Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Αποστάσεις, γωνίες και όγκοι στον χώρο

Περίληψη

Το μάθημα αυτό συνδυάζει τα εργαλεία των τριών μαθημάτων πριν από αυτό, το εσωτερικό, το εξωτερικό και το μικτό γινόμενο, με τις εξισώσεις ευθειών και επιπέδων, για να μετρήσει στον χώρο. Ορίζει την απόσταση σημείου από σύνολο και αποδεικνύει, με προβολή στην κάθετο, τον τύπο της απόστασης σημείου από επίπεδο και, με το εξωτερικό γινόμενο, τον τύπο της απόστασης σημείου από ευθεία, και στις δύο περιπτώσεις με το ίχνος της καθέτου ως μοναδικό πλησιέστερο σημείο. Από αυτούς συνάγει τις αποστάσεις μεταξύ παράλληλων επιπέδων και μεταξύ παράλληλων ευθειών, και αποδεικνύει ότι δύο ασύμβατες ευθείες έχουν μία μοναδική κοινή κάθετο, η οποία βρίσκεται με την επίλυση ενός συστήματος δύο εξισώσεων και της οποίας το μήκος είναι ένα μικτό γινόμενο διαιρεμένο με ένα μέτρο. Ορίζει και υπολογίζει τις γωνίες μεταξύ δύο ευθειών, μεταξύ ευθείας και επιπέδου και μεταξύ δύο επιπέδων, και αποδεικνύει ότι συμπίπτουν με τις γωνίες της στοιχειώδους γεωμετρίας· κατασκευάζει το μεσοκάθετο επίπεδο ενός ευθύγραμμου τμήματος και τα συμμετρικά ενός σημείου ως προς επίπεδο και ως προς ευθεία· αποδεικνύει ότι το εμβαδόν της προβολής ενός επίπεδου πολυγώνου είναι το εμβαδόν του πολλαπλασιασμένο με το συνημίτονο της δίεδρης γωνίας, και μελετά τη σφαίρα, την εξίσωσή της, την τομή της με επίπεδο και το εφαπτόμενο επίπεδό της. Οι εφαρμογές είναι τα επίπεδα ενός κρυστάλλου με τους δείκτες Μίλερ τους και ο δορυφορικός εντοπισμός θέσης· τα προβλήματα αφορούν το κανονικό τετράεδρο, τα σημεία που ισαπέχουν από τρία σημεία, τη σκιά ενός ηλιακού πάνελ, τα εφαπτόμενα επίπεδα μιας σφαίρας που περιέχουν μια ευθεία και δύο αεροπλάνα με ασύμβατες διαδρομές.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να υπολογίζεται η απόσταση σημείου από επίπεδο και από ευθεία, μεταξύ παράλληλων επιπέδων, μεταξύ παράλληλων ευθειών και μεταξύ ασύμβατων ευθειών, με απόδειξη κάθε τύπου και εύρεση των σημείων στα οποία επιτυγχάνεται.
  2. Να βρίσκεται η κοινή κάθετος δύο ασύμβατων ευθειών και να αποδεικνύεται ότι είναι μοναδική.
  3. Να υπολογίζονται γωνίες μεταξύ ευθειών, μεταξύ ευθείας και επιπέδου και μεταξύ δύο επιπέδων, και να αποδεικνύεται ότι συμπίπτουν με τις γεωμετρικές γωνίες που ορίζουν.
  4. Να κατασκευάζεται το μεσοκάθετο επίπεδο ενός ευθύγραμμου τμήματος και τα συμμετρικά ενός σημείου ως προς επίπεδο και ως προς ευθεία.
  5. Να υπολογίζονται εμβαδά και όγκοι με το εξωτερικό και το μικτό γινόμενο, και να αποδεικνύεται και να εφαρμόζεται η σχέση ανάμεσα στο εμβαδόν ενός επίπεδου πολυγώνου και στο εμβαδόν της προβολής του.
  6. Να βρίσκονται το κέντρο και η ακτίνα μιας σφαίρας από την εξίσωσή της, να κρίνεται η θέση της ως προς ένα επίπεδο, να βρίσκονται ο κύκλος τομής και το εφαπτόμενο επίπεδο, και να μοντελοποιούνται με αυτά τα εργαλεία προβλήματα κρυσταλλογραφίας, ηλιακής ενέργειας, αεροναυτιλίας και δορυφορικού εντοπισμού θέσης.

Η απόσταση σημείου από επίπεδο και από ευθεία

Το μάθημα για τα διανύσματα στο επίπεδο έδωσε την απόσταση σημείου από ευθεία του επιπέδου με προβολή στο κάθετο διάνυσμα. Στον χώρο, το μάθημα για τις ευθείες και τα επίπεδα στον χώρο έγραψε το επίπεδο που διέρχεται από το P0P_0 με μη μηδενικό κάθετο διάνυσμα n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) ως το σύνολο των σημείων XX με n⃗⋅P0X⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 X} = 0, δηλαδή με μια εξίσωση ax+by+cz=dax + by + cz = d, και την ευθεία που διέρχεται από το AA με διάνυσμα κατεύθυνσης u⃗\vec{u} ως το σύνολο των σημείων A+tu⃗A + t \vec{u}, με tt πραγματικό. Αν αυτό ισχύει, η ιδέα που χρησιμοποιήθηκε στο επίπεδο ισχύει χωρίς αλλαγές για τα επίπεδα του χώρου· για τις ευθείες όμως η κάθετη κατεύθυνση δεν είναι πια μία μόνο, και τη θέση της παίρνει το εξωτερικό γινόμενο του μαθήματος για το εξωτερικό γινόμενο και το μικτό γινόμενο. Τα γεγονότα της ευκλείδειας γεωμετρίας του χώρου που χρησιμοποιούνται είναι εκείνα που έγιναν δεκτά στο μάθημα για τα διανύσματα στον χώρο και το εσωτερικό γινόμενο.

Έστω FF ένα μη κενό σύνολο σημείων του χώρου και PP ένα σημείο. Αν ανάμεσα στις αποστάσεις του PP από τα σημεία του FF υπάρχει μία που είναι μικρότερη ή ίση από όλες τις άλλες, ο αριθμός αυτός είναι η απόσταση του PP από το FF και γράφεται d⁡(P,F)\operatorname{d}(P, F). Ομοίως, αν ανάμεσα στις αποστάσεις των σημείων ενός συνόλου FF από τα σημεία ενός άλλου συνόλου GG υπάρχει μία μικρότερη ή ίση από όλες, ο αριθμός αυτός είναι η απόσταση μεταξύ FF και GG, d⁡(F,G)\operatorname{d}(F, G).

Ο ορισμός δεν εγγυάται ότι η απόσταση υπάρχει: ανάμεσα σε άπειρες αποστάσεις μπορεί να μην υπάρχει μία ελάχιστη. Γι' αυτό τα θεωρήματα που ακολουθούν δεν περιορίζονται στο να δώσουν έναν τύπο· αποδεικνύουν ότι υπάρχει ένα πλησιέστερο σημείο και ότι είναι μοναδικό.

ΘεώρημαΑπόσταση σημείου από επίπεδο

Έστω π\pi το επίπεδο ax+by+cz=dax + by + cz = d, με n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) μη μηδενικό, και έστω P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0). Το σημείο H=P−λn⃗H = P - \lambda \vec{n}, με λ=ax0+by0+cz0−d∥n⃗∥2\lambda = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{{\norma{\vec{n}}}^2}, ανήκει στο π\pi, το HP⃗\vec{HP} είναι κάθετο στο π\pi, και το HH είναι το μοναδικό σημείο του π\pi που βρίσκεται πλησιέστερα στο PP. Κατά συνέπεια:

d⁡(P,π)=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Προβάλλεται στην κάθετο το διάνυσμα που πηγαίνει από ένα οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου στο PP, όπως στη γεωμετρία του επιπέδου· η ελαχιστότητα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα. Το σχήμα χρησιμοποιεί το επίπεδο 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4 και το σημείο P=(2,3,3)P = (2, 3, 3).

Απόδειξη

  1. p⃗=QP⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}

    Επιλέγουμε ένα σημείο Q=(q1,q2,q3)Q = (q_1, q_2, q_3) του π\pi και προβάλλουμε το QP⃗\vec{QP} στο n⃗\vec{n} με το θεώρημα της ορθογώνιας προβολής του μαθήματος για τα διανύσματα στον χώρο. Στο σχήμα, Q=(2,0,0)Q = (2, 0, 0).

  2. QP⃗⋅n⃗=ax0+by0+cz0−(aq1+bq2+cq3)=ax0+by0+cz0−d\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}

    Επειδή το QQ ανήκει στο π\pi, aq1+bq2+cq3=da q_1 + b q_2 + c q_3 = d, και το εσωτερικό γινόμενο του αριθμητή είναι το πρώτο μέλος της εξίσωσης υπολογισμένο στο PP, μείον dd.

  3. QH⃗=QP⃗−λn⃗,n⃗⋅QH⃗=0→H∈π\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}

    Άρα p⃗=λn⃗\vec{p} = \lambda \vec{n} και H=P−p⃗H = P - \vec{p}. Το διάνυσμα QH⃗=QP⃗−p⃗\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p} είναι η ορθογώνια συνιστώσα της προβολής, κάθετη στο n⃗\vec{n}· από την εξίσωση του επιπέδου μέσω κάθετου διανύσματος, το HH ανήκει στο π\pi.

  4. ∥PX⃗∥2=∥PH⃗∥2+∥HX⃗∥2≥∥PH⃗∥2{\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2

    Έστω XX οποιοδήποτε σημείο του π\pi. Από τη σχέση του Σαλ, PX⃗=PH⃗+HX⃗\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX}· ο πρώτος προσθετέος είναι πολλαπλάσιο του n⃗\vec{n} και ο δεύτερος ενώνει δύο σημεία του π\pi, οπότε είναι ορθογώνιοι, και ισχύει η πυθαγόρεια ισότητα.

  5. d⁡(P,π)=∥p⃗∥=∣QP⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

    Η ισότητα ισχύει μόνο αν HX⃗=0⃗\vec{HX} = \vec{0}, δηλαδή αν X=HX = H: το ίχνος της καθέτου είναι το μοναδικό πλησιέστερο σημείο, και η απόσταση είναι το μέτρο της προβολής.

  6. d⁡(P,π)=∣2⋅2+3+2⋅3−4∣4+1+4=93=3\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    Στο σχήμα, QP⃗=(0,3,3)\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right), QP⃗⋅n⃗=9\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9 και ∥n⃗∥=3\norma{\vec{n}} = 3, οπότε λ=1\lambda = 1, το ίχνος είναι το H=(0,2,1)H = (0, 2, 1) και η απόσταση ισούται με 33.

Το πρόσημο του αριθμού ax0+by0+cz0−da x_0 + b y_0 + c z_0 - d, που ο τύπος κρύβει με την απόλυτη τιμή, έχει επίσης σημασία. Επειδή P=H+λn⃗P = H + \lambda \vec{n}, είναι θετικό όταν στο PP φτάνουμε από το επίπεδο κινούμενοι κατά τη φορά του n⃗\vec{n}, και αρνητικό όταν φτάνουμε κινούμενοι με την αντίθετη φορά. Τα σημεία με ax+by+cz>dax + by + cz > d σχηματίζουν έναν από τους δύο ημιχώρους που ορίζει το επίπεδο, και τα σημεία με ax+by+cz<dax + by + cz < d σχηματίζουν τον άλλο· δύο σημεία βρίσκονται στην ίδια πλευρά του επιπέδου αν και μόνο αν η παράσταση έχει το ίδιο πρόσημο και στα δύο. Έτσι, η αρχή των αξόνων και το σημείο (2,3,3)(2, 3, 3) βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του επιπέδου 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4, επειδή 0−4<0<90 - 4 < 0 < 9.

ΘεώρημαΑπόσταση σημείου από ευθεία

Έστω rr η ευθεία A+tu⃗A + t \vec{u}, με u⃗\vec{u} μη μηδενικό, και έστω PP ένα σημείο. Το σημείο H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u}, με t0=AP⃗⋅u⃗∥u⃗∥2t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{{\norma{\vec{u}}}^2}, είναι το μοναδικό σημείο της rr που βρίσκεται πλησιέστερα στο PP, το HP⃗\vec{HP} είναι κάθετο στο u⃗\vec{u}, και:

d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

Το AP⃗\vec{AP} αναλύεται στην προβολή του στο u⃗\vec{u} και στην ορθογώνια συνιστώσα του· το μέτρο της δεύτερης εκφράζεται με την ταυτότητα του Λαγκράνζ. Το σχήμα χρησιμοποιεί την ευθεία που διέρχεται από το A=(0,0,1)A = (0, 0, 1) με διάνυσμα κατεύθυνσης u⃗=(1,2,2)\vec{u} = \left( 1, 2, 2 \right) και το σημείο P=(3,3,1)P = (3, 3, 1).

Απόδειξη

  1. AP⃗=t0u⃗+w⃗,w⃗⋅u⃗=0\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0

    Από το θεώρημα της ορθογώνιας προβολής, το AP⃗\vec{AP} είναι το άθροισμα της προβολής του t0u⃗t_0 \vec{u} στο u⃗\vec{u} και ενός διανύσματος w⃗\vec{w} ορθογώνιου στο u⃗\vec{u}. Το σημείο H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u} ανήκει στην rr και HP⃗=w⃗\vec{HP} = \vec{w}.

  2. XP⃗=w⃗+(t0−t)u⃗,∥XP⃗∥2=∥w⃗∥2+(t0−t)2∥u⃗∥2≥∥w⃗∥2\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2

    Για ένα οποιοδήποτε σημείο X=A+tu⃗X = A + t \vec{u} της rr, το διάνυσμα XP⃗\vec{XP} είναι το w⃗\vec{w} συν ένα πολλαπλάσιο του u⃗\vec{u}· οι δύο προσθετέοι είναι ορθογώνιοι και ισχύει η πυθαγόρεια ισότητα.

  3. d⁡(P,r)2=∥w⃗∥2=∥AP⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2=∥AP⃗∥2∥u⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2{\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}

    Η ισότητα ισχύει μόνο αν t=t0t = t_0: το HH είναι το μοναδικό πλησιέστερο σημείο και η απόσταση είναι το μέτρο του w⃗\vec{w}, του οποίου το τετράγωνο δίνει η πυθαγόρεια ισότητα της προβολής.

  4. d⁡(P,r)2=∥AP⃗×u⃗∥2∥u⃗∥2→d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥{\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

    Από την ταυτότητα του Λαγκράνζ του μαθήματος για το εξωτερικό γινόμενο, ο αριθμητής είναι το τετράγωνο του μέτρου του AP⃗×u⃗\vec{AP} \times \vec{u}· παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα.

  5. AP⃗×u⃗=(6,−6,3),d⁡(P,r)=93=3\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    Στο σχήμα, AP⃗=(3,3,0)\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right) και AP⃗⋅u⃗=9\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9, οπότε t0=1t_0 = 1, H=(1,2,3)H = (1, 2, 3) και w⃗=(2,1,−2)\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right), με μέτρο 33. Το εξωτερικό γινόμενο δίνει το ίδιο.

Ο τύπος έχει άμεση γεωμετρική ερμηνεία: το ∥AP⃗×u⃗∥\norma{\vec{AP} \times \vec{u}} είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με πλευρές AP⃗\vec{AP} και u⃗\vec{u}, και το ∥u⃗∥\norma{\vec{u}} είναι το μήκος της βάσης του πάνω στην ευθεία· το πηλίκο είναι το ύψος, δηλαδή η ζητούμενη απόσταση. Όταν ενδιαφέρει μόνο η απόσταση, το εξωτερικό γινόμενο αποφεύγει τον υπολογισμό του ίχνους της καθέτου.