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Topos Uranos
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Distanze, angoli e volumi nello spazio

Riepilogo

Questa lezione riunisce gli strumenti delle ultime tre lezioni, il prodotto scalare, il prodotto vettoriale e il prodotto misto, con le equazioni di rette e piani, per misurare nello spazio. Definisce la distanza di un punto da un insieme e dimostra, proiettando sulla normale, la formula della distanza di un punto da un piano e, con il prodotto vettoriale, quella della distanza di un punto da una retta, entrambe con il piede della perpendicolare come unico punto più vicino. Da esse deduce le distanze fra piani paralleli e fra rette parallele, e dimostra che due rette sghembe hanno un’unica perpendicolare comune, che si trova risolvendo un sistema di due equazioni e la cui lunghezza è un prodotto misto diviso per una norma. Definisce e calcola gli angoli fra due rette, fra una retta e un piano e fra due piani, e dimostra che coincidono con gli angoli della geometria elementare; costruisce il piano assiale di un segmento e i simmetrici di un punto rispetto a un piano e a una retta; dimostra che l’area della proiezione di un poligono piano è la sua area moltiplicata per il coseno dell’angolo diedro, e studia la sfera, la sua equazione, la sua intersezione con un piano e il suo piano tangente. Le applicazioni sono i piani di un cristallo con i loro indici di Miller e il posizionamento satellitare; i problemi riguardano il tetraedro regolare, i punti equidistanti da tre punti, l’ombra di un pannello solare, i piani tangenti a una sfera che contengono una retta e due aerei le cui rotte sono sghembe.

Obiettivi di apprendimento

  1. Calcolare la distanza di un punto da un piano e da una retta, fra piani paralleli, fra rette parallele e fra rette sghembe, dimostrando ogni formula e trovando i punti in cui è raggiunta.
  2. Trovare la perpendicolare comune a due rette sghembe e dimostrare che è unica.
  3. Calcolare angoli fra rette, fra una retta e un piano e fra due piani, e dimostrare che coincidono con gli angoli geometrici che definiscono.
  4. Costruire il piano assiale di un segmento e i simmetrici di un punto rispetto a un piano e a una retta.
  5. Calcolare aree e volumi con il prodotto vettoriale e il prodotto misto, e dimostrare e applicare la relazione fra l’area di un poligono piano e quella della sua proiezione.
  6. Ricavare il centro e il raggio di una sfera dalla sua equazione, stabilirne la posizione rispetto a un piano, trovare la circonferenza di intersezione e il piano tangente, e modellare con questi strumenti problemi di cristallografia, energia solare, navigazione aerea e posizionamento satellitare.

La distanza di un punto da un piano e da una retta

La lezione sui vettori nel piano ha ottenuto la distanza di un punto da una retta del piano proiettando sul vettore normale. Nello spazio, la lezione su rette e piani nello spazio ha scritto il piano per P0P_0 con vettore normale n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) non nullo come l’insieme dei punti XX con n⃗⋅P0X⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 X} = 0, cioè con un’equazione ax+by+cz=dax + by + cz = d, e la retta per AA con vettore direttore u⃗\vec{u} come l’insieme dei punti A+tu⃗A + t \vec{u}, con tt reale. Se è così, l’idea del piano vale senza cambiamenti per i piani dello spazio; per le rette, invece, la normale non è più una sola direzione, e il prodotto vettoriale della lezione su prodotto vettoriale e prodotto misto ne prende il posto. I fatti della geometria euclidea dello spazio che si usano sono quelli ammessi nella lezione sui vettori nello spazio e il prodotto scalare.

Siano FF un insieme non vuoto di punti dello spazio e PP un punto. Se fra le distanze di PP dai punti di FF ce n’è una minore o uguale a tutte le altre, quel numero è la distanza di PP da FF, e si scrive d⁡(P,F)\operatorname{d}(P, F). Allo stesso modo, se fra le distanze dei punti di un insieme FF da quelli di un altro insieme GG ce n’è una minore o uguale a tutte, quel numero è la distanza fra FF e GG, d⁡(F,G)\operatorname{d}(F, G).

La definizione non garantisce che la distanza esista: fra infinite distanze può non essercene una minima. Per questo i teoremi che seguono non si limitano a dare una formula; dimostrano che esiste un punto più vicino, e che è unico.

TeoremaDistanza di un punto da un piano

Siano π\pi il piano ax+by+cz=dax + by + cz = d, con n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) non nullo, e P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0). Il punto H=P−λn⃗H = P - \lambda \vec{n}, con λ=ax0+by0+cz0−d∥n⃗∥2\lambda = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{{\norma{\vec{n}}}^2}, sta in π\pi, HP⃗\vec{HP} è normale a π\pi, e HH è l’unico punto di π\pi più vicino a PP. Di conseguenza:

d⁡(P,π)=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Si proietta sulla normale il vettore che va da un punto qualsiasi del piano a PP, come nel piano; la minimalità è il teorema di Pitagora. La figura usa il piano 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4 e il punto P=(2,3,3)P = (2, 3, 3).

Dimostrazione

  1. p⃗=QP⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}

    Scegliamo un punto Q=(q1,q2,q3)Q = (q_1, q_2, q_3) di π\pi e proiettiamo QP⃗\vec{QP} su n⃗\vec{n} con il teorema della proiezione ortogonale della lezione sui vettori nello spazio. Nella figura, Q=(2,0,0)Q = (2, 0, 0).

  2. QP⃗⋅n⃗=ax0+by0+cz0−(aq1+bq2+cq3)=ax0+by0+cz0−d\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}

    Poiché QQ sta in π\pi, aq1+bq2+cq3=da q_1 + b q_2 + c q_3 = d, e il prodotto scalare al numeratore è il primo membro dell’equazione calcolato in PP, meno dd.

  3. QH⃗=QP⃗−λn⃗,n⃗⋅QH⃗=0→H∈π\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}

    Quindi p⃗=λn⃗\vec{p} = \lambda \vec{n} e H=P−p⃗H = P - \vec{p}. Il vettore QH⃗=QP⃗−p⃗\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p} è la componente ortogonale della proiezione, perpendicolare a n⃗\vec{n}; per l’equazione normale del piano, HH sta in π\pi.

  4. ∥PX⃗∥2=∥PH⃗∥2+∥HX⃗∥2≥∥PH⃗∥2{\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2

    Sia XX un punto qualsiasi di π\pi. Per la relazione di Chasles, PX⃗=PH⃗+HX⃗\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX}; il primo addendo è multiplo di n⃗\vec{n} e il secondo unisce due punti di π\pi, sicché sono ortogonali e vale l’uguaglianza di Pitagora.

  5. d⁡(P,π)=∥p⃗∥=∣QP⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

    L’uguaglianza si ha solo se HX⃗=0⃗\vec{HX} = \vec{0}, cioè se X=HX = H: il piede della perpendicolare è l’unico punto più vicino, e la distanza è la norma della proiezione.

  6. d⁡(P,π)=∣2⋅2+3+2⋅3−4∣4+1+4=93=3\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    Nella figura, QP⃗=(0,3,3)\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right), QP⃗⋅n⃗=9\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9 e ∥n⃗∥=3\norma{\vec{n}} = 3, sicché λ=1\lambda = 1, il piede è H=(0,2,1)H = (0, 2, 1) e la distanza è 33.

Anche il segno del numero ax0+by0+cz0−da x_0 + b y_0 + c z_0 - d, che la formula nasconde con il valore assoluto, ha un significato. Poiché P=H+λn⃗P = H + \lambda \vec{n}, è positivo quando PP si raggiunge dal piano spostandosi nel verso di n⃗\vec{n}, e negativo quando si raggiunge nel verso opposto. I punti con ax+by+cz>dax + by + cz > d formano uno dei due semispazi che il piano determina, e i punti con ax+by+cz<dax + by + cz < d formano l’altro; due punti stanno dalla stessa banda del piano se e solo se l’espressione ha lo stesso segno in entrambi. Così l’origine e il punto (2,3,3)(2, 3, 3) stanno da bande opposte del piano 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4, perché 0−4<0<90 - 4 < 0 < 9.

TeoremaDistanza di un punto da una retta

Siano rr la retta A+tu⃗A + t \vec{u}, con u⃗\vec{u} non nullo, e PP un punto. Il punto H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u}, con t0=AP⃗⋅u⃗∥u⃗∥2t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{{\norma{\vec{u}}}^2}, è l’unico punto di rr più vicino a PP, HP⃗\vec{HP} è perpendicolare a u⃗\vec{u}, e:

d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

Si scompone AP⃗\vec{AP} nella sua proiezione su u⃗\vec{u} e nella sua componente ortogonale; la norma di quest’ultima si esprime con l’identità di Lagrange. La figura usa la retta per A=(0,0,1)A = (0, 0, 1) con vettore direttore u⃗=(1,2,2)\vec{u} = \left( 1, 2, 2 \right) e il punto P=(3,3,1)P = (3, 3, 1).

Dimostrazione

  1. AP⃗=t0u⃗+w⃗,w⃗⋅u⃗=0\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0

    Per il teorema della proiezione ortogonale, AP⃗\vec{AP} è la somma della sua proiezione t0u⃗t_0 \vec{u} su u⃗\vec{u} e di un vettore w⃗\vec{w} ortogonale a u⃗\vec{u}. Il punto H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u} sta su rr e HP⃗=w⃗\vec{HP} = \vec{w}.

  2. XP⃗=w⃗+(t0−t)u⃗,∥XP⃗∥2=∥w⃗∥2+(t0−t)2∥u⃗∥2≥∥w⃗∥2\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2

    Per un punto qualsiasi X=A+tu⃗X = A + t \vec{u} di rr, il vettore XP⃗\vec{XP} è w⃗\vec{w} più un multiplo di u⃗\vec{u}; i due addendi sono ortogonali e vale l’uguaglianza di Pitagora.

  3. d⁡(P,r)2=∥w⃗∥2=∥AP⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2=∥AP⃗∥2∥u⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2{\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}

    L’uguaglianza si ha solo se t=t0t = t_0: HH è l’unico punto più vicino e la distanza è la norma di w⃗\vec{w}, il cui quadrato è dato dall’uguaglianza di Pitagora della proiezione.

  4. d⁡(P,r)2=∥AP⃗×u⃗∥2∥u⃗∥2→d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥{\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

    Per l’identità di Lagrange della lezione sul prodotto vettoriale, il numeratore è il quadrato della norma di AP⃗×u⃗\vec{AP} \times \vec{u}; si estrae la radice.

  5. AP⃗×u⃗=(6,−6,3),d⁡(P,r)=93=3\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    Nella figura, AP⃗=(3,3,0)\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right) e AP⃗⋅u⃗=9\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9, sicché t0=1t_0 = 1, H=(1,2,3)H = (1, 2, 3) e w⃗=(2,1,−2)\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right), di norma 33. Il prodotto vettoriale dà lo stesso risultato.

La formula ha una lettura geometrica diretta: ∥AP⃗×u⃗∥\norma{\vec{AP} \times \vec{u}} è l’area del parallelogramma di lati AP⃗\vec{AP} e u⃗\vec{u}, e ∥u⃗∥\norma{\vec{u}} è la lunghezza della sua base sulla retta; il quoziente è l’altezza, cioè la distanza cercata. Quando interessa solo la distanza, il prodotto vettoriale evita di calcolare il piede della perpendicolare.