas reversas, com aplicações à mecânica, à cristalografia, à navegação aérea e ao posicionamento por satélite. A unidade estuda a esfera, mas não as demais superfícies quádricas (elipsoides, paraboloides, hiperboloides, cones e cilindros de segundo grau), que não se tratam neste curso; na organização atual do site, o seu estudo corresponde a Cálculo III.

1. Geometria analítica do espaço: introdução.
2. Vetores no espaço e produto escalar.
3. Produto vetorial e produto misto.
4. Retas e planos no espaço.
5. Distâncias, ângulos e volumes no espaço.
6. Geometria analítica do espaço: síntese e desafios.

Unidade 6. Encerramento do curso

Consta da aula Balanço final de Álgebra e Geometria II, que recorda os sete objetivos globais e mostra, numa figura, a qual deles foi atribuída cada aula do curso e que objetivos específicos alcançou cada unidade, e reúne por objetivo a primeira tentativa das avaliações de saída.

Dedicação e créditos

A dedicação de um curso não se mede pelas horas de exposição, que num curso assíncrono não existem, mas pelo trabalho total do estudante: ler, acompanhar as demonstrações, resolver problemas e revisar. A estimativa conta o tempo de leitura do texto de cada aula, vinte minutos por problema resolvido, trinta e cinco por problema proposto, quarenta e cinco por desafio e doze por avaliação de entrada ou de saída, e acrescenta uma margem de um décimo para a revisão.

Resultados

As aulas das unidades 1 a 5 contêm no total $145$ problemas resolvidos, $145$ problemas propostos e $50$ desafios. A dedicação estimada por unidade, arredondada à hora, é a que se segue:

• Unidade 0, apresentação do curso: $1$ hora.
• Unidade 1, funções trigonométricas e coordenadas polares: $46$ horas.
• Unidade 2, trigonometria analítica: $46$ horas.
• Unidade 3, números complexos na forma polar: $46$ horas.
• Unidade 4, matrizes e estruturas algébricas: $54$ horas.
• Unidade 5, geometria analítica do espaço: $36$ horas.
• Unidade 6, encerramento do curso: menos de uma hora.

A unidade 5 é a mais breve em número de aulas, mas as suas quatro aulas de conteúdo estão entre as mais extensas do curso. O total é de cerca de $230$ horas de trabalho do estudante. Convém ler esta cifra como o que é: uma estimativa para um estudante que estuda todas as demonstrações e resolve todos os problemas e desafios. Quem já domine parte dos conteúdos, ou se limite aos problemas propostos sem abordar os desafios, empregará bastante menos; quem estude o tema pela primeira vez e sem o hábito de demonstrar pode precisar de mais.

Ora, a cifra de $230$ horas é nominal: é a que fixa os créditos do curso, e supõe uma leitura do texto a ritmo constante e três quartos de hora por desafio. Enquanto não for medida com estudantes reais, convém acompanhá-la de uma faixa realista. Se a leitura avançasse à metade do ritmo suposto, como ocorre quando cada demonstração é reescrita com papel e lápis, e cada desafio exigisse setenta e cinco minutos em vez de quarenta e cinco, o mesmo método daria cerca de $298$ horas. Portanto, a dedicação esperável situa-se entre cerca de $230$ e cerca de $300$ horas. O extremo superior é uma cota prudente, não uma medição; a faixa será corrigida quando se conhecer o tempo que empregam os que estudam o curso, e até então os créditos são calculados com a cifra nominal.

Ritmo sugerido

Para nomear os ritmos, este plano e o do curso I usam o mesmo critério: a dedicação integral é a de um ano acadêmico de $60$ créditos, cerca de $1650$ horas repartidas em cerca de quarenta semanas, isto é, cerca de $40$ horas semanais, e a dedicação parcial é a metade, cerca de $20$ horas semanais. Daí se segue um ritmo recomendado de um semestre de dezesseis semanas, com cerca de $14$ horas semanais de estudo, pouco mais de um terço da dedicação integral e, portanto, menos que a dedicação parcial; com a faixa realista, de $14$ a $19$ horas semanais, aproxima-se da dedicação parcial sem a alcançar. Assim, os cursos I e II ocupam dois semestres consecutivos. Um ritmo mais folgado, de cerca de $7$ horas semanais, leva o curso a dois semestres; um intensivo, de cerca de $29$ horas semanais, pouco menos de três quartos da dedicação integral, conclui-o em oito semanas, o que equivale à dedicação de um estudante que não cursa nenhuma outra disciplina exigente no mesmo período.

Créditos

Os créditos deste site medem a dedicação total que um curso exige de quem o estuda (a leitura, os problemas, os desafios e a revisão), e não as horas de aula. Um crédito equivale a cerca de $27{,}5$ horas de trabalho, e um ano de dedicação integral, a $60$ créditos, isto é, a cerca de $1650$ horas; é o mesmo critério com que mais acima se nomeiam os ritmos de estudo.

Ora, dividindo as $230$ horas estimadas por $27{,}5$, obtém-se 8,4, que se arredonda para $8$. Admitindo-se para o crédito uma faixa de $25$ a $30$ horas de trabalho, o número $C$ de créditos do curso fica compreendido entre 7,7 e 9,2:

Portanto, o curso tem $8$ créditos, pouco mais de um oitavo de um ano de dedicação integral. Quem deseje estudar apenas uma porção do curso pode usar a lista de horas por unidade: as unidades 0 a 4, por exemplo, somam cerca de $193$ horas, isto é, cerca de $7$ créditos.

A sua utilidade é prática: permitem comparar entre si a carga dos cursos do site e decidir quantos convém estudar ao mesmo tempo sem ultrapassar o tempo disponível. Quem dispuser, por exemplo, de dedicação parcial durante um semestre de dezesseis semanas, isto é, de cerca de $320$ horas, pode abordar cursos que somem cerca de $12$ créditos; com a dedicação integral do mesmo semestre, cerca de $23$.

Estes créditos são uma medida própria do site para planejar o estudo: não correspondem a nenhum sistema oficial de créditos nem implicam o reconhecimento acadêmico de nenhuma instituição.

Desenho do curso

Modalidade

O curso é assíncrono, on-line e de ritmo autônomo: não tem datas, sessões ao vivo nem prazos, e cada estudante avança à velocidade que lhe permitem a sua preparação e o seu tempo. É oferecido nos catorze idiomas do site, com a mesma matemática em todos: as fórmulas e os passos das demonstrações são idênticos em cada versão, e só se traduz o texto. As aulas declaram que outras aulas convém ter estudado antes, também as do curso I de que dependem, de modo que a ordem recomendada é explícita e pode ser verificada.

A estrutura de uma aula

Todas as aulas temáticas seguem a mesma estrutura. Começam com um resumo e com uma lista de objetivos de aprendizagem próprios, formulados como desempenhos observáveis. Seguem-se a teoria, com as definições, os teoremas enunciados com precisão e as suas demonstrações, e os exemplos. As demonstrações e os exemplos apresentam-se como reprodutores passo a passo: cada passo escreve uma linha do raciocínio, ilumina os termos que intervêm e, quando se apoia num resultado precedente, volta a ele e o ilumina enquanto se lê, de modo que a memória do raciocínio fique à vista; muitos são acompanhados de uma figura que muda a cada passo. Fecham a aula cinco problemas resolvidos, com a sua solução passo a passo, e cinco problemas propostos, cada um com uma dica recolhida e, depois, a resposta final, para que o estudante verifique o seu resultado sem que se lhe revele o caminho; os propostos de demonstração acrescentam, recolhida depois da resposta, uma solução desenvolvida, que convém abrir só depois de ter redigido a própria.

As aulas de introdução e de síntese têm uma estrutura própria. A introdução apresenta a unidade, a sua história, o problema que lhe deu origem e a sua relevância; a síntese reconstrói numa figura a cadeia dedutiva da unidade, com os resultados que reutiliza e os elos que demonstra, a liga às unidades precedentes e ao curso I, e propõe dez desafios, cada um com dica, resposta final e uma solução desenvolvida recolhida, que combinam várias aulas e exigem mais invenção que os problemas propostos.

O leitor de voz

Cada aula pode ser escutada em voz alta com o leitor do site, que usa as vozes do próprio dispositivo: o texto é lido tal como está escrito e as fórmulas são pronunciadas em palavras. Isto permite revisar uma aula longe da tela, acompanhar uma demonstração escutando-a enquanto se olha o reprodutor passo a passo, e estudar com limitações visuais.

Avaliação

O curso não atribui notas nem certifica: a sua avaliação no site é formativa. Os problemas propostos permitem verificar o alcance dos objetivos de cada aula, e os desafios, o dos objetivos de cada unidade. Cada uma das cinco unidades tem, além disso, uma avaliação de entrada na sua introdução e uma de saída na sua síntese, antes dos desafios: autoavaliações breves, corrigidas no navegador sem atribuição de notas; a de entrada tem nove ou dez perguntas sobre a unidade, mais entre duas e seis sobre o que a unidade dá por sabido das precedentes ou do curso I, e a de saída, onze ou doze; ambas indicam que aula revisar diante de cada erro e comparam-se entre si para mostrar o progresso. O balanço final reúne a primeira tentativa de cada avaliação de saída num perfil por objetivo global, que se guarda, como elas, apenas no navegador do estudante. A validação das habilidades, com valor de certificação, será feita mais adiante e fora deste site, noutra plataforma.

Para os objetivos globais sugerem-se, além disso, as evidências de alcance que se seguem, que cada estudante pode produzir por si mesmo:

• Objetivo 1: redigir, sem consultar a aula, a demonstração de um teorema do curso, como a lei dos cossenos, a fórmula de De Moivre ou a unicidade da matriz inversa.
• Objetivo 2: demonstrar uma identidade trigonométrica não trivial e resolver uma equação trigonométrica dando a sua solução geral.
• Objetivo 3: classificar a cônica que define uma equação do segundo grau com termo misto, girando os eixos, e exprimir uma rotação do plano como produto por um complexo e como matriz.
• Objetivo 4: calcular as raízes $n$-ésimas de um complexo, representá-las no plano e resolver uma equação cúbica com a fórmula de Cardano.
• Objetivo 5: resolver um sistema linear com parâmetro, discutindo os casos pelo posto, e decidir se uma estrutura dada é um grupo, um anel ou um corpo.
• Objetivo 6: achar a posição relativa de duas retas do espaço e a distância entre elas, e o volume de um tetraedro dado pelos seus vértices.
• Objetivo 7: escrever a solução completa de um problema de modelagem, com formulação, desenvolvimento, resposta e controle de plausibilidade, de modo que outra pessoa possa acompanhá-la sem explicações adicionais.

Como estudar este curso

O curso está pensado para ser estudado em ordem. Cada unidade supõe as precedentes e o curso I, e muitas demonstrações citam resultados de aulas prévias, de um ou de outro curso; saltar uma aula obriga, mais cedo ou mais tarde, a voltar a ela.

Cada unidade tem dois pontos de controle. A avaliação de entrada, no início da introdução, é o ponto de partida: convém respondê-la antes de estudar a unidade, sem consultar nada, e anotar as aulas a que remetem os erros, que são as que pedem mais cuidado. A avaliação de saída, na síntese e antes dos desafios, é o contraste: responde-se ao terminar as aulas, também sem consultar, e compara-se com a de entrada para ver o que mudou e que aulas convém revisar. Em ambas conta a primeira tentativa, que é a que se compara e a que reúne o perfil do balanço final; as demais já se fazem com a retroalimentação vista. Os desafios completam a verificação, porque exigem combinar e redigir o que as perguntas breves só tocam. Daí se segue que quem crê dominar já uma unidade não deve decidi-lo por uma só prova: se a sua avaliação de saída é sólida e resolve os desafios da síntese, pode passar à unidade posterior; se não, convém percorrer as aulas que uma e outros assinalem.

Em cada aula, convém ler primeiro o resumo e os objetivos, que dizem o que se busca; estudar depois a teoria com papel e lápis, tentando antecipar cada passo das demonstrações antes que o reprodutor o escreva; tentar os problemas resolvidos antes de olhar a sua solução, e resolver os propostos sem ajuda, abrindo a dica só quando a tentativa se tiver esgotado, e a resposta só no final, para verificar. Um problema cuja resposta se consultou antes de tentá-lo não foi resolvido, mas lido.

Os desafios são mais difíceis que os problemas das aulas, e é normal que alguns requeiram várias tentativas em dias distintos. Não convém deter-se indefinidamente num: anotá-lo, continuar avançando e voltar a ele mais tarde é, com frequência, o caminho mais curto. Ora, a dedicação estimada supõe que todos se tentam com seriedade, e nesse esforço joga-se boa parte do que o curso pode ensinar.

Por último, convém escrever. Redigir uma demonstração ou uma solução completa, com as suas premissas e as suas conclusões, é a única maneira de saber se se compreendeu, e é também o sétimo dos objetivos do curso. Um caderno de estudo, no qual se reescrevam com palavras próprias as definições e os teoremas de cada unidade, é o melhor material de revisão que o curso pode deixar, e sê-lo-á ainda mais em Cálculo I, que voltará a quase tudo o que aqui se demonstra.