انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الجداء المتجهي والجداء المختلط

ملخص

يعرّف هذا الدرس الجداء المتجهي لمتجهين في الفضاء بدلالة إحداثياتهما، بوصفه محددًا شكليًا فيه المتجهات i⃗\vec{i} وj⃗\vec{j} وk⃗\vec{k}، ويبرهن بخصائص المحددات أنه ضد تبديلي وثنائي الخطية، لكنه غير تجميعي. ويبرهن أن الجداء المتجهي عمودي على عامليه كليهما، ويبرهن متطابقة لاغرانج ويستنتج منها أن نظيمه هو مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدده العاملان وأنه ينعدم إذا وفقط إذا كانا متوازيين. ويثبت صيغة الجداء المتجهي المضاعف ومتطابقة ياكوبي، ويعرّف الجداء المختلط بوصفه محددًا من الدرجة الثالثة، ويبرهن خاصيته الدورية ويفسّره بأنه حجم متوازي سطوح وحجم رباعي أوجه، مع معيار اتحاد المستوى والتعبير عن الحجم بالجداءات السلمية. ويبيّن بدقة أي جزء من قاعدة اليد اليمنى يُبرهن وأي جزء منها اصطلاح، ويُظهر أن الجداء المتجهي هو الجزء المتجهي لجداء رباعيين بحتين، ويطبّقه على عزم القوة، وعلى القوة المغناطيسية المؤثرة في شحنة متحركة، وعلى مساحة مثلث في الفضاء، وعلى المتجهات الناظمية في الرسوميات الحاسوبية.

أهداف التعلم

  1. حساب الجداءات المتجهية والجداءات المختلطة بالإحداثيات وبالمحددات، وإجراء العمليات عليها باستعمال ضد التبديلية وثنائية الخطية والخاصية الدورية وصيغة الجداء المتجهي المضاعف.
  2. برهان تعامد الجداء المتجهي مع عامليه، ومتطابقة لاغرانج، ومعيار التوازي، وصيغة الجداء المتجهي المضاعف، ومعيار اتحاد المستوى.
  3. حساب مساحات متوازيات الأضلاع والمثلثات في الفضاء وحجوم متوازيات السطوح ورباعيات الأوجه، والحكم هل أربع نقاط متحدة المستوى.
  4. التمييز في قاعدة اليد اليمنى بين ما يُبرهن وما يُصطلح عليه، ونمذجة عزم القوة والقوة المغناطيسية وتوجيه السطوح في الرسوميات الحاسوبية بالجداء المتجهي.

الجداء المتجهي

في الدرس الخاص بـالمتجهات في الفضاء والجداء السلمي كُتبت متجهات R3\mathbb{R}^3 ثلاثياتٍ u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right)، وأتاح الجداء السلمي u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 قياس الأطوال والزوايا والحكم على التعامد وإسقاط متجه على آخر. والجداء السلمي لمتجهين عدد. غير أن كثيرًا من مسائل الفضاء تطلب متجهًا: الاتجاه العمودي على سطح مستوٍ، والمحور الذي تُدير القوة حوله جسمًا، والاتجاه الذي يحرف فيه المجال المغناطيسي شحنة. في المستوى لكل اتجاه عمودي واحد فقط؛ أما في الفضاء فالأعمدة على اتجاه واحد تملأ مستوًى كاملًا، ويلزم اتجاهان غير متوازيين لتعيين عمود مشترك. وإذا كان الأمر كذلك، فالسؤال الطبيعي هو الآتي: إذا عُلم متجهان u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v}، فأي متجه x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right) يحقق u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0 وv⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0؟

هاتان معادلتان خطيتان في ثلاثة مجاهيل. إذا ضُربت الأولى، u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0، في v1v_1، والثانية في u1u_1، ثم طُرحت إحداهما من الأخرى، اختفى x1x_1 وبقي (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0، وهي تتحقق بأخذ x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 وx3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1؛ وبالاستدلال نفسه مع المجهولين الآخرين يظهر x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2. والعبارات الثلاث محددات من الدرجة الثانية مكوّنة من مركّبات u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v}، كمحددات الدرس الخاص بـالمحددات. هذا البحث يوحي بالتعريف؛ وفقرة هندسة الجداء المتجهي تبرهن أن المتجه المكوّن على هذا النحو عمودي فعلًا على العاملين كليهما.

ليكن u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) وv⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) متجهين من R3\mathbb{R}^3. جداؤهما المتجهي، ويسمى أيضًا الجداء الاتجاهي، هو المتجه u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right).

في التعريف انتظام يحسن حفظه. كل مركّبة تُستخرج من المركّبة التي قبلها بإزاحة الأدلة إزاحة دورية 1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1: الأولى هي u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2؛ وبإضافة 11 إلى كل دليل، مع عدّ 3+13 + 1 بمنزلة 11، ينتج u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3، وهي الثانية، وبتكرار ذلك تنتج الثالثة. ولكتابته عن ظهر قلب تُستعمل متجهات الأساس القانوني i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right) وj⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right) وk⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right)، التي يُكتب بها كل متجه على الصورة u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k}، ويُستعمل محدد شكلي: جدول من الدرجة الثالثة يحتوي صفه الأول المتجهات i⃗\vec{i} وj⃗\vec{j} وk⃗\vec{k}، ويُنشر وفق هذا الصف كما في الدرس الخاص بالمحددات.

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

المحدد شكلي لأن عناصره ليست كلها أعدادًا، ولا تُطبَّق عليه أي خاصية من خصائص المحددات: إنما يلخّص صيغة النشر وفق الصف الأول. وإشارة الناقص في الحد الثاني تعيد إنتاج المركّبة الثانية، لأن −(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3. أما كل مركّبة فهي محدد حقيقي من الدرجة الثانية، مكوّن من عمودين من المصفوفة ذات الصفين u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v}؛ وعلى هذه الملاحظة تقوم الخصائص الجبرية للجداء المتجهي.

مثالجداء متجهي وجداءات الأساس القانوني

احسب u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} حيث u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right) وv⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right)، وجداءات متجهات الأساس القانوني بعضها في بعض.

البرهان

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    المركّبة الأولى: نحذف عمود المركّبات الأولى ونحسب المحدد من الدرجة الثانية الباقي.

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    المركّبة الثانية: نحذف العمود الأوسط ونغيّر إشارة المحدد.

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    المركّبة الثالثة: نحذف العمود الأخير.

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    نجمع المركّبات الثلاث. يرسم الشكل المتجهات الثلاثة من أصل مشترك؛ u⃗\vec{u} يقع في المستوى الأفقي، وu⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} يتجه إلى أعلى.

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    بالتعريف، i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right)، وكذلك مع الأزواج الأخرى. كل متجه من الأساس، مضروبًا في الذي يليه في الترتيب الدوري i⃗\vec{i}، j⃗\vec{j}، k⃗\vec{k}، يعطي الثالث؛ وبالترتيب المعاكس يعطي معاكسه.

الخصائص الجبرية

خصائص الجداء المتجهي تُقرأ في مركّباته. لنسمِّ D1D_1 وD2D_2 وD3D_3 المحددات الثلاثة من الدرجة الثانية التي تكوّنها، مع الأعمدة في الترتيب الدوري: D1D_1 يستعمل العمودين الثاني والثالث من المصفوفة ذات الصفين u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v}؛ وD2D_2 يستعمل الثالث والأول، بهذا الترتيب؛ وD3D_3 يستعمل الأول والثاني.

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
مبرهنةالخصائص الجبرية للجداء المتجهي

لكل المتجهات u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} وw⃗\vec{w} من R3\mathbb{R}^3 ولكل العددين الحقيقيين ss وtt: الجداء المتجهي ضد تبديلي، v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}؛ وهو ثنائي الخطية، أي خطي بالنسبة إلى كل عامل، (su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v} وv⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}؛ وu⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}.

ترجع الخصائص الثلاث إلى خصائص المحددات من الدرجة الثانية، مطبَّقةً على كل واحدة من المركّبات الثلاث: توطئة تبديل صفين وتوطئة الخطية بالنسبة إلى كل صف، اللتين بُرهنتا في الدرس الخاص بالمحددات لكل درجة. ويتابع الشكل المثال «جداء متجهي وجداءات الأساس القانوني».

البرهان

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    كل مركّبة DmD_m هي محدد مصفوفة من الدرجة الثانية صفها الأول مأخوذ من u⃗\vec{u} وصفها الثاني مأخوذ من v⃗\vec{v}، بالعمودين أنفسهما.

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    إذا بودل بين u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v}، تبادل الصفان في كل محدد، وبتوطئة التبديل تتغير إشارة كل مركّبة. في الشكل، v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right) يتجه إلى أسفل.

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    إذا كان العامل الأول su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w}، كان الصف الأول من كل محدد مساويًا لـss مرةً الصفَّ المأخوذ من u⃗\vec{u} زائد tt مرةً الصفَّ المأخوذ من w⃗\vec{w}. وبتوطئة الخطية تتفكك كل مركّبة على النحو نفسه.

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    الخطية بالنسبة إلى العامل الثاني تُستنتج من الخاصيتين الأوليين: نغيّر الترتيب، ونطبّق الخطية بالنسبة إلى العامل الأول، ثم نعيد تغيير الترتيب.

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    إذا تطابق العاملان، كان لكل محدد صفان متساويان فكان منعدمًا. وبخاصة i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}.

بفضل ثنائية الخطية يُحسب الجداء المتجهي أيضًا بالتوزيع، كجداء مجاميع، مع استعمال جداءات الأساس القانوني. مثلًا، (i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i}. وضد التبديلية تقول إن ترتيب العوامل مهم، كما في جداء المصفوفات، لكن على نحو خاص جدًا: عكسه لا يغيّر إلا الإشارة.

مثالالجداء المتجهي غير تجميعي

قارن (i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} بـi⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right).

البرهان

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    بالمبرهنة، جداء متجه في نفسه منعدم، وبثنائية الخطية جداء المتجه المنعدم في أي متجه آخر منعدم كذلك.

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    في التجميع الآخر، الجداء الذي بين القوسين هو k⃗\vec{k}، بمثال الأساس القانوني.

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    بضد التبديلية، i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k} هو معاكس k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}.

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    النتيجتان مختلفتان: الجداء المتجهي غير تجميعي، وعبارة مثل u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w}، بلا أقواس، لا معنى لها.

ولا يوجد عنصر محايد أيضًا: لا يحقق أي متجه e⃗\vec{e} العلاقة e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u} لكل u⃗\vec{u}، لأن e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0} تفرض e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0}، وحينئذ e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0} لكل u⃗\vec{u}. لذلك لا يملك الجداء المتجهي أيًّا من خصائص جداءات الأعداد سوى التوزيعية. وفقرة الجداء المتجهي المضاعف ستعطي القاعدة الدقيقة التي تحل محل التجميعية.