Vettori nello spazio e prodotto scalare

Il sistema di coordinate dello spazio

Nella lezione del corso Algebra e Geometria I sui vettori nel piano, ogni punto del piano è stato identificato con una coppia di numeri e ogni spostamento con un’altra coppia, e la geometria di rette, angoli e distanze si è tradotta in calcoli con queste coppie. Il mondo fisico, tuttavia, ha tre dimensioni: la posizione di un aereo, quella di un atomo in una molecola o quella di una lampada appesa al soffitto richiedono tre numeri. Se è così, conviene ripetere la costruzione con le terne. Quasi tutto ciò che si è dimostrato nel piano si estende senza cambiamenti, perché le dimostrazioni operavano componente per componente o usavano solo le proprietà algebriche del prodotto scalare; in questi casi questa lezione rimanda a quella del piano. Ciò che richiede cura è la geometria: nello spazio non si dispone di una figura piana che contenga tutto, e l’angolo tra due vettori, per esempio, va definito prima di essere calcolato.

I fatti della geometria euclidea dello spazio che si ammettono

La geometria analitica dello spazio traduce la geometria dei solidi, che Euclide espose nei libri dall’XI al XIII degli Elementi. La sua costruzione assiomatica va oltre questo corso, come accadde per quella del piano nella lezione sull’equazione della retta, dove i fatti della geometria piana che si ammettono furono riuniti in un elenco. Allo stesso modo, i fatti dello spazio che questa unità usa si ammettono senza dimostrazione e si riuniscono nell’elenco qui sotto; ogni volta che una lezione dell’unità ricorre a uno di essi, rimanda a questo elenco.

1. Piani. Tre punti non allineati individuano un unico piano, e se due punti di una retta stanno in un piano, tutta la retta sta in esso. In ogni piano dello spazio valgono i fatti della geometria piana ammessi nella lezione sull’equazione della retta; in particolare, il teorema di Pitagora e il suo inverso, e la libertà di scegliervi un sistema di assi.
2. Rette e piani perpendicolari. Per ogni punto esiste un unico piano perpendicolare a una retta data, e questo piano interseca la retta in un unico punto. Una retta perpendicolare a un piano è perpendicolare a tutte le rette del piano uscenti dal punto in cui lo interseca.
3. Assi. Tre rette concorrenti in un punto $O$ e perpendicolari a due a due, con un verso positivo su ciascuna e la stessa scala di lunghezza, formano un sistema di assi. Le distanze, gli angoli e le figure non dipendono da questa scelta.
4. Coordinate. Fissato un sistema di assi, i piani perpendicolari ai tre assi condotti da un punto $P$ li intersecano nei punti di ascisse $x$, $y$ e $z$, e viceversa, per ogni terna di numeri questi tre piani si intersecano in un unico punto. I punti di terza coordinata uguale a $c$ formano un piano perpendicolare all’asse $z$, nel quale le prime due coordinate sono coordinate cartesiane del piano con la stessa scala; i punti con le prime coordinate fissate formano una retta parallela all’asse $z$, perpendicolare a quel piano, sulla quale la terza coordinata misura la posizione con la stessa scala. Lo stesso vale con gli assi permutati.

Il quarto fatto è una conseguenza dei primi tre che la geometria dei solidi dimostra con le proprietà delle rette parallele e dei piani paralleli; si enuncia separatamente perché è la forma in cui verrà usato.

Un sistema di coordinate cartesiane nello spazio è un sistema di assi, detti asse $x$, asse $y$ e asse $z$, che si intersecano nell’origine $O$. Ogni punto $P$ si identifica con la terna delle sue coordinate, $P = (x, y, z)$, che si chiamano ascissa, ordinata e quota. I tre piani coordinati sono il piano $xy$, di equazione $z = 0$; il piano $yz$, di equazione $x = 0$; e il piano $xz$, di equazione $y = 0$.

I piani coordinati dividono lo spazio in otto regioni, dette ottanti, secondo il segno di ciascuna coordinata; il primo ottante è quello dei punti con le tre coordinate positive, e gli altri si designano con la terna dei loro segni, per esempio l’ottante $(+, -, +)$. Nel piano, due assi perpendicolari possono disporsi in due modi essenzialmente diversi: il secondo asse si ottiene ruotando il primo di un quarto di giro in senso antiorario, oppure in senso orario. Nello spazio accade lo stesso con i tre assi, e la distinzione ha un nome.

Un sistema di coordinate dello spazio ha orientazione positiva quando, guardando dal lato positivo dell’asse $z$, il quarto di giro che porta il semiasse positivo $x$ sul semiasse positivo $y$ appare in senso antiorario. In modo equivalente, vale la regola della mano destra: se le dita della mano destra si piegano dal semiasse positivo $x$ verso il semiasse positivo $y$, il pollice indica il semiasse positivo $z$.

Se si inverte il verso di uno degli assi, l’orientazione cambia; se se ne invertono due, si conserva. Permutando gli assi in modo ciclico, da $x$, $y$, $z$ a $y$, $z$, $x$, l’orientazione non cambia neppure, sicché in un sistema positivo, guardando dal semiasse positivo $x$, la rotazione da $y$ a $z$ è anch’essa antioraria. D’ora in poi tutti i sistemi hanno orientazione positiva. Le figure li disegnano in assonometria cavaliera: l’asse $y$ verso destra, l’asse $z$ verso l’alto e l’asse $x$ verso l’osservatore, tracciato in diagonale e con le lunghezze dimezzate. L’orientazione non interviene in questa lezione; sarà essenziale nella prossima, sul prodotto vettoriale e prodotto misto.

La distanza tra due punti

Nel piano, la distanza tra due punti si è ottenuta applicando una volta il teorema di Pitagora a un triangolo con i cateti paralleli agli assi. Nello spazio bisogna applicarlo due volte: prima in un piano orizzontale e poi in un piano verticale.

In particolare, la distanza di $P = (x, y, z)$ dall’origine è $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, la lunghezza della diagonale della scatola di spigoli $\abs{x}$, $\abs{y}$ e $\abs{z}$. Per esempio, la diagonale di un cubo di spigolo $a$ misura $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3}$.