空間の解析幾何：導入

単元を始める前に、自分の出発点を測りましょう。短い自己評価です。採点はされず、結果はあなたのブラウザーにだけ保存されます。

1. 問 1点 $P = (1, -2, 3)$ と点 $Q = (3, 1, 9)$ の距離を求めよ。

2. 問 2ベクトル $\vec{u} = \left( 1, 1, 0 \right)$ と $\vec{v} = \left( 1, 0, 1 \right)$ のなす角はいくらか。

   $\frac{\pi}{3}$

   $\frac{\pi}{4}$

   $\frac{\pi}{6}$

3. 問 3$\left( 1, 2, 0 \right) \times \left( 0, 1, 3 \right)$ を計算せよ。

   $\left( 6, -3, 1 \right)$

   $\left( 6, 3, 1 \right)$

   $\left( -6, 3, -1 \right)$

   $\left( 0, 2, 0 \right)$

4. 問 4頂点が $O = (0, 0, 0)$、$A = (1, 2, 0)$、$B = (0, 1, 3)$、$C = (2, 0, 1)$ である四面体の体積を求めよ。

5. 問 5$A = (1, 0, 0)$、$B = (0, 2, 0)$、$C = (0, 0, 2)$ を通る平面の方程式は何か。

   $2x + y + z = 2$

   $x + 2y + 2z = 1$

   $2x + y + z = 0$

   $\left( x, y, z \right) = \left( 1, 0, 0 \right) + t \left( -1, 2, 0 \right)$

6. 問 6直線 $\left( 1, 0, 0 \right) + t \left( 1, 1, 0 \right)$ と $\left( 0, 1, 1 \right) + s \left( 1, -1, 0 \right)$ の位置関係は何か。

   ねじれの位置にある。

   一点で交わる。

   平行である。

7. 問 7点 $P = (1, 2, 3)$ と平面 $2x - y + 2z = 1$ の距離を求めよ。

8. 問 8方向ベクトルが $\left( 1, 0, 1 \right)$ である直線と平面 $x + y = 0$ のなす角はいくらか。

   $\frac{\pi}{6}$

   $\frac{\pi}{3}$

   $\frac{\pi}{4}$

   $0$

9. 問 9ドローンが公園の点 $O = (0, 0, 0)$ から離陸し、ベクトル $\left( 2, 2, 1 \right)$ の方向にまっすぐ上昇する。距離の単位はメートルとする。地面の点 $P = (12, 6, 0)$ に人が座っている。ドローンはこの人から最小でどれだけの距離を通過するか。メートルで答えよ。

10. 問 10前の単元から行が $\left( 1, 2, 0 \right)$、$\left( 3, 1, 2 \right)$、$\left( 0, 1, 1 \right)$ である行列の行列式を計算せよ。

11. 問 11前の単元から二つの未知数をもつ三つの一次方程式からなる連立方程式があり、係数行列の階数は $2$、拡大係数行列の階数は $3$ である。解はいくつあるか。

    一つもない。

    ただ一つ。

    無数にある。

12. 問 12前の単元から$k$ がどんな値のとき、平面のベクトル $\left( 3, -1 \right)$ と $\left( 2, k \right)$ は垂直になるか。