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Topos Uranos
Português

Produto vetorial e produto misto

Resumo

Esta aula define o produto vetorial de dois vetores do espaço por suas coordenadas, como um determinante formal com os vetores i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} e k⃗\vec{k}, e demonstra com as propriedades dos determinantes que ele é anticomutativo e bilinear, mas não associativo. Demonstra que o produto vetorial é perpendicular a seus dois fatores, a identidade de Lagrange e, a partir dela, que sua norma é a área do paralelogramo determinado pelos fatores e que ele se anula exatamente quando estes são paralelos. Estabelece a fórmula do duplo produto vetorial e a identidade de Jacobi, define o produto misto como um determinante de ordem três, prova sua propriedade cíclica e o interpreta como o volume de um paralelepípedo e de um tetraedro, com o critério de coplanaridade e a expressão do volume pelos produtos escalares. Declara com precisão o que se demonstra na regra da mão direita e o que nela é uma convenção, mostra que o produto vetorial é a parte vetorial do produto de dois quatérnios puros e o aplica ao momento de uma força, à força magnética sobre uma carga em movimento, à área de um triângulo no espaço e às normais da computação gráfica.

Objetivos de aprendizagem

  1. Calcular produtos vetoriais e produtos mistos por coordenadas e por meio de determinantes, e operar com eles usando a anticomutatividade, a bilinearidade, a propriedade cíclica e a fórmula do duplo produto vetorial.
  2. Demonstrar a perpendicularidade do produto vetorial, a identidade de Lagrange, o critério de paralelismo, a fórmula do duplo produto vetorial e o critério de coplanaridade.
  3. Calcular áreas de paralelogramos e de triângulos no espaço e volumes de paralelepípedos e de tetraedros, e decidir se quatro pontos são coplanares.
  4. Distinguir na regra da mão direita o que se demonstra do que se convenciona, e modelar com o produto vetorial o momento de uma força, a força magnética e a orientação das superfícies na computação gráfica.

O produto vetorial

Na aula sobre os vetores no espaço e o produto escalar, os vetores de R3\mathbb{R}^3 foram escritos como ternas u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right), e o produto escalar u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 permitiu medir comprimentos e ângulos, decidir a perpendicularidade e projetar um vetor sobre outro. O produto escalar de dois vetores é um número. Ora, muitos problemas do espaço pedem um vetor: a direção perpendicular a uma superfície plana, o eixo em torno do qual uma força faz girar um corpo, a direção em que um campo magnético desvia uma carga. No plano, cada direção tem uma única perpendicular; no espaço, as perpendiculares a uma direção preenchem um plano inteiro, e são necessárias duas direções não paralelas para fixar uma perpendicular comum. Se é assim, a pergunta natural é esta: dados dois vetores u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}, que vetor x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right) cumpre u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0 e v⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0?

São duas equações lineares com três incógnitas. Se a primeira, u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0, é multiplicada por v1v_1, a segunda por u1u_1, e elas são subtraídas, desaparece x1x_1 e resta (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0, que se cumpre com x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 e x3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1; raciocinando do mesmo modo com as outras incógnitas, aparece x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2. As três expressões são determinantes de ordem dois formados com as componentes de u⃗\vec{u} e de v⃗\vec{v}, como os da aula sobre os determinantes. Esta busca sugere a definição; a seção “A geometria do produto vetorial” demonstra que o vetor assim formado é, de fato, perpendicular a ambos os fatores.

Sejam u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) e v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) vetores de R3\mathbb{R}^3. Seu produto vetorial, ou produto cruzado, é o vetor u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right).

A definição tem uma regularidade que convém reter. Cada componente se obtém da precedente deslocando circularmente os índices, 1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1: a primeira é u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2; ao somar 11 a cada índice, contando 3+13 + 1 como 11, resulta u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3, que é a segunda, e ao repetir isso resulta a terceira. Para escrevê-la de memória, usam-se os vetores da base canônica, i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right), j⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right) e k⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right), com os quais todo vetor se escreve u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k}, e um determinante formal: uma tabela de ordem três cuja primeira linha contém os vetores i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} e k⃗\vec{k}, e que se desenvolve por essa linha como na aula sobre os determinantes.

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

O determinante é formal porque seus elementos não são todos números, e não se lhe aplica nenhuma propriedade dos determinantes: ele só resume a fórmula do desenvolvimento pela primeira linha. O sinal de menos do segundo termo reproduz a segunda componente, porque −(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3. Em compensação, cada componente é um verdadeiro determinante de ordem dois, formado por duas colunas da matriz de linhas u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}; as propriedades da seção “As propriedades algébricas” se baseiam nesta observação.

ExemploUm produto vetorial e os produtos da base canônica

Calcular u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} para u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right) e v⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right), e os produtos dos vetores da base canônica entre si.

Demonstração

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    Primeira componente: suprimimos a coluna das primeiras componentes e calculamos o determinante de ordem dois que resta.

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    Segunda componente: suprimimos a coluna central e trocamos o sinal do determinante.

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    Terceira componente: suprimimos a última coluna.

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    Reunimos as três componentes. A figura desenha os três vetores com origem comum; u⃗\vec{u} está no plano horizontal, e u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} aponta para cima.

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    Pela definição, i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right), e do mesmo modo com os outros pares. Cada vetor da base, multiplicado pelo que o segue na ordem circular i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}, dá o terceiro; na ordem contrária, o seu oposto.

As propriedades algébricas

As propriedades do produto vetorial leem-se em suas componentes. Chamemos D1D_1, D2D_2 e D3D_3 os três determinantes de ordem dois que as formam, com as colunas na ordem circular: D1D_1 usa a segunda e a terceira colunas da matriz de linhas u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}; D2D_2, a terceira e a primeira, nessa ordem; e D3D_3, a primeira e a segunda.

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
TeoremaPropriedades algébricas do produto vetorial

Para todos os vetores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} e w⃗\vec{w} de R3\mathbb{R}^3 e todos os reais ss e tt: o produto vetorial é anticomutativo, v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}; é bilinear, isto é, linear em cada fator, (su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v} e v⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}; e u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}.

As três propriedades se reduzem às dos determinantes de ordem dois, aplicadas a cada uma das três componentes: o lema da troca de duas linhas e o lema da linearidade em cada linha, demonstrados na aula sobre os determinantes para toda ordem. A figura acompanha o exemplo “Um produto vetorial e os produtos da base canônica”.

Demonstração

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    Cada componente DmD_m é o determinante de uma matriz de ordem dois cuja primeira linha sai de u⃗\vec{u} e cuja segunda linha sai de v⃗\vec{v}, com as mesmas duas colunas.

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    Se u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} são trocados, trocam-se as duas linhas de cada determinante, e pelo lema da troca cada componente muda de sinal. Na figura, v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right) aponta para baixo.

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    Se o primeiro fator é su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w}, a primeira linha de cada determinante é ss vezes a linha tomada de u⃗\vec{u} mais tt vezes a tomada de w⃗\vec{w}. Pelo lema da linearidade, cada componente se decompõe do mesmo modo.

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    A linearidade no segundo fator deduz-se das duas propriedades já demonstradas: troca-se a ordem, aplica-se a linearidade no primeiro fator e volta-se a trocar a ordem.

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    Se os dois fatores coincidem, cada determinante tem duas linhas iguais e é nulo. Em particular, i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}.

Com a bilinearidade, o produto vetorial também se calcula distribuindo, como um produto de somas, e usando os produtos da base canônica. Por exemplo, (i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i}. A anticomutatividade diz que a ordem dos fatores importa, como no produto de matrizes, embora de um modo muito particular: invertê-la só troca o sinal.

ExemploO produto vetorial não é associativo

Comparar (i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} com i⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right).

Demonstração

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    Pelo teorema, o produto de um vetor por si mesmo é nulo, e pela bilinearidade o produto do vetor nulo por qualquer outro também o é.

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    No outro agrupamento, o produto entre parênteses é k⃗\vec{k}, pelo exemplo da base canônica.

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    Pela anticomutatividade, i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k} é o oposto de k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}.

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    Os dois resultados são distintos: o produto vetorial não é associativo, e uma expressão como u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w}, sem parênteses, carece de sentido.

Tampouco há um elemento neutro: nenhum vetor e⃗\vec{e} cumpre e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u} para todo u⃗\vec{u}, porque e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0} obrigaria a e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0}, e então e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0} para todo u⃗\vec{u}. O produto vetorial não tem, portanto, nenhuma das propriedades dos produtos de números, salvo a distributividade. A seção “O duplo produto vetorial” dará a regra exata que substitui a associatividade.