Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο

Περίληψη

Το μάθημα αυτό ορίζει το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων του χώρου μέσω των συντεταγμένων τους, ως συμβολική ορίζουσα με τα διανύσματα i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} και k⃗\vec{k}, και αποδεικνύει με τις ιδιότητες των οριζουσών ότι αντιμετατίθεται με αλλαγή προσήμου και είναι διγραμμικό, αλλά όχι προσεταιριστικό. Αποδεικνύει ότι το εξωτερικό γινόμενο είναι κάθετο στους δύο παράγοντές του, την ταυτότητα του Λαγκράνζ και, από αυτήν, ότι το μέτρο του είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζουν οι παράγοντες και ότι μηδενίζεται ακριβώς όταν αυτοί είναι συγγραμμικοί. Θεμελιώνει τον τύπο του διπλού εξωτερικού γινομένου και την ταυτότητα του Γιακόμπι, ορίζει το μικτό γινόμενο ως ορίζουσα τάξης τρία, αποδεικνύει την κυκλική του ιδιότητα και το ερμηνεύει ως όγκο παραλληλεπιπέδου και τετραέδρου, με το κριτήριο συνεπιπεδότητας και την έκφραση του όγκου μέσω των εσωτερικών γινομένων. Δηλώνει με ακρίβεια ποιο μέρος του κανόνα του δεξιού χεριού αποδεικνύεται και ποιο είναι σύμβαση, δείχνει ότι το εξωτερικό γινόμενο είναι το διανυσματικό μέρος του γινομένου δύο καθαρών τετρανίων και το εφαρμόζει στη ροπή μιας δύναμης, στη μαγνητική δύναμη πάνω σε ένα κινούμενο φορτίο, στο εμβαδόν ενός τριγώνου στον χώρο και στα κάθετα διανύσματα των γραφικών υπολογιστή.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να υπολογίζει εξωτερικά και μικτά γινόμενα μέσω συντεταγμένων και με ορίζουσες, και να κάνει πράξεις με αυτά χρησιμοποιώντας την αντιμετάθεση με αλλαγή προσήμου, τη διγραμμικότητα, την κυκλική ιδιότητα και τον τύπο του διπλού εξωτερικού γινομένου.
  2. Να αποδεικνύει την καθετότητα του εξωτερικού γινομένου, την ταυτότητα του Λαγκράνζ, το κριτήριο συγγραμμικότητας, τον τύπο του διπλού εξωτερικού γινομένου και το κριτήριο συνεπιπεδότητας.
  3. Να υπολογίζει εμβαδά παραλληλογράμμων και τριγώνων στον χώρο και όγκους παραλληλεπιπέδων και τετραέδρων, και να αποφασίζει αν τέσσερα σημεία είναι συνεπίπεδα.
  4. Να διακρίνει στον κανόνα του δεξιού χεριού τι αποδεικνύεται από τι συμφωνείται, και να μοντελοποιεί με το εξωτερικό γινόμενο τη ροπή μιας δύναμης, τη μαγνητική δύναμη και τον προσανατολισμό των επιφανειών στα γραφικά υπολογιστή.

Το εξωτερικό γινόμενο

Στο μάθημα για τα διανύσματα στον χώρο και το εσωτερικό γινόμενο τα διανύσματα του R3\mathbb{R}^3 γράφτηκαν ως τριάδες u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right), και το εσωτερικό γινόμενο u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 επέτρεψε να μετρηθούν μήκη και γωνίες, να κριθεί η καθετότητα και να προβληθεί ένα διάνυσμα πάνω σε άλλο. Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι αριθμός. Ωστόσο, πολλά προβλήματα του χώρου ζητούν ένα διάνυσμα: τη διεύθυνση που είναι κάθετη σε μια επίπεδη επιφάνεια, τον άξονα γύρω από τον οποίο μια δύναμη στρέφει ένα σώμα, τη διεύθυνση προς την οποία ένα μαγνητικό πεδίο εκτρέπει ένα φορτίο. Στο επίπεδο κάθε διεύθυνση έχει μία μόνο κάθετη· στον χώρο, οι κάθετες σε μια διεύθυνση γεμίζουν ένα ολόκληρο επίπεδο, και χρειάζονται δύο μη συγγραμμικές διευθύνσεις για να οριστεί μια κοινή κάθετη. Αν αυτό ισχύει, το φυσικό ερώτημα είναι το εξής: δοθέντων δύο διανυσμάτων u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v}, ποιο διάνυσμα x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right) ικανοποιεί u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0 και v⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0;

Πρόκειται για δύο γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους. Αν πολλαπλασιαστεί η πρώτη, u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0, με v1v_1, η δεύτερη με u1u_1, και αφαιρεθούν, απαλείφεται το x1x_1 και μένει (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0, που ικανοποιείται με x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 και x3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1· με τον ίδιο συλλογισμό για τους άλλους αγνώστους προκύπτει x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2. Οι τρεις εκφράσεις είναι ορίζουσες τάξης δύο σχηματισμένες από τις συντεταγμένες του u⃗\vec{u} και του v⃗\vec{v}, όπως εκείνες του μαθήματος για τις ορίζουσες. Η αναζήτηση αυτή υποδεικνύει τον ορισμό· η παράγραφος για τη γεωμετρία του εξωτερικού γινομένου αποδεικνύει ότι το διάνυσμα που σχηματίζεται έτσι είναι πράγματι κάθετο και στους δύο παράγοντες.

Έστω u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) και v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) διανύσματα του R3\mathbb{R}^3. Το εξωτερικό γινόμενό τους, ή διανυσματικό γινόμενο, είναι το διάνυσμα u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right).

Ο ορισμός έχει μια κανονικότητα που αξίζει να συγκρατηθεί. Κάθε συντεταγμένη προκύπτει από εκείνη που προηγείται μετατοπίζοντας κυκλικά τους δείκτες, 1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1: η πρώτη είναι u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2· προσθέτοντας 11 σε κάθε δείκτη, και μετρώντας το 3+13 + 1 ως 11, προκύπτει u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3, που είναι η δεύτερη, και επαναλαμβάνοντάς το προκύπτει η τρίτη. Για να γράφεται από μνήμης χρησιμοποιούνται τα διανύσματα της κανονικής βάσης, i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right), j⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right) και k⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right), με τα οποία κάθε διάνυσμα γράφεται u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k}, και μια συμβολική ορίζουσα: ένας πίνακας τάξης τρία του οποίου η πρώτη γραμμή περιέχει τα διανύσματα i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} και k⃗\vec{k}, και που αναπτύσσεται κατά αυτή τη γραμμή όπως στο μάθημα για τις ορίζουσες.

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

Η ορίζουσα είναι συμβολική επειδή τα στοιχεία της δεν είναι όλα αριθμοί, και δεν της εφαρμόζεται καμία ιδιότητα των οριζουσών: απλώς συνοψίζει τον τύπο του αναπτύγματος κατά την πρώτη γραμμή. Το πρόσημο μείον του δεύτερου όρου αναπαράγει τη δεύτερη συντεταγμένη, επειδή −(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3. Αντίθετα, κάθε συντεταγμένη είναι μια γνήσια ορίζουσα τάξης δύο, σχηματισμένη από δύο στήλες του πίνακα με γραμμές u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v}· οι αλγεβρικές ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου στηρίζονται σε αυτή την παρατήρηση.

ΠαράδειγμαΈνα εξωτερικό γινόμενο και τα γινόμενα της κανονικής βάσης

Να υπολογιστεί το u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} για u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right) και v⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right), καθώς και τα γινόμενα των διανυσμάτων της κανονικής βάσης μεταξύ τους.

Απόδειξη

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    Πρώτη συντεταγμένη: διαγράφουμε τη στήλη των πρώτων συντεταγμένων και υπολογίζουμε την ορίζουσα τάξης δύο που απομένει.

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    Δεύτερη συντεταγμένη: διαγράφουμε τη μεσαία στήλη και αλλάζουμε το πρόσημο της ορίζουσας.

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    Τρίτη συντεταγμένη: διαγράφουμε την τελευταία στήλη.

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    Συγκεντρώνουμε τις τρεις συντεταγμένες. Το σχήμα σχεδιάζει τα τρία διανύσματα με κοινή αρχή· το u⃗\vec{u} βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο, και το u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} δείχνει προς τα πάνω.

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    Με τον ορισμό, i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right), και ομοίως για τα άλλα ζεύγη. Κάθε διάνυσμα της βάσης, πολλαπλασιασμένο με αυτό που έρχεται μετά από αυτό στην κυκλική σειρά i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}, δίνει το τρίτο· με την αντίθετη σειρά, το αντίθετό του.

Οι αλγεβρικές ιδιότητες

Οι ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου διαβάζονται στις συντεταγμένες του. Ας ονομάσουμε D1D_1, D2D_2 και D3D_3 τις τρεις ορίζουσες τάξης δύο που τις σχηματίζουν, με τις στήλες σε κυκλική σειρά: η D1D_1 χρησιμοποιεί τη δεύτερη και την τρίτη στήλη του πίνακα με γραμμές u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v}· η D2D_2, την τρίτη και την πρώτη, με αυτή τη σειρά· και η D3D_3, την πρώτη και τη δεύτερη.

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
ΘεώρημαΑλγεβρικές ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου

Για όλα τα διανύσματα u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} και w⃗\vec{w} του R3\mathbb{R}^3 και όλους τους πραγματικούς ss και tt: το εξωτερικό γινόμενο αντιμετατίθεται με αλλαγή προσήμου, v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}· είναι διγραμμικό, δηλαδή γραμμικό ως προς κάθε παράγοντα, (su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v} και v⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}· και u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}.

Οι τρεις ιδιότητες ανάγονται σε εκείνες των οριζουσών τάξης δύο, εφαρμοσμένες σε καθεμία από τις τρεις συντεταγμένες: το λήμμα της εναλλαγής δύο γραμμών και το λήμμα της γραμμικότητας ως προς κάθε γραμμή, που αποδείχθηκαν στο μάθημα για τις ορίζουσες για κάθε τάξη. Το σχήμα ακολουθεί το παράδειγμα «Ένα εξωτερικό γινόμενο και τα γινόμενα της κανονικής βάσης».

Απόδειξη

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    Κάθε συντεταγμένη DmD_m είναι η ορίζουσα ενός πίνακα τάξης δύο του οποίου η πρώτη γραμμή προέρχεται από το u⃗\vec{u} και η δεύτερη γραμμή από το v⃗\vec{v}, με τις ίδιες δύο στήλες.

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    Αν εναλλαχθούν τα u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v}, εναλλάσσονται οι δύο γραμμές κάθε ορίζουσας, και από το λήμμα της εναλλαγής κάθε συντεταγμένη αλλάζει πρόσημο. Στο σχήμα, το v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right) δείχνει προς τα κάτω.

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    Αν ο πρώτος παράγοντας είναι su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w}, η πρώτη γραμμή κάθε ορίζουσας είναι ss φορές η γραμμή που προέρχεται από το u⃗\vec{u} συν tt φορές εκείνη που προέρχεται από το w⃗\vec{w}. Από το λήμμα της γραμμικότητας, κάθε συντεταγμένη αναλύεται με τον ίδιο τρόπο.

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    Η γραμμικότητα ως προς τον δεύτερο παράγοντα προκύπτει από τις δύο πρώτες ιδιότητες: αλλάζουμε τη σειρά, εφαρμόζουμε τη γραμμικότητα ως προς τον πρώτο παράγοντα και αλλάζουμε ξανά τη σειρά.

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    Αν οι δύο παράγοντες συμπίπτουν, κάθε ορίζουσα έχει δύο ίσες γραμμές και είναι μηδενική. Ειδικότερα, i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}.

Με τη διγραμμικότητα, το εξωτερικό γινόμενο υπολογίζεται και με επιμερισμό, σαν γινόμενο αθροισμάτων, χρησιμοποιώντας τα γινόμενα της κανονικής βάσης. Για παράδειγμα, (i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i}. Η αντιμετάθεση με αλλαγή προσήμου λέει ότι η σειρά των παραγόντων έχει σημασία, όπως στο γινόμενο πινάκων, αν και με πολύ ιδιαίτερο τρόπο: η αντιστροφή της αλλάζει μόνο το πρόσημο.

ΠαράδειγμαΤο εξωτερικό γινόμενο δεν είναι προσεταιριστικό

Να συγκριθεί το (i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} με το i⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right).

Απόδειξη

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    Από το θεώρημα, το γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του είναι μηδενικό, και από τη διγραμμικότητα το γινόμενο του μηδενικού διανύσματος με οποιοδήποτε άλλο είναι επίσης μηδενικό.

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    Στην άλλη ομαδοποίηση, το γινόμενο μέσα στην παρένθεση είναι k⃗\vec{k}, από το παράδειγμα της κανονικής βάσης.

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    Από την αντιμετάθεση με αλλαγή προσήμου, το i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k} είναι το αντίθετο του k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}.

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    Τα δύο αποτελέσματα είναι διαφορετικά: το εξωτερικό γινόμενο δεν είναι προσεταιριστικό, και μια έκφραση όπως u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w}, χωρίς παρενθέσεις, δεν έχει νόημα.

Ούτε υπάρχει ουδέτερο στοιχείο: κανένα διάνυσμα e⃗\vec{e} δεν ικανοποιεί e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u} για κάθε u⃗\vec{u}, επειδή η e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0} θα επέβαλλε e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0}, και τότε e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0} για κάθε u⃗\vec{u}. Συνεπώς, το εξωτερικό γινόμενο δεν έχει καμία από τις ιδιότητες των γινομένων αριθμών εκτός από την επιμεριστικότητα. Η παράγραφος για το διπλό εξωτερικό γινόμενο θα δώσει τον ακριβή κανόνα που αντικαθιστά την προσεταιριστικότητα.