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Topos Uranos
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외적과 스칼라 삼중곱

요약

이 수업은 공간의 두 벡터의 외적을 성분으로 정의하되, 벡터 i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}를 담은 형식적 행렬식으로 정의하고, 행렬식의 성질을 이용하여 외적이 반교환적이고 쌍선형이지만 결합적이지는 않음을 증명한다. 외적이 두 인수 모두에 수직임과 라그랑주 항등식을 증명하고, 이로부터 외적의 크기가 두 인수가 결정하는 평행사변형의 넓이이며 두 인수가 평행할 때 그리고 그때에만 외적이 영벡터가 됨을 증명한다. 벡터 삼중곱 공식과 야코비 항등식을 세우고, 스칼라 삼중곱을 삼차 행렬식으로 정의하여 그 순환성을 증명하며, 이를 평행육면체와 사면체의 부피로 해석하고, 공면 조건과 내적에 의한 부피의 표현을 함께 다룬다. 오른손 법칙 가운데 어느 부분이 증명되고 어느 부분이 규약인지를 정확히 밝히고, 외적이 두 순사원수의 곱의 벡터 부분임을 보이며, 외적을 힘의 모멘트, 움직이는 전하에 작용하는 자기력, 공간의 삼각형의 넓이, 컴퓨터 그래픽스의 법선에 응용한다.

학습 목표

  1. 외적과 스칼라 삼중곱을 성분과 행렬식으로 계산하고, 반교환성, 쌍선형성, 순환성, 벡터 삼중곱 공식을 이용하여 이를 다룬다.
  2. 외적의 수직성, 라그랑주 항등식, 평행 판정법, 벡터 삼중곱 공식, 공면 조건을 증명한다.
  3. 공간에서 평행사변형과 삼각형의 넓이, 평행육면체와 사면체의 부피를 계산하고, 네 점이 한 평면 위에 있는지를 판정한다.
  4. 오른손 법칙에서 증명되는 것과 규약으로 정하는 것을 구별하고, 힘의 모멘트, 자기력, 컴퓨터 그래픽스에서 곡면의 향을 외적으로 모형화한다.

외적

공간벡터와 내적에 관한 수업에서는 R3\mathbb{R}^3의 벡터를 순서쌍 u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right)로 썼고, 내적 u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3을 이용하여 길이와 각을 재고, 수직인지를 판정하고, 한 벡터를 다른 벡터 위로 사영할 수 있었다. 두 벡터의 내적은 수이다. 그런데 공간의 많은 문제는 벡터를 요구한다. 평평한 면에 수직인 방향, 힘이 물체를 회전시키는 축, 자기장이 전하를 휘게 하는 방향이 그렇다. 평면에서는 각 방향에 수직인 방향이 하나뿐이지만, 공간에서는 한 방향에 수직인 직선들이 평면 전체를 채우며, 공통인 수직 방향 하나를 정하려면 평행하지 않은 두 방향이 필요하다. 그렇다면 자연스러운 물음은 이렇다. 두 벡터 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}가 주어질 때, 어떤 벡터 x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right)이 u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0과 v⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0을 만족하는가?

이것은 미지수가 세 개인 일차방정식 두 개이다. 첫째 식 u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0에 v1v_1을 곱하고 둘째 식에 u1u_1을 곱하여 빼면 x1x_1이 사라지고 (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0가 남는데, 이 식은 x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3, x3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1일 때 성립한다. 다른 미지수에 대해서도 같은 방식으로 생각하면 x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2이 나타난다. 세 식은 모두 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}의 성분으로 만든 이차 행렬식이며, 행렬식에 관한 수업의 행렬식과 같은 꼴이다. 이 탐색이 정의를 시사한다. 외적의 기하에 관한 절에서, 이렇게 만든 벡터가 실제로 두 인수 모두에 수직임을 증명한다.

u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right)과 v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right)를 R3\mathbb{R}^3의 벡터라 하자. 이들의 외적, 또는 크로스곱은 벡터 u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right)이다.

이 정의에는 기억해 둘 만한 규칙성이 있다. 각 성분은 그 앞의 성분에서 첨자를 순환적으로 옮겨(1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1) 얻는다. 첫째 성분은 u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2이고, 각 첨자에 11을 더하되 3+13 + 1을 11로 보면 u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3이 되는데, 이것이 둘째 성분이며, 한 번 더 되풀이하면 셋째 성분이 된다. 외워서 쓰려면 표준기저의 벡터 i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right), j⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right), k⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right)를 쓰는데, 이들로 모든 벡터를 u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k}으로 쓸 수 있다. 그리고 형식적 행렬식을 쓴다. 이는 삼차의 표로서, 첫째 행에 벡터 i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}를 담고, 행렬식에 관한 수업에서처럼 이 행에 대해 전개하는 것이다.

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

이 행렬식이 형식적인 것은 그 원소가 모두 수인 것은 아니기 때문이며, 여기에는 행렬식의 어떤 성질도 적용하지 않는다. 이것은 첫째 행에 대한 전개 공식을 요약할 뿐이다. 둘째 항의 음의 부호가 둘째 성분을 재현하는 것은 −(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3이기 때문이다. 반면 각 성분은 진짜 이차 행렬식으로, 행렬(행은 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v})의 두 열로 만들어진다. 외적의 대수적 성질은 이 관찰에 바탕을 둔다.

예시외적의 계산과 표준기저끼리의 곱

u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}를 구하라. 단, u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right), v⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right)이다. 또 표준기저의 벡터끼리의 곱을 구하라.

증명

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    첫째 성분: 첫째 성분들의 열을 지우고 남는 이차 행렬식을 계산한다.

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    둘째 성분: 가운데 열을 지우고 행렬식의 부호를 바꾼다.

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    셋째 성분: 마지막 열을 지운다.

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    세 성분을 모은다. 그림은 세 벡터를 공통의 시점에서 그린다. u⃗\vec{u}는 수평면 위에 있고, u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}는 위를 향한다.

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    정의에 의해 i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right)이고, 다른 쌍에 대해서도 마찬가지이다. 기저의 각 벡터에 순환 순서 i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}에서 그 뒤에 오는 벡터를 곱하면 나머지 하나가 나오고, 반대 순서에서는 그 역벡터가 나온다.

대수적 성질

외적의 성질은 그 성분에서 읽어 낼 수 있다. 성분을 이루는 세 이차 행렬식을 D1D_1, D2D_2, D3D_3이라 하고, 열은 순환 순서로 놓는다. D1D_1은 행렬(행은 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v})의 둘째 열과 셋째 열을 쓰고, D2D_2는 셋째 열과 첫째 열을 이 순서로 쓰며, D3D_3은 첫째 열과 둘째 열을 쓴다.

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
정리외적의 대수적 성질

모든 벡터 u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w}(R3\mathbb{R}^3의 원소)에 대하여, 그리고 모든 실수 ss, tt에 대하여, 외적은 반교환적이어서 v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}이고, 쌍선형, 즉 각 인수에 대하여 선형이어서 (su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}, v⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}이며, 또 u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}이다.

세 성질은 세 성분 각각에 이차 행렬식의 성질을 적용하는 것으로 귀착된다. 쓰는 것은 행렬식에 관한 수업에서 모든 차수에 대해 증명한 ‘두 행의 교환’ 보조정리와 ‘각 행에 대한 선형성’ 보조정리이다. 그림은 예 ‘외적의 계산과 표준기저끼리의 곱’을 이어 간다.

증명

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    각 성분 DmD_m은 이차 행렬의 행렬식인데, 그 첫째 행은 u⃗\vec{u}에서, 둘째 행은 v⃗\vec{v}에서 가져온 것이며 두 열은 같다.

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}를 바꾸면 각 행렬식의 두 행이 바뀌고, 교환 보조정리에 의해 각 성분의 부호가 바뀐다. 그림에서 v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right)은 아래를 향한다.

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    첫째 인수가 su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w}이면, 각 행렬식의 첫째 행은 ss에 u⃗\vec{u}에서 가져온 행을 곱한 것과 tt에 w⃗\vec{w}에서 가져온 행을 곱한 것의 합이다. 선형성 보조정리에 의해 각 성분도 같은 방식으로 분해된다.

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    둘째 인수에 대한 선형성은 앞의 두 성질에서 나온다. 순서를 바꾸고, 첫째 인수에 대한 선형성을 적용한 뒤, 다시 순서를 바꾸면 된다.

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    두 인수가 같으면 각 행렬식은 같은 두 행을 가지므로 영이다. 특히 i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}이다.

쌍선형성에 의해 외적은 합의 곱처럼 분배하여 계산할 수도 있으며, 이때 표준기저끼리의 곱을 쓴다. 예를 들어 (i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i}이다. 반교환성은 행렬의 곱에서처럼 인수의 순서가 중요함을 말해 주지만, 그 방식은 아주 특별하다. 순서를 뒤집으면 부호만 바뀐다.

예시외적은 결합적이지 않다

(i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j}과 i⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)를 비교하라.

증명

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    정리에 의해 한 벡터와 그 자신의 곱은 영벡터이고, 쌍선형성에 의해 영벡터와 다른 어떤 벡터의 곱도 영벡터이다.

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    다른 쪽 괄호 묶음에서는 괄호 안의 곱이 표준기저의 예에 의해 k⃗\vec{k}이다.

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    반교환성에 의해 i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k}는 k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}의 역벡터이다.

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    두 결과는 다르다. 외적은 결합적이지 않으며, u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w}처럼 괄호가 없는 식은 의미가 없다.

항등원도 없다. 어떤 벡터 e⃗\vec{e}도 e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u}를 모든 u⃗\vec{u}에 대하여 만족하지는 않는다. e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0}이면 e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0}이어야 하고, 그러면 e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0}이 모든 u⃗\vec{u}에 대하여 성립하기 때문이다. 따라서 외적은 분배법칙을 제외하면 수의 곱의 성질을 하나도 갖지 않는다. 벡터 삼중곱에 관한 절에서 결합법칙을 대신하는 정확한 규칙을 얻는다.