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Topos Uranos
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공간의 직선과 평면

요약

이 수업은 한 점과 방향벡터로 주어지는 직선을 공간으로 옮기고, 평면을 한 점과 두 방향벡터에 의한 벡터 형태와 매개변수 표시로, 그리고 방정식 ax+by+cz=dax + by + cz = d(그 계수들이 법선벡터를 이루는 것)에 의한 일반형으로 기술한다. 외적이 두 형태를 잇고, 모든 평면이 상수배를 제외하고 유일한 일반형 방정식을 가짐이 증명된다. 평면과 직선의 위치 관계는 연립일차방정식으로 옮겨지고 루셰-프로베니우스 정리로 분류되며, 두 직선이 만나는지 꼬인 위치에 있는지는 스칼라 삼중곱이 결정한다. 수업은 평면의 묶음과, 비행기의 항로, 지형의 경사, 사면체에 관한 문제들로 끝난다.

학습 목표

  1. 공간의 직선을 벡터 형태, 매개변수 표시, 대칭형으로 쓰고(방향벡터의 어떤 성분이 영일 때도 포함하여), 서로 다른 두 점을 지나는 직선이 오직 하나임을 증명한다.
  2. 평면을 벡터 형태, 매개변수 표시, 일반형으로 쓰고, 외적을 이용하여 한 형태에서 다른 형태로 옮기며, 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 평면을 구성한다.
  3. 모든 평면이 영이 아닌 상수배를 제외하고 유일한 일반형 방정식을 가지며, xx, yy, zz에 관한 일차방정식으로서 영이 아닌 계수가 있는 것은 모두 평면을 나타냄을 증명한다.
  4. 두 평면이나 세 평면, 직선과 평면, 두 직선의 위치 관계를 연립일차방정식의 랭크와 스칼라 삼중곱으로 결정한다(자료가 매개변수에 의존할 때도 포함하여).
  5. 평면의 묶음으로 한 직선을 포함하고 또 하나의 조건을 만족하는 평면을 구성하고, 항공, 건설, 설계의 상황을 직선과 평면으로 모델링한다.

공간의 직선

강좌 대수학과 기하학 I의 평면벡터에 관한 수업에서는 평면의 직선(직선의 방정식에 관한 수업 이후 일차방정식의 그래프로 알려진 것)을 P0+td⃗P_0 + t \vec{d}로 기술하였다. 공간에는 기울기가 없고, xx, yy, zz에 관한 일차방정식은 뒤에서 보듯이 평면을 나타낸다. 그렇다면 순서를 뒤집는 것이 좋다. 벡터에 의한 기술을 정의로 삼고, 그로부터 다른 형태들을 이끌어 낸다.

공간의 벡터와 그 내적은 공간벡터와 내적에 관한 수업에서, 외적과 스칼라 삼중곱은 외적과 스칼라 삼중곱에 관한 수업에서 다루었다. 평면에서와 같이 Q=P+v⃗Q = P + \vec{v}은 PQ⃗=v⃗\vec{PQ} = \vec{v}를 뜻하고, 영이 아닌 두 벡터는 한쪽이 다른 쪽의 실수배일 때 평행하다고 한다. 그림에서 yy축은 오른쪽, zz축은 위쪽, xx축은 보는 사람 쪽을 향한다.

AA를 한 점, v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right)를 영이 아닌 벡터라 하자. 직선(AA를 지나고 방향벡터가 v⃗\vec{v}인 것)이란 점 PP 가운데 어떤 실수 tt가 있어 P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}이 되는 것 전체의 집합이다. 수 tt를 PP의 매개변수라 한다.
P=A+tv⃗,t∈RP = A + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}

각 점의 매개변수는 유일하다. 실제로 A+tv⃗=A+sv⃗A + t \vec{v} = A + s \vec{v}이면 (t−s)v⃗=0⃗\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0}이고, v⃗\vec{v}는 영벡터가 아니므로 t=st = s이다. A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0), P=(x,y,z)P = (x, y, z)이라 하면, 벡터 방정식을 성분으로 쓴 것이 직선의 매개변수 방정식을 준다.

{x=x0+tv1y=y0+tv2z=z0+tv3\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}

매개변수가 시간이면, 이 방정식들은 평면에서와 같이 속도 v⃗\vec{v}의 등속 운동을 나타낸다. 같은 직선은 많은 출발점과 많은 방향벡터를 가진다. 아래 정리는 직선이 그 위의 두 점으로 결정됨을 보여 준다.

정리두 점을 지나는 직선

서로 다른 두 점 AA와 BB를 지나는 직선은 오직 하나이며, 그것은 방정식이 P=A+tAB⃗P = A + t \vec{AB}인 직선이다. 따라서 방정식 P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}와 P=C+sw⃗P = C + s \vec{w}가 같은 직선을 나타낼 필요충분조건은 CC가 첫째 직선 위에 있고 w⃗\vec{w}가 v⃗\vec{v}에 평행한 것이다.

그림에서 A=(2,0,1)A = (2, 0, 1), B=(1,2,2)B = (1, 2, 2)이고, 따라서 AB⃗=(−1,2,1)\vec{AB} = \left( -1, 2, 1 \right)이다. 다른 직선은 C=(0,4,3)C = (0, 4, 3)를 지나고 방향벡터는 v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = \left( 1, -2, -1 \right)이다.

증명

  1. A+0⋅AB⃗=A,A+1⋅AB⃗=BA + \resaltar{0} \cdot \vec{AB} = A, \qquad A + \resaltar{1} \cdot \vec{AB} = B

    존재: 벡터 AB⃗\vec{AB}는 영벡터가 아니다. A≠BA \neq B이기 때문이다. 이 벡터를 방향벡터로 하고 AA를 지나는 직선은 AA를 매개변수 00으로, BB를 매개변수 11로 포함한다.

  2. A=C+t1v⃗,B=C+t2v⃗\dato{ab}{A = C + t_1 \vec{v}, \qquad B = C + t_2 \vec{v}}

    유일성: rr을 임의의 직선 P=C+tv⃗P = C + t \vec{v}이며 AA와 BB를 포함하는 것이라 하고, t1t_1과 t2t_2를 그 매개변수라 하자. 그림에서 t1=2t_1 = 2, t2=1t_2 = 1이다.

  3. AB⃗=t2v⃗−t1v⃗=(t2−t1)v⃗\vec{AB} = t_2 \vec{v} - t_1 \vec{v} = \dato{d}{\resaltar{\left( t_2 - t_1 \right)} \vec{v}}

    샬의 관계에 의해 AB⃗=CB⃗−CA⃗\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}이다. A≠BA \neq B이므로 두 매개변수는 서로 다르다. 따라서 AB⃗\vec{AB}는 v⃗\vec{v}에 평행하다. 그림에서 AB⃗=−v⃗\vec{AB} = -\vec{v}이다.

  4. C+tv⃗=A+(t−t1)v⃗=A+t−t1t2−t1AB⃗C + t \vec{v} = A + \left( t - t_1 \right) \vec{v} = A + \resaltar{\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}} \vec{AB}

    rr의 각 점은 직선 ABAB 위에 있다. AA에서 출발하여(CC 대신) v⃗\vec{v}를 AB⃗\vec{AB}에 의한 식으로 바꾸어 놓으면 된다. 그림에서 rr 위의 매개변수 12\frac{1}{2}인 점은 직선 ABAB 위의 매개변수 32\frac{3}{2}인 점이다.

  5. A+sAB⃗=A+s(t2−t1)v⃗=C+(t1+s(t2−t1))v⃗A + s \vec{AB} = A + s \left( t_2 - t_1 \right) \vec{v} = C + \resaltar{\left( t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) \right)} \vec{v}

    역으로, 매개변수 ss인 점(직선 ABAB 위의)은 매개변수 t1+s(t2−t1)t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right)인 점(rr 위의)이다. 두 직선은 같은 점들로 이루어진다. 둘째 주장에 대하여: 두 방정식이 같은 직선을 나타내면 CC와 C+w⃗C + \vec{w}는 그 위에 있고, 셋째 과정에 의해 w⃗\vec{w}는 v⃗\vec{v}의 실수배이다. CC가 첫째 직선 위에 있고 w⃗=kv⃗\vec{w} = k \vec{v}이면, 첫째 직선은 CC와 C+w⃗C + \vec{w}를 포함하며, 그것들을 지나는 직선이다.

이로부터 서로 다른 두 직선의 공통점은 많아야 하나이다. 공통점이 둘이라면 두 직선 모두 그 두 점을 지나는 유일한 직선이 될 것이다. 세 점은 그것들을 포함하는 직선이 있을 때 한 직선 위에 있다고 한다. A≠BA \neq B일 때, 점 CC가 그것들과 한 직선 위에 있을 필요충분조건은 C=A+tAB⃗C = A + t \vec{AB}(어떤 tt에 대하여)인 것, 곧 AC⃗\vec{AC}가 AB⃗\vec{AB}의 실수배인 것이다.

대칭형

매개변수를 각 식에서 구하여 결과를 같다고 놓으면 매개변수가 없는 방정식을 얻는다. 단, 방향벡터의 영인 성분에는 주의해야 한다.

명제직선의 대칭형

직선 rr은 A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0)를 지나고 방향벡터가 v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right)이라 하자. v⃗\vec{v}의 세 성분이 모두 영이 아니면, 점 (x,y,z)(x, y, z)가 rr 위에 있을 필요충분조건은 아래 등식들이 성립하는 것이다. v2v_2만 영이면 조건은 x−x0v1=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{z - z_0}{v_3} 그리고 y=y0y = y_0이다. v2v_2와 v3v_3이 영이면 조건은 y=y0y = y_0 그리고 z=z0z = z_0이다. 다른 성분이 영이 되는 경우는 좌표의 역할을 바꾸어 얻는다.

x−x0v1=y−y0v2=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

그림에서 A=(1,2,−1)A = (1, 2, -1), v⃗=(2,0,4)\vec{v} = \left( 2, 0, 4 \right)이며, 이는 AA에서 B=(3,2,3)B = (3, 2, 3)로 가는 벡터이다.

증명

  1. x−x0v1=t,y−y0v2=t,z−z0v3=t\frac{x - x_0}{v_1} = \resaltar{t}, \quad \frac{y - y_0}{v_2} = \resaltar{t}, \quad \frac{z - z_0}{v_3} = \resaltar{t}

    세 성분이 모두 영이 아니고 P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}일 때, 각 매개변수 방정식에서 tt를 구한다. 세 몫은 모두 tt이다.

  2. x=x0+tv1,y=y0+tv2,z=z0+tv3x = x_0 + \resaltar{t} v_1, \quad y = y_0 + \resaltar{t} v_2, \quad z = z_0 + \resaltar{t} v_3

    역으로, 세 몫이 같으면 그 공통값을 tt이라 한다. 각 등식에 분모를 곱하면 매개변수 방정식이 돌아오고, P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}는 rr 위에 있다.

  3. x−12=z+14,y=2\frac{x - 1}{2} = \frac{z + 1}{4}, \quad \resaltar{y = 2}

    v2v_2만 영이면 둘째 방정식은 y=y0y = y_0(모든 tt에 대하여)이고, 00으로 나누는 것은 의미가 없으므로 따로 쓴다. 그림에서 직선은 평면 y=2y = 2 위에 있다.

  4. y=2,z=−1\resaltar{y = 2}, \quad \resaltar{z = -1}

    v2v_2와 v3v_3이 영이면 마지막 두 방정식이 yy와 zz를 고정하고, 각 xx에 대하여 매개변수 t=x−x0v1t = \frac{x - x_0}{v_1}이 점을 준다. 이 직선은 xx축에 평행하고 AA를 지나는 직선이며, 그림에서 뒤쪽에 보인다.

  5. 4−12=5+14=32,2−12≠2+14\frac{4 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{2 - 1}{2} \neq \frac{2 + 1}{4}

    그림에서의 확인: C=(4,2,5)C = (4, 2, 5)은 매개변수 32\frac{3}{2}로 직선 위에 있고, D=(2,2,2)D = (2, 2, 2)은 y=2y = 2를 만족하지만 직선 위에 있지 않다.

대칭형의 각 등식은 일차방정식이다. 그림의 직선은 2x−z=32x - z = 3과 y=2y = 2의 해집합이다. 그러한 방정식이 모두 평면을 나타냄을 보이고 나면, 이는 직선이 두 평면의 교선이라는 것을 뜻하며, 이것이 직선의 두 평면의 교선으로서의 표현이다.