Vai al contenuto
Topos Uranos
Italiano

Prodotto vettoriale e prodotto misto

Riepilogo

Questa lezione definisce il prodotto vettoriale di due vettori dello spazio mediante le loro coordinate, come un determinante formale con i vettori i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} e k⃗\vec{k}, e dimostra con le proprietà dei determinanti che è anticommutativo e bilineare, ma non associativo. Dimostra che il prodotto vettoriale è perpendicolare ai suoi due fattori, l’identità di Lagrange e, da essa, che la sua norma è l’area del parallelogramma determinato dai fattori e che si annulla esattamente quando questi sono paralleli. Stabilisce la formula del doppio prodotto vettoriale e l’identità di Jacobi, definisce il prodotto misto come un determinante di ordine tre, ne prova la proprietà ciclica e lo interpreta come il volume di un parallelepipedo e di un tetraedro, con il criterio di complanarità e l’espressione del volume mediante i prodotti scalari. Dichiara con precisione che cosa della regola della mano destra si dimostra e che cosa è una convenzione, mostra che il prodotto vettoriale è la parte vettoriale del prodotto di due quaternioni puri e lo applica al momento di una forza, alla forza magnetica su una carica in movimento, all’area di un triangolo nello spazio e alle normali della computer grafica.

Obiettivi di apprendimento

  1. Calcolare prodotti vettoriali e prodotti misti mediante le coordinate e mediante determinanti, e operare con essi usando l’anticommutatività, la bilinearità, la proprietà ciclica e la formula del doppio prodotto vettoriale.
  2. Dimostrare la perpendicolarità del prodotto vettoriale, l’identità di Lagrange, il criterio di parallelismo, la formula del doppio prodotto vettoriale e il criterio di complanarità.
  3. Calcolare aree di parallelogrammi e di triangoli nello spazio e volumi di parallelepipedi e di tetraedri, e decidere se quattro punti sono complanari.
  4. Distinguere nella regola della mano destra ciò che si dimostra da ciò che si conviene, e modellare con il prodotto vettoriale il momento di una forza, la forza magnetica e l’orientazione delle superfici nella computer grafica.

Il prodotto vettoriale

Nella lezione sui vettori nello spazio e il prodotto scalare i vettori di R3\mathbb{R}^3 sono stati scritti come terne u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right), e il prodotto scalare u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 ha permesso di misurare lunghezze e angoli, di decidere la perpendicolarità e di proiettare un vettore su un altro. Il prodotto scalare di due vettori è un numero. Ora, molti problemi dello spazio richiedono un vettore: la direzione perpendicolare a una superficie piana, l’asse attorno al quale una forza fa ruotare un corpo, la direzione in cui un campo magnetico devia una carica. Nel piano, ogni direzione ha una sola perpendicolare; nello spazio, le perpendicolari a una direzione riempiono un piano intero, e occorrono due direzioni non parallele per fissare una perpendicolare comune. Se è così, la domanda naturale è questa: dati due vettori u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}, quale vettore x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right) soddisfa u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0 e v⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0?

Sono due equazioni lineari in tre incognite. Se si moltiplica la prima, u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0, per v1v_1, la seconda per u1u_1, e si sottraggono, scompare x1x_1 e resta (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0, che è soddisfatta con x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 e x3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1; ragionando allo stesso modo con le altre incognite compare x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2. Le tre espressioni sono determinanti di ordine due formati con le componenti di u⃗\vec{u} e di v⃗\vec{v}, come quelli della lezione sui determinanti. Questa ricerca suggerisce la definizione; la sezione «La geometria del prodotto vettoriale» dimostra che il vettore così formato è, in effetti, perpendicolare a entrambi i fattori.

Siano u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) e v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) vettori di R3\mathbb{R}^3. Il loro prodotto vettoriale è il vettore u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right).

La definizione ha una regolarità che conviene ricordare. Ogni componente si ottiene da quella che la precede spostando circolarmente gli indici, 1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1: la prima è u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2; sommando 11 a ogni indice, contando 3+13 + 1 come 11, risulta u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3, che è la seconda, e ripetendo risulta la terza. Per scriverla a memoria si usano i vettori della base canonica, i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right), j⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right) e k⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right), con i quali ogni vettore si scrive u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k}, e un determinante formale: una tabella di ordine tre la cui prima riga contiene i vettori i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} e k⃗\vec{k}, e che si sviluppa secondo quella riga come nella lezione sui determinanti.

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

Il determinante è formale perché i suoi elementi non sono tutti numeri, e non gli si applica nessuna proprietà dei determinanti: riassume soltanto la formula dello sviluppo secondo la prima riga. Il segno meno del secondo termine riproduce la seconda componente, perché −(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3. Invece, ogni componente è un vero determinante di ordine due, formato da due colonne della matrice di righe u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}; le proprietà della sezione «Le proprietà algebriche» poggiano su questa osservazione.

EsempioUn prodotto vettoriale e i prodotti della base canonica

Calcolare u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} per u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right) e v⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right), e i prodotti dei vettori della base canonica tra loro.

Dimostrazione

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    Prima componente: sopprimiamo la colonna delle prime componenti e calcoliamo il determinante di ordine due che resta.

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    Seconda componente: sopprimiamo la colonna centrale e cambiamo il segno del determinante.

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    Terza componente: sopprimiamo l’ultima colonna.

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    Riuniamo le tre componenti. La figura disegna i tre vettori con origine comune; u⃗\vec{u} sta nel piano orizzontale, e u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} punta verso l’alto.

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    Con la definizione, i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right), e allo stesso modo con le altre coppie. Ogni vettore della base, moltiplicato per quello che lo segue nell’ordine circolare i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}, dà il terzo; nell’ordine contrario, il suo opposto.

Le proprietà algebriche

Le proprietà del prodotto vettoriale si leggono nelle sue componenti. Chiamiamo D1D_1, D2D_2 e D3D_3 i tre determinanti di ordine due che le formano, con le colonne nell’ordine circolare: D1D_1 usa la seconda e la terza colonna della matrice di righe u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}; D2D_2, la terza e la prima, in quest’ordine; e D3D_3, la prima e la seconda.

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
TeoremaProprietà algebriche del prodotto vettoriale

Per tutti i vettori u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} e w⃗\vec{w} di R3\mathbb{R}^3 e tutti i reali ss e tt: il prodotto vettoriale è anticommutativo, v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}; è bilineare, cioè lineare in ciascun fattore, (su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v} e v⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}; e u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}.

Le tre proprietà si riducono a quelle dei determinanti di ordine due, applicate a ciascuna delle tre componenti: il lemma dello scambio di due righe e il lemma della linearità in ogni riga, dimostrati nella lezione sui determinanti per ogni ordine. La figura segue l’esempio «Un prodotto vettoriale e i prodotti della base canonica».

Dimostrazione

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    Ogni componente DmD_m è il determinante di una matrice di ordine due la cui prima riga viene da u⃗\vec{u} e la cui seconda riga viene da v⃗\vec{v}, con le stesse due colonne.

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    Se si scambiano u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}, si scambiano le due righe di ogni determinante, e per il lemma dello scambio ogni componente cambia segno. Nella figura, v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right) punta verso il basso.

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    Se il primo fattore è su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w}, la prima riga di ogni determinante è ss volte la riga presa da u⃗\vec{u} più tt volte quella presa da w⃗\vec{w}. Per il lemma della linearità, ogni componente si scompone allo stesso modo.

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    La linearità nel secondo fattore si deduce dalle due proprietà appena dimostrate: si cambia l’ordine, si applica la linearità nel primo fattore e si cambia di nuovo l’ordine.

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    Se i due fattori coincidono, ogni determinante ha due righe uguali ed è nullo. In specie, i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}.

Con la bilinearità, il prodotto vettoriale si calcola anche distribuendo, come un prodotto di somme, e usando i prodotti della base canonica. Per esempio, (i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i}. L’anticommutatività dice che l’ordine dei fattori conta, come nel prodotto di matrici, benché in un modo molto peculiare: invertirlo cambia soltanto il segno.

EsempioIl prodotto vettoriale non è associativo

Confrontare (i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} con i⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right).

Dimostrazione

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    Per il teorema, il prodotto di un vettore per sé stesso è nullo, e per la bilinearità anche il prodotto del vettore nullo per qualunque altro lo è.

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    Nell’altro raggruppamento, il prodotto tra parentesi è k⃗\vec{k}, per l’esempio della base canonica.

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    Per l’anticommutatività, i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k} è l’opposto di k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}.

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    I due risultati sono diversi: il prodotto vettoriale non è associativo, e un’espressione come u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w}, senza parentesi, non ha senso.

Non c’è nemmeno un elemento neutro: nessun vettore e⃗\vec{e} soddisfa e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u} per ogni u⃗\vec{u}, perché e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0} obbligherebbe a e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0}, e allora e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0} per ogni u⃗\vec{u}. Il prodotto vettoriale non ha dunque nessuna delle proprietà dei prodotti di numeri, salvo la distributività. La sezione «Il doppio prodotto vettoriale» darà la regola esatta che sostituisce l’associatività.