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Topos Uranos
日本語

空間の距離・角・体積

要約

この課では、これまでの三つの課の道具、すなわち内積、外積、スカラー三重積を直線と平面の方程式と組み合わせて、空間で計量を行う。点と集合の距離を定義し、法線への射影によって点と平面の距離の公式を、外積によって点と直線の距離の公式を証明する。どちらの場合も垂線の足がただ一つの最も近い点である。そこから平行な平面の間の距離と平行な直線の間の距離を導き、ねじれの位置にある二つの直線にはただ一つの共通垂線があること、それが二つの方程式からなる連立方程式を解いて求められ、その長さがスカラー三重積を大きさで割ったものであることを証明する。二つの直線のなす角、直線と平面のなす角、二つの平面のなす角を定義して計算し、それらが初等幾何の角と一致することを証明する。線分の垂直二等分面と、平面に関する点の対称点および直線に関する点の対称点を作図する。平面多角形の正射影の面積がその面積に二面角の余弦を掛けたものであることを証明し、球面、その方程式、平面との交わり、接平面を調べる。応用は結晶の格子面とそのミラー指数、および衛星測位であり、問題は正四面体、三点から等距離にある点、太陽光パネルの影、一つの直線を含む球面の接平面、航路がねじれの位置にある二機の飛行機を扱う。

学習目標

  1. 点と平面の距離、点と直線の距離、平行な平面の間の距離、平行な直線の間の距離、ねじれの位置にある直線の間の距離を計算し、各公式を証明して、距離を与える点を求める。
  2. ねじれの位置にある二つの直線の共通垂線を求め、それがただ一つであることを証明する。
  3. 直線どうしのなす角、直線と平面のなす角、二つの平面のなす角を計算し、それらが表す幾何学的な角と一致することを証明する。
  4. 線分の垂直二等分面と、平面に関する点の対称点および直線に関する点の対称点を作図する。
  5. 外積とスカラー三重積を用いて面積と体積を計算し、平面多角形の面積とその正射影の面積の関係を証明して応用する。
  6. 球面の方程式から中心と半径を求め、平面に対する位置関係を判定し、切り口の円と接平面を求め、これらの道具を用いて結晶学、太陽エネルギー、航空航法、衛星測位の問題をモデル化する。

点と平面の距離、点と直線の距離

平面ベクトルの課では、法線ベクトルへの射影によって平面上の点と直線の距離を求めた。空間では、空間の直線と平面の課で、点 P0P_0 を通り法線ベクトルが n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right)（零でない）である平面を、点 XX（ただし n⃗⋅P0X⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 X} = 0）の集合として、すなわち方程式 ax+by+cz=dax + by + cz = d によって表し、AA を通り方向ベクトルが u⃗\vec{u} である直線を、点 A+tu⃗A + t \vec{u} の集合（tt は実数）として表した。そうであれば、平面幾何での考え方は空間の平面にそのまま通用する。一方、直線については法線はもはや一つの方向ではなく、外積とスカラー三重積の課の外積がその役割を担う。用いる空間のユークリッド幾何の事実は、空間のベクトルと内積の課で認めたものである。

FF を空間の点からなる空でない集合とし、PP を点とする。PP から FF の点までの距離のうちに、他のすべての距離以下であるものが一つあるとき、その数をPP と FF の距離といい、d⁡(P,F)\operatorname{d}(P, F) と書く。同様に、集合 FF の点から別の集合 GG の点までの距離のうちに、すべての距離以下であるものが一つあるとき、その数をFF と GG の距離といい、d⁡(F,G)\operatorname{d}(F, G) と書く。

定義は距離が存在することを保証しない。無限に多くの距離の中に最小のものがないこともありうる。そのため、以下の定理は公式を与えるだけでなく、最も近い点が存在し、それがただ一つであることを証明する。

定理点と平面の距離

π\pi を平面 ax+by+cz=dax + by + cz = d（n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) は零でない）とし、P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0) とする。点 H=P−λn⃗H = P - \lambda \vec{n}（ただし λ=ax0+by0+cz0−d∥n⃗∥2\lambda = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{{\norma{\vec{n}}}^2}）は π\pi 上にあり、HP⃗\vec{HP} は π\pi に垂直であり、HH は π\pi の点のうち PP に最も近いただ一つの点である。したがって：

d⁡(P,π)=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

平面幾何の場合と同じく、平面上の任意の点から PP へ向かうベクトルを法線に射影する。最小性はピタゴラスの定理である。図では平面 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4 と点 P=(2,3,3)P = (2, 3, 3) を用いる。

証明

  1. p⃗=QP⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}

    点 Q=(q1,q2,q3)Q = (q_1, q_2, q_3)（π\pi の点）を一つとり、空間のベクトルの課の正射影の定理によって QP⃗\vec{QP} を n⃗\vec{n} に射影する。図では Q=(2,0,0)Q = (2, 0, 0)。

  2. QP⃗⋅n⃗=ax0+by0+cz0−(aq1+bq2+cq3)=ax0+by0+cz0−d\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}

    QQ は π\pi 上にあるから aq1+bq2+cq3=da q_1 + b q_2 + c q_3 = d であり、分子の内積は、方程式の左辺に PP を代入した値から dd を引いたものである。

  3. QH⃗=QP⃗−λn⃗,n⃗⋅QH⃗=0→H∈π\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}

    したがって p⃗=λn⃗\vec{p} = \lambda \vec{n} かつ H=P−p⃗H = P - \vec{p} である。ベクトル QH⃗=QP⃗−p⃗\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p} は射影の直交成分であり、n⃗\vec{n} に垂直である。平面の法線ベクトルによる方程式から、HH は π\pi 上にある。

  4. ∥PX⃗∥2=∥PH⃗∥2+∥HX⃗∥2≥∥PH⃗∥2{\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2

    XX を π\pi の任意の点とする。シャールの関係により PX⃗=PH⃗+HX⃗\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX} である。最初の項は n⃗\vec{n} の倍数であり、二番目の項は π\pi の二点を結ぶから、両者は直交し、ピタゴラスの等式が成り立つ。

  5. d⁡(P,π)=∥p⃗∥=∣QP⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

    等号は HX⃗=0⃗\vec{HX} = \vec{0} のとき、すなわち X=HX = H のときに限って成り立つ。垂線の足がただ一つの最も近い点であり、距離は射影の大きさである。

  6. d⁡(P,π)=∣2⋅2+3+2⋅3−4∣4+1+4=93=3\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    図では QP⃗=(0,3,3)\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right)、QP⃗⋅n⃗=9\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9、∥n⃗∥=3\norma{\vec{n}} = 3 であるから λ=1\lambda = 1 となり、足は H=(0,2,1)H = (0, 2, 1)、距離は 33 である。

数 ax0+by0+cz0−da x_0 + b y_0 + c z_0 - d の符号は、公式が絶対値で隠しているが、これにも意味がある。P=H+λn⃗P = H + \lambda \vec{n} であるから、PP に平面から n⃗\vec{n} の向きに移動して達するとき正であり、反対の向きに移動して達するとき負である。ax+by+cz>dax + by + cz > d を満たす点は平面が定める二つの半空間の一方をなし、ax+by+cz<dax + by + cz < d を満たす点は他方をなす。二点が平面の同じ側にあるのは、この式が両方の点で同じ符号をとるとき、かつそのときに限る。こうして、原点と点 (2,3,3)(2, 3, 3) は平面 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4 の反対側にある。0−4<0<90 - 4 < 0 < 9 だからである。

定理点と直線の距離

rr を直線 A+tu⃗A + t \vec{u}（u⃗\vec{u} は零でない）とし、PP を点とする。点 H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u}（ただし t0=AP⃗⋅u⃗∥u⃗∥2t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{{\norma{\vec{u}}}^2}）は rr の点のうち PP に最も近いただ一つの点であり、HP⃗\vec{HP} は u⃗\vec{u} に垂直であって、さらに：

d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

AP⃗\vec{AP} を u⃗\vec{u} への射影と直交成分に分解する。後者の大きさはラグランジュの恒等式で表される。図では A=(0,0,1)A = (0, 0, 1) を通り方向ベクトルが u⃗=(1,2,2)\vec{u} = \left( 1, 2, 2 \right) である直線と、点 P=(3,3,1)P = (3, 3, 1) を用いる。

証明

  1. AP⃗=t0u⃗+w⃗,w⃗⋅u⃗=0\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0

    正射影の定理により、AP⃗\vec{AP} は、その射影 t0u⃗t_0 \vec{u}（u⃗\vec{u} への射影）と、ベクトル w⃗\vec{w}（u⃗\vec{u} に直交するもの）の和である。点 H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u} は rr 上にあり、HP⃗=w⃗\vec{HP} = \vec{w} である。

  2. XP⃗=w⃗+(t0−t)u⃗,∥XP⃗∥2=∥w⃗∥2+(t0−t)2∥u⃗∥2≥∥w⃗∥2\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2

    任意の点 X=A+tu⃗X = A + t \vec{u}（rr の点）に対し、ベクトル XP⃗\vec{XP} は w⃗\vec{w} に u⃗\vec{u} の倍数を加えたものである。二つの項は直交し、ピタゴラスの等式が成り立つ。

  3. d⁡(P,r)2=∥w⃗∥2=∥AP⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2=∥AP⃗∥2∥u⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2{\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}

    等号は t=t0t = t_0 のときに限って成り立つ。HH がただ一つの最も近い点であり、距離は w⃗\vec{w} の大きさであって、その二乗は射影についてのピタゴラスの等式から得られる。

  4. d⁡(P,r)2=∥AP⃗×u⃗∥2∥u⃗∥2→d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥{\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

    外積の課のラグランジュの恒等式により、分子は AP⃗×u⃗\vec{AP} \times \vec{u} の大きさの二乗である。平方根をとればよい。

  5. AP⃗×u⃗=(6,−6,3),d⁡(P,r)=93=3\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    図では AP⃗=(3,3,0)\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right)、AP⃗⋅u⃗=9\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9 であるから t0=1t_0 = 1、H=(1,2,3)H = (1, 2, 3)、w⃗=(2,1,−2)\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right) となり、その大きさは 33 である。外積を用いても同じ結果になる。

この公式には直接の幾何学的な意味がある。∥AP⃗×u⃗∥\norma{\vec{AP} \times \vec{u}} は AP⃗\vec{AP} と u⃗\vec{u} を辺とする平行四辺形の面積であり、∥u⃗∥\norma{\vec{u}} は直線上にあるその底辺の長さである。商は高さであり、それが求める距離である。距離だけが必要なときは、外積を使えば垂線の足を計算せずにすむ。