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Topos Uranos
Português

Retas e planos no espaço

Resumo

Esta aula leva ao espaço a reta dada por um ponto e um vetor diretor, e descreve o plano na forma vetorial e paramétrica, por um ponto e dois vetores diretores, e na forma cartesiana, por uma equação ax+by+cz=dax + by + cz = d cujos coeficientes formam um vetor normal. O produto vetorial liga as duas formas, e demonstra-se que todo plano tem uma equação cartesiana, única a menos de um fator. As posições relativas de planos e retas traduzem-se em sistemas lineares e classificam-se com o teorema de Rouché-Capelli (no mundo hispanófono, teorema de Rouché-Frobenius); o produto misto decide se duas retas se cortam ou são reversas. A aula termina com o feixe de planos e com problemas sobre rotas de aviões, a inclinação de um terreno e tetraedros.

Objetivos de aprendizagem

  1. Escrever uma reta do espaço na forma vetorial, paramétrica e simétrica, também quando alguma componente do vetor diretor é nula, e demonstrar que por dois pontos distintos passa uma única reta.
  2. Escrever um plano na forma vetorial, paramétrica e cartesiana, passar de uma forma a outra com o produto vetorial e construir o plano que passa por três pontos não colineares.
  3. Demonstrar que todo plano tem uma equação cartesiana, única a menos de um fator não nulo, e que toda equação linear em xx, yy e zz com algum coeficiente não nulo descreve um plano.
  4. Decidir a posição relativa de dois ou de três planos, de uma reta e um plano e de duas retas por meio dos postos de um sistema linear e do produto misto, também quando os dados dependem de um parâmetro.
  5. Construir com o feixe de planos o plano que contém uma reta e cumpre outra condição, e modelar com retas e planos situações da navegação aérea, da construção e do design.

A reta no espaço

Na aula do curso Álgebra e Geometria I sobre os vetores no plano e as equações paramétricas da reta, a reta do plano, conhecida como gráfico de uma equação do primeiro grau desde a aula sobre a equação da reta, foi descrita como P0+td⃗P_0 + t \vec{d}. No espaço não há coeficiente angular, e uma equação do primeiro grau em xx, yy e zz descreve, como se verá, um plano. Se isto é assim, convém inverter a ordem: a descrição vetorial será a definição, e dela se deduzirão as demais formas.

Os vetores do espaço e seu produto escalar foram estudados na aula sobre os vetores no espaço e o produto escalar; o produto vetorial e o produto misto, na aula sobre o produto vetorial e o produto misto. Como no plano, Q=P+v⃗Q = P + \vec{v} significa PQ⃗=v⃗\vec{PQ} = \vec{v}, e dois vetores não nulos são paralelos quando um é múltiplo do outro. Nas figuras, o eixo yy vai para a direita, o eixo zz para cima e o eixo xx em direção ao observador.

Sejam AA um ponto e v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) um vetor não nulo. A reta que passa por AA com vetor diretor v⃗\vec{v} é o conjunto dos pontos PP para os quais existe um número real tt tal que P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}; o número tt chama-se parâmetro de PP.
P=A+tv⃗,t∈RP = A + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}

O parâmetro de cada ponto é único: se A+tv⃗=A+sv⃗A + t \vec{v} = A + s \vec{v}, então (t−s)v⃗=0⃗\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0}, e como v⃗\vec{v} não é nulo, t=st = s. Para A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) e P=(x,y,z)P = (x, y, z), a equação vetorial, escrita por componentes, dá as equações paramétricas da reta:

{x=x0+tv1y=y0+tv2z=z0+tv3\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}

Se o parâmetro é o tempo, essas equações descrevem um movimento uniforme de velocidade v⃗\vec{v}, como no plano. Uma mesma reta admite muitos pontos de partida e muitos vetores diretores; o teorema abaixo mostra que dois de seus pontos a determinam.

TeoremaA reta que passa por dois pontos

Por dois pontos distintos AA e BB passa uma única reta, a de equação P=A+tAB⃗P = A + t \vec{AB}. Em consequência, as equações P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} e P=C+sw⃗P = C + s \vec{w} descrevem a mesma reta se e somente se CC está na primeira e w⃗\vec{w} é paralelo a v⃗\vec{v}.

Na figura, A=(2,0,1)A = (2, 0, 1) e B=(1,2,2)B = (1, 2, 2), de modo que AB⃗=(−1,2,1)\vec{AB} = \left( -1, 2, 1 \right), e a outra reta passa por C=(0,4,3)C = (0, 4, 3) com vetor diretor v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = \left( 1, -2, -1 \right).

Demonstração

  1. A+0⋅AB⃗=A,A+1⋅AB⃗=BA + \resaltar{0} \cdot \vec{AB} = A, \qquad A + \resaltar{1} \cdot \vec{AB} = B

    Existência: o vetor AB⃗\vec{AB} não é nulo, porque A≠BA \neq B, e a reta que passa por AA com esse vetor diretor contém AA, com parâmetro 00, e BB, com parâmetro 11.

  2. A=C+t1v⃗,B=C+t2v⃗\dato{ab}{A = C + t_1 \vec{v}, \qquad B = C + t_2 \vec{v}}

    Unicidade: seja rr uma reta qualquer, P=C+tv⃗P = C + t \vec{v}, que contenha AA e BB, e sejam t1t_1 e t2t_2 seus parâmetros. Na figura, t1=2t_1 = 2 e t2=1t_2 = 1.

  3. AB⃗=t2v⃗−t1v⃗=(t2−t1)v⃗\vec{AB} = t_2 \vec{v} - t_1 \vec{v} = \dato{d}{\resaltar{\left( t_2 - t_1 \right)} \vec{v}}

    Pela relação de Chasles, AB⃗=CB⃗−CA⃗\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}. Os parâmetros são distintos, porque A≠BA \neq B; portanto, AB⃗\vec{AB} é paralelo a v⃗\vec{v}. Na figura, AB⃗=−v⃗\vec{AB} = -\vec{v}.

  4. C+tv⃗=A+(t−t1)v⃗=A+t−t1t2−t1AB⃗C + t \vec{v} = A + \left( t - t_1 \right) \vec{v} = A + \resaltar{\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}} \vec{AB}

    Cada ponto de rr está na reta ABAB: partimos de AA em lugar de CC e substituímos v⃗\vec{v} por sua expressão em função de AB⃗\vec{AB}. Na figura, o ponto de rr de parâmetro 12\frac{1}{2} é o ponto da reta ABAB de parâmetro 32\frac{3}{2}.

  5. A+sAB⃗=A+s(t2−t1)v⃗=C+(t1+s(t2−t1))v⃗A + s \vec{AB} = A + s \left( t_2 - t_1 \right) \vec{v} = C + \resaltar{\left( t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) \right)} \vec{v}

    Reciprocamente, o ponto de parâmetro ss da reta ABAB é o de parâmetro t1+s(t2−t1)t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) em rr: as duas retas têm os mesmos pontos. Para a segunda afirmação: se as equações descrevem a mesma reta, CC e C+w⃗C + \vec{w} estão nela, e pelo terceiro passo w⃗\vec{w} é múltiplo de v⃗\vec{v}; se CC está na primeira e w⃗=kv⃗\vec{w} = k \vec{v}, a primeira contém CC e C+w⃗C + \vec{w}, e é a reta que passa por eles.

Daí se segue que duas retas distintas têm no máximo um ponto comum: se compartilhassem dois, seriam a única reta que passa por eles. Três pontos são colineares quando há uma reta que os contém. Se A≠BA \neq B, o ponto CC é colinear com eles se e somente se C=A+tAB⃗C = A + t \vec{AB} para algum tt, isto é, se e somente se AC⃗\vec{AC} é múltiplo de AB⃗\vec{AB}.

As equações simétricas

Ao isolar o parâmetro e igualar os resultados obtêm-se equações sem parâmetro, com cuidado com as componentes nulas do vetor diretor.

ProposiçãoEquações simétricas da reta

Seja rr a reta que passa por A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) com vetor diretor v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right). Se as três componentes de v⃗\vec{v} são diferentes de zero, um ponto (x,y,z)(x, y, z) está em rr se e somente se valem as igualdades abaixo. Se só v2v_2 é nula, a condição é x−x0v1=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{z - z_0}{v_3} e y=y0y = y_0; se v2v_2 e v3v_3 são nulas, a condição é y=y0y = y_0 e z=z0z = z_0. Os casos em que se anulam outras componentes obtêm-se trocando os papéis das coordenadas.

x−x0v1=y−y0v2=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

Na figura, A=(1,2,−1)A = (1, 2, -1) e v⃗=(2,0,4)\vec{v} = \left( 2, 0, 4 \right), o vetor que vai de AA a B=(3,2,3)B = (3, 2, 3).

Demonstração

  1. x−x0v1=t,y−y0v2=t,z−z0v3=t\frac{x - x_0}{v_1} = \resaltar{t}, \quad \frac{y - y_0}{v_2} = \resaltar{t}, \quad \frac{z - z_0}{v_3} = \resaltar{t}

    Se as três componentes são diferentes de zero e P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}, isolamos tt em cada equação paramétrica: os três quocientes valem tt.

  2. x=x0+tv1,y=y0+tv2,z=z0+tv3x = x_0 + \resaltar{t} v_1, \quad y = y_0 + \resaltar{t} v_2, \quad z = z_0 + \resaltar{t} v_3

    Reciprocamente, se os três quocientes são iguais, chamamos tt seu valor comum; ao multiplicar cada igualdade por seu denominador recuperam-se as equações paramétricas, e P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} está em rr.

  3. x−12=z+14,y=2\frac{x - 1}{2} = \frac{z + 1}{4}, \quad \resaltar{y = 2}

    Se só v2v_2 é nula, a segunda equação é y=y0y = y_0 para todo tt, e escreve-se à margem das outras, porque dividir por 00 carece de sentido. Na figura, a reta está no plano y=2y = 2.

  4. y=2,z=−1\resaltar{y = 2}, \quad \resaltar{z = -1}

    Se v2v_2 e v3v_3 são nulas, as duas últimas equações fixam yy e zz, e para cada xx o parâmetro t=x−x0v1t = \frac{x - x_0}{v_1} dá o ponto: a reta é a paralela ao eixo xx traçada por AA, que na figura aparece em segundo plano.

  5. 4−12=5+14=32,2−12≠2+14\frac{4 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{2 - 1}{2} \neq \frac{2 + 1}{4}

    Verificação na figura: C=(4,2,5)C = (4, 2, 5) está na reta, com parâmetro 32\frac{3}{2}, e D=(2,2,2)D = (2, 2, 2) não está, embora cumpra y=2y = 2.

Cada igualdade das equações simétricas é uma equação do primeiro grau: a reta da figura é o conjunto das soluções de 2x−z=32x - z = 3 e y=2y = 2. Quando se vir que cada equação assim descreve um plano, isso dirá que a reta é a interseção de dois planos, sua forma implícita.