Vai al contenuto
Topos Uranos
Italiano

Rette e piani nello spazio

Riepilogo

Questa lezione porta nello spazio la retta data da un punto e da un vettore direttore, e descrive il piano in forma vettoriale e parametrica, mediante un punto e due vettori direttori, e in forma cartesiana, mediante un’equazione ax+by+cz=dax + by + cz = d i cui coefficienti formano un vettore normale. Il prodotto vettoriale collega le due forme, e si dimostra che ogni piano ha un’equazione cartesiana, unica a meno di un fattore. Le posizioni reciproche di piani e rette si traducono in sistemi lineari e si classificano con il teorema di Rouché-Capelli (nel mondo ispanofono, teorema di Rouché-Frobenius); il prodotto misto decide se due rette sono incidenti o sghembe. La lezione si chiude con il fascio di piani e con problemi su rotte di aerei, sull’inclinazione di un terreno e sui tetraedri.

Obiettivi di apprendimento

  1. Scrivere una retta dello spazio in forma vettoriale, parametrica e simmetrica, anche quando qualche componente del vettore direttore è nulla, e dimostrare che per due punti distinti esiste una e una sola retta.
  2. Scrivere un piano in forma vettoriale, parametrica e cartesiana, convertire una forma nell’altra con il prodotto vettoriale e costruire il piano per tre punti non allineati.
  3. Dimostrare che ogni piano ha un’equazione cartesiana, unica a meno di un fattore non nullo, e che ogni equazione lineare in xx, yy e zz con qualche coefficiente non nullo descrive un piano.
  4. Stabilire la posizione reciproca di due o di tre piani, di una retta e un piano e di due rette mediante i ranghi di un sistema lineare e il prodotto misto, anche quando i dati dipendono da un parametro.
  5. Costruire con il fascio di piani il piano che contiene una retta e soddisfa un’altra condizione, e modellizzare con rette e piani situazioni della navigazione aerea, dell’edilizia e del design.

La retta nello spazio

Nella lezione del corso Algebra e Geometria I sui vettori nel piano ed equazioni parametriche della retta, la retta del piano, nota come grafico di un’equazione di primo grado fin dalla lezione sull’equazione della retta, è stata descritta come P0+td⃗P_0 + t \vec{d}. Nello spazio non c’è coefficiente angolare, e un’equazione di primo grado in xx, yy e zz descrive, come si vedrà, un piano. Se le cose stanno così, conviene invertire l’ordine: la descrizione vettoriale sarà la definizione, e da essa si dedurranno le altre forme.

I vettori dello spazio e il loro prodotto scalare sono stati studiati nella lezione su vettori nello spazio e il prodotto scalare; il prodotto vettoriale e il prodotto misto, nella lezione su prodotto vettoriale e prodotto misto. Come nel piano, Q=P+v⃗Q = P + \vec{v} significa PQ⃗=v⃗\vec{PQ} = \vec{v}, e due vettori non nulli sono paralleli quando uno è multiplo dell’altro. Nelle figure, l’asse yy è rivolto verso destra, l’asse zz verso l’alto e l’asse xx verso l’osservatore.

Siano AA un punto e v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) un vettore non nullo. La retta per AA con vettore direttore v⃗\vec{v} è l’insieme dei punti PP per i quali esiste un numero reale tt tale che P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}; il numero tt si chiama parametro di PP.
P=A+tv⃗,t∈RP = A + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}

Il parametro di ogni punto è unico: se A+tv⃗=A+sv⃗A + t \vec{v} = A + s \vec{v}, allora (t−s)v⃗=0⃗\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0}, e poiché v⃗\vec{v} non è nullo, t=st = s. Per A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) e P=(x,y,z)P = (x, y, z), l’equazione vettoriale, scritta componente per componente, dà le equazioni parametriche della retta:

{x=x0+tv1y=y0+tv2z=z0+tv3\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}

Se il parametro è il tempo, queste equazioni descrivono un moto uniforme di velocità v⃗\vec{v}, come nel piano. Una stessa retta ammette molti punti iniziali e molti vettori direttori; il teorema che segue mostra che due suoi punti la determinano.

TeoremaLa retta per due punti

Per due punti distinti AA e BB esiste una e una sola retta, quella di equazione P=A+tAB⃗P = A + t \vec{AB}. Di conseguenza, le equazioni P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} e P=C+sw⃗P = C + s \vec{w} descrivono la stessa retta se e solo se CC sta sulla prima e w⃗\vec{w} è parallelo a v⃗\vec{v}.

Nella figura, A=(2,0,1)A = (2, 0, 1) e B=(1,2,2)B = (1, 2, 2), in modo che AB⃗=(−1,2,1)\vec{AB} = \left( -1, 2, 1 \right), e l’altra retta è quella per C=(0,4,3)C = (0, 4, 3) con vettore direttore v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = \left( 1, -2, -1 \right).

Dimostrazione

  1. A+0⋅AB⃗=A,A+1⋅AB⃗=BA + \resaltar{0} \cdot \vec{AB} = A, \qquad A + \resaltar{1} \cdot \vec{AB} = B

    Esistenza: il vettore AB⃗\vec{AB} non è nullo, perché A≠BA \neq B, e la retta per AA con quel vettore direttore contiene AA, con parametro 00, e BB, con parametro 11.

  2. A=C+t1v⃗,B=C+t2v⃗\dato{ab}{A = C + t_1 \vec{v}, \qquad B = C + t_2 \vec{v}}

    Unicità: sia rr una retta qualsiasi, P=C+tv⃗P = C + t \vec{v}, che contenga AA e BB, e siano t1t_1 e t2t_2 i loro parametri. Nella figura, t1=2t_1 = 2 e t2=1t_2 = 1.

  3. AB⃗=t2v⃗−t1v⃗=(t2−t1)v⃗\vec{AB} = t_2 \vec{v} - t_1 \vec{v} = \dato{d}{\resaltar{\left( t_2 - t_1 \right)} \vec{v}}

    Per la relazione di Chasles, AB⃗=CB⃗−CA⃗\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}. I parametri sono distinti, perché A≠BA \neq B; quindi AB⃗\vec{AB} è parallelo a v⃗\vec{v}. Nella figura, AB⃗=−v⃗\vec{AB} = -\vec{v}.

  4. C+tv⃗=A+(t−t1)v⃗=A+t−t1t2−t1AB⃗C + t \vec{v} = A + \left( t - t_1 \right) \vec{v} = A + \resaltar{\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}} \vec{AB}

    Ogni punto di rr sta sulla retta ABAB: prendiamo come punto iniziale AA invece di CC e sostituiamo v⃗\vec{v} con la sua espressione in funzione di AB⃗\vec{AB}. Nella figura, il punto di rr di parametro 12\frac{1}{2} è il punto della retta ABAB di parametro 32\frac{3}{2}.

  5. A+sAB⃗=A+s(t2−t1)v⃗=C+(t1+s(t2−t1))v⃗A + s \vec{AB} = A + s \left( t_2 - t_1 \right) \vec{v} = C + \resaltar{\left( t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) \right)} \vec{v}

    Viceversa, il punto di parametro ss della retta ABAB è quello di parametro t1+s(t2−t1)t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) su rr: le due rette hanno gli stessi punti. Per la seconda affermazione: se le equazioni descrivono la stessa retta, CC e C+w⃗C + \vec{w} stanno su di essa, e per il terzo passo w⃗\vec{w} è multiplo di v⃗\vec{v}; se CC sta sulla prima e w⃗=kv⃗\vec{w} = k \vec{v}, la prima contiene CC e C+w⃗C + \vec{w}, ed è la retta per essi.

Ne segue che due rette distinte hanno al più un punto comune: se ne avessero due in comune, sarebbero entrambe l’unica retta per essi. Tre punti sono allineati quando esiste una retta che li contiene. Se A≠BA \neq B, il punto CC è allineato con essi se e solo se C=A+tAB⃗C = A + t \vec{AB} per qualche tt, cioè se e solo se AC⃗\vec{AC} è multiplo di AB⃗\vec{AB}.

La forma simmetrica

Ricavando il parametro e uguagliando i risultati si ottengono equazioni senza parametro, con attenzione alle componenti nulle del vettore direttore.

ProposizioneForma simmetrica della retta

Sia rr la retta per A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) con vettore direttore v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right). Se le tre componenti di v⃗\vec{v} sono diverse da zero, un punto (x,y,z)(x, y, z) sta su rr se e solo se valgono le uguaglianze riportate sotto. Se solo v2v_2 è nulla, la condizione è x−x0v1=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{z - z_0}{v_3} e y=y0y = y_0; se v2v_2 e v3v_3 sono nulle, la condizione è y=y0y = y_0 e z=z0z = z_0. I casi in cui si annullano altre componenti si ottengono scambiando i ruoli delle coordinate.

x−x0v1=y−y0v2=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

Nella figura, A=(1,2,−1)A = (1, 2, -1) e v⃗=(2,0,4)\vec{v} = \left( 2, 0, 4 \right), il vettore che va da AA a B=(3,2,3)B = (3, 2, 3).

Dimostrazione

  1. x−x0v1=t,y−y0v2=t,z−z0v3=t\frac{x - x_0}{v_1} = \resaltar{t}, \quad \frac{y - y_0}{v_2} = \resaltar{t}, \quad \frac{z - z_0}{v_3} = \resaltar{t}

    Se le tre componenti sono diverse da zero e P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}, ricaviamo tt da ciascuna equazione parametrica: i tre quozienti valgono tt.

  2. x=x0+tv1,y=y0+tv2,z=z0+tv3x = x_0 + \resaltar{t} v_1, \quad y = y_0 + \resaltar{t} v_2, \quad z = z_0 + \resaltar{t} v_3

    Viceversa, se i tre quozienti sono uguali, chiamiamo tt il loro valore comune; moltiplicando ogni uguaglianza per il suo denominatore si ritrovano le equazioni parametriche, e P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} sta su rr.

  3. x−12=z+14,y=2\frac{x - 1}{2} = \frac{z + 1}{4}, \quad \resaltar{y = 2}

    Se solo v2v_2 è nulla, la seconda equazione è y=y0y = y_0 per ogni tt, e si scrive a sé, perché dividere per 00 non ha senso. Nella figura, la retta sta nel piano y=2y = 2.

  4. y=2,z=−1\resaltar{y = 2}, \quad \resaltar{z = -1}

    Se v2v_2 e v3v_3 sono nulle, le ultime due equazioni fissano yy e zz, e per ogni xx il parametro t=x−x0v1t = \frac{x - x_0}{v_1} dà il punto: la retta è la parallela all’asse xx condotta per AA, che nella figura compare sullo sfondo.

  5. 4−12=5+14=32,2−12≠2+14\frac{4 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{2 - 1}{2} \neq \frac{2 + 1}{4}

    Verifica nella figura: C=(4,2,5)C = (4, 2, 5) sta sulla retta, con parametro 32\frac{3}{2}, e D=(2,2,2)D = (2, 2, 2) no, benché soddisfi y=2y = 2.

Ogni uguaglianza della forma simmetrica è un’equazione di primo grado: la retta della figura è l’insieme delle soluzioni di 2x−z=32x - z = 3 e y=2y = 2. Quando si sarà visto che ogni equazione di questo tipo descrive un piano, ciò dirà che la retta è l’intersezione di due piani, la sua forma implicita.