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Topos Uranos
日本語

空間のベクトルと内積

要約

この課は、平面ベクトルの課が二つの座標で調べたベクトルを三次元の空間へ移す。正の向きをもつ互いに垂直な三本の軸の座標系を定め、認める空間のユークリッド幾何の事実を宣言し、三平方の定理を二回適用して二点間の距離を求める。ベクトルを実数の三つ組として定義し、その和、実数倍、標準基底、成分の一意性を与える。大きさと内積を定義し、それらの性質、判別式によるコーシー・シュワルツの不等式、三角不等式を証明し、これらを用いて二つのベクトルのなす角を定義する。この角は初等幾何の角と一致する。続いて、直交、正射影、方向余弦、そして内積を行と列の積として書く書き方を学び、そこから、列が単位ベクトルで互いに垂直な行列は長さと角を保つことが導かれる。応用は力の仕事、空間における余弦定理、メタン分子の角である。問題は立方体と平行六面体の対角線、二つの与えられたベクトルに垂直なベクトル、三本のケーブルの張力、そして向かい合う稜が垂直な四面体を扱う。

学習目標

  1. 空間座標系に点をとり、その点の属する八分空間を判定し、三平方の定理で公式を根拠づけて距離を計算する。
  2. 空間のベクトルを計算し、標準基底で表し、それを用いて平行四辺形、平行六面体、四面体の性質を証明する。
  3. 大きさ、内積、角、正射影、方向余弦を計算し、空間におけるコーシー・シュワルツの不等式と三角不等式を証明する。
  4. 内積を行列の積として書き、それを用いて行列が長さと角を保つかどうかを判定する。
  5. 内積を用いて、力の仕事、一点に働く力のつり合い、分子の角をモデル化する。

空間の座標系

コース 代数と幾何 I の平面ベクトルの課では、平面の各点を数の組と、各変位を別の数の組と同一視し、直線、角、距離の幾何をこれらの組による計算に翻訳した。しかし、物理的な世界は三次元である。飛行機の位置、分子の中の原子の位置、天井から吊るしたランプの位置は、いずれも三つの数を必要とする。そうであるならば、三つ組で構成をやり直すのがよい。平面で証明したことの大部分は変更なしに拡張される。証明が成分ごとに進むか、内積の代数的な性質だけを用いていたからである。そのような場合、この課は平面の課を参照する。注意を要するのは幾何である。空間ではすべてを含む一枚の平面図形が使えず、たとえば二つのベクトルのなす角は、計算する前に定義しなければならない。

認める空間のユークリッド幾何の事実

空間の解析幾何は立体幾何を翻訳するものであり、ユークリッドは立体幾何を『原論』の第 XI 巻から第 XIII 巻で述べた。その公理的な構成はこのコースの範囲を超える。平面の場合も同様で、直線の方程式の課では、認める平面幾何の事実を一覧にまとめた。同じように、この単元で用いる空間の事実は証明なしに認め、下の一覧にまとめる。単元のある課がそのうちの一つを用いるときには、いつもこの一覧を参照する。

  1. 平面。一直線上にない三点を通る平面はただ一つあり、直線上の二点がある平面上にあれば、その直線全体がその平面上にある。空間の各平面では、直線の方程式の課で認めた平面幾何の事実が成り立つ。特に、三平方の定理とその逆、そしてその平面内で座標軸を自由に選べることが成り立つ。
  2. 垂直な直線と平面。各点を通り、与えられた直線に垂直な平面はただ一つあり、その平面は直線とただ一点で交わる。平面に垂直な直線は、その平面上の直線のうち交点を通るすべての直線に垂直である。
  3. 軸。一点 OO を通り互いに垂直な三本の直線は、それぞれに正の向きを定め、共通の長さの単位をとると、座標軸を作る。距離、角、図形はこの選び方によらない。
  4. 座標。座標軸を固定すると、点 PP を通り三本の軸に垂直な平面は、それぞれ座標が xx、yy、zz である点で軸と交わる。逆に、どの数の三つ組に対しても、これら三つの平面はただ一点で交わる。第三の座標が cc に等しい点全体は zz 軸に垂直な平面を作り、その平面では最初の二つの座標が同じ単位による平面の直交座標である。最初の二つの座標が一定の点全体は、zz 軸に平行でその平面に垂直な直線を作り、その直線上では第三の座標が同じ単位で位置を測る。軸を入れ替えても同じことが成り立つ。

第四の事実は最初の三つの事実の帰結であり、立体幾何はそれを平行な直線と平行な平面の性質によって証明する。別に述べるのは、この形で用いるからである。

空間座標系とは、xx 軸、yy 軸、zz 軸と呼ばれる三本の座標軸で、原点 OO で交わるものである。各点 PP はその座標の三つ組 P=(x,y,z)P = (x, y, z) と同一視され、これらの座標を横座標、縦座標、高さ座標という。三つの座標平面は、xyxy 平面（方程式 z=0z = 0）、yzyz 平面（方程式 x=0x = 0）、xzxz 平面（方程式 y=0y = 0）である。

座標平面は、各座標の符号によって空間を八つの領域に分ける。これらを八分空間という。第一八分空間は三つの座標がすべて正の点の集まりであり、ほかの八分空間は符号の三つ組で呼ぶ。たとえば八分空間 (+,−,+)(+, -, +) である。平面では、互いに垂直な二本の軸の置き方は本質的に二通りある。第二の軸は、第一の軸を反時計回りに四分の一回転して得られるか、時計回りに四分の一回転して得られる。空間でも三本の軸について同じことが起こり、この区別には名前がある。

空間の座標系が正の向きをもつとは、zz 軸の正の側から見て、xx 軸の正の部分を yy 軸の正の部分に移す四分の一回転が反時計回りに見えることをいう。同値な言い方をすれば、右手の法則が成り立つ。すなわち、右手の指を xx 軸の正の部分から yy 軸の正の部分へ曲げると、親指は zz 軸の正の部分を指す。

軸の一本の向きを逆にすると向きは変わり、二本の向きを逆にすると保たれる。軸を巡回的に入れ替えて、xx、yy、zz を yy、zz、xx にしても向きは変わらない。したがって正の座標系では、xx 軸の正の部分から見ると、yy から zz への回転も反時計回りである。以下、すべての座標系は正の向きをもつ。図では座標系を斜投影図で描く。yy 軸は右向き、zz 軸は上向き、xx 軸は見る人の方向へ斜めに引き、長さを半分に縮める。向きはこの課では関わらないが、すぐあとの課、すなわち外積とスカラー三重積の課では本質的になる。

例空間に点をとる

軸に沿ってたどって点 P=(3,4,2)P = (3, 4, 2) をとり、その点の属する八分空間を答え、さらに点 P1=(3,4,−2)P_1 = (3, 4, -2) をとれ。

証明

  1. O=(0,0,0)O = \left( 0, 0, 0 \right)

    正の向きの三本の軸を描く。上から見ると、xx 軸の正の部分から yy 軸の正の部分への四分の一回転は反時計回りである。

  2. A=(3,0,0)A = \left( \resaltar{3}, 0, 0 \right)

    33 単位進む（xx 軸に沿って）。

  3. B=(3,4,0)B = \left( 3, \resaltar{4}, 0 \right)

    AA から、44 単位進む（yy 軸の方向に）。xyxy 平面から出ないようにする。

  4. P=(3,4,2)P = \left( 3, 4, \resaltar{2} \right)

    BB から、22 単位上る（zz 軸の方向に）。三つの座標はすべて正であるから、PP は第一八分空間にあり、OO と向かい合う頂点である。その直方体の稜の長さは 33、44、22 である。

  5. P1=(3,4,−2)P_1 = \left( 3, 4, \resaltar{-2} \right)

    BB から 22 単位下ると P1P_1 に着き、これは八分空間 (+,+,−)(+, +, -) にある。xyxy 平面は線分 PP1P P_1 をその中点 BB で垂直に切る。P1P_1 は PP のこの平面に関する対称点である。

二点間の距離

平面では、二点間の距離は、直角をはさむ二辺が軸に平行な三角形に三平方の定理を一回適用して得られた。空間では二回適用する必要がある。まず水平な平面で、次に鉛直な平面で適用する。

定理二点間の距離

点 P=(x1,y1,z1)P = (x_1, y_1, z_1) と Q=(x2,y2,z2)Q = (x_2, y_2, z_2) の距離は次のとおりである。

d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}

補助の点 RR を導入する。これは PP と同じ高さにあり、QQ を通る鉛直線上にある。図では P=(1,2,1)P = (1, 2, 1) と Q=(3,5,7)Q = (3, 5, 7) を用いる。

証明

  1. R=(x2,y2,z1)R = \left( x_2, y_2, \resaltar{z_1} \right)

    RR を、最初の二つの座標が QQ と同じで、高さ座標が PP と同じ点とする。点 PP と RR は高さ座標が z1z_1 の平面上にあり、RR と QQ は zz 軸に平行な直線上にある。この直線は最初の二つの座標が x2x_2 と y2y_2 である点からなる。

  2. d⁡(P,R)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2{\operatorname{d}(P, R)}^2 = \dato{pr}{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}

    座標の事実により、高さ座標が z1z_1 の平面では最初の二つの座標は直交座標であり、直線の方程式の課の平面における距離の公式が PRPR の長さを与える。図では 4+9=134 + 9 = 13 である。

  3. d⁡(R,Q)=∣z2−z1∣\operatorname{d}(R, Q) = \dato{rq}{\abs{z_2 - z_1}}

    RR と QQ を含む鉛直な直線上では、高さ座標が位置を測る。RQRQ の長さは高さ座標の差の絶対値である。図では 7−1=67 - 1 = 6 である。

  4. d⁡(P,Q)2=d⁡(P,R)2+d⁡(R,Q)2{\operatorname{d}(P, Q)}^2 = \resaltar{{\operatorname{d}(P, R)}^2} + \resaltar{{\operatorname{d}(R, Q)}^2}

    直線 RQRQ は高さ座標が z1z_1 の平面に垂直であり、認める第二の事実により、直線 PRPR にも垂直である。この直線はこの平面上にあり、RR を通る。三角形 PRQPRQ は RR で直角であり、第一の事実により、三角形を含む平面で三平方の定理が成り立つ。

  5. d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,13+36=7\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\resaltar{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2} + \resaltar{\left( z_2 - z_1 \right)^2}}, \qquad \sqrt{13 + 36} = 7

    代入して平方根をとる。P=RP = R または R=QR = Q のときは三角形ができないが、公式は二つの距離の一方だけの公式になり、やはり正しい。図では距離は 77 である。

特に、P=(x,y,z)P = (x, y, z) から原点までの距離は x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} であり、これは稜の長さが ∣x∣\abs{x}、∣y∣\abs{y}、∣z∣\abs{z} の直方体の対角線の長さである。たとえば、稜の長さが aa の立方体の対角線の長さは a2+a2+a2=a3\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3} である。